節(jié)空間直角坐標(biāo)系

1、 第七 章 第一 節(jié)：空間直角坐標(biāo)系教學(xué)目的：將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)空間解析幾何的意義和目的。教學(xué)重點(diǎn)：1.空間直角坐標(biāo)系的概念 2.空間兩點(diǎn)間的距離教學(xué)難點(diǎn)：空間思想的建立 教學(xué)內(nèi)容：一空間直角坐標(biāo)系1. 將數(shù)軸（一維）、平面直角坐標(biāo)系（二維）進(jìn)一步推廣建立空間直角坐標(biāo)系（三維）如圖71，其符合右手規(guī)則。2. 各軸名稱，坐標(biāo)面的概念以及卦限的劃分如圖72所示。3. 空間點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)表示方法，關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的表示法。通過坐標(biāo)把空間的點(diǎn)與一個(gè)有序數(shù)組對(duì)應(yīng)起來(lái)。圖 71 圖 72二 空間兩點(diǎn)間的距離若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2

2、)為空間兩點(diǎn)， 則距離（見圖73）為圖73第七 章 第二 節(jié)：向量及其運(yùn)算一向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量； 在數(shù)學(xué)上用有向線段來(lái)表示向量，其長(zhǎng)度表示向量的大小，其方向表示向量的方向； 在數(shù)學(xué)上只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量（以后簡(jiǎn)稱向量）； 向量的表示方法有a、i、F、等等。 向量相等a=b：如果兩個(gè)向量大小相等，方向相同（即經(jīng)過平移后能完全重合的向量）。 向量的模：向量的大小，記為、。 模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 向量平行ab：兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平行。二向量的運(yùn)算 加減法：三角形法則及平行四邊形法則、其滿

3、足的運(yùn)算規(guī)律有交換率和結(jié)合率 向量與數(shù)的乘法：。其滿足的運(yùn)算規(guī)律有結(jié)合率、分配率。設(shè)表示與非零向量a同方向的單位向量，那么 定理1：設(shè)向量a0，那么，向量b平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使b 例子：例1：在平行四邊形ABCD中，設(shè)，試用a和b表示向量、和，這里M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)。（圖74）圖74小結(jié)：本節(jié)講述了空間解析幾何的重要性以及向量代數(shù)的初步知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量（自由向量）有清楚的理解，并會(huì)進(jìn)行相應(yīng)的加減、乘數(shù)、求單位向量等向量運(yùn)算。作業(yè)： P374 2、3、7、9 P380 1、2第七 章 第三 節(jié)：向量的坐標(biāo)教學(xué)目的：進(jìn)一步介紹向量的坐標(biāo)表示式、為空間曲面等相關(guān)知

4、識(shí)打好基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)：1.向量的坐標(biāo)表示式 2.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 教學(xué)難點(diǎn)：1.向量的坐標(biāo)表示 2.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式教學(xué)內(nèi)容：一向量在軸上的投影1. 幾個(gè)概念 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸u，是軸u上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸u同向時(shí)是正的，當(dāng)與軸u反同向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸u上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與u軸同方向的單位向量，則 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個(gè)非零向量a和b，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過的稱為向量a和b的夾角，記為。 空間一點(diǎn)A在軸u上的投影：通過點(diǎn)A作軸u的垂直平面，該平面與

5、軸u的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸u上的投影。 向量在軸u上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸u上的有向線段的值叫做向量在軸u上的投影，記做。2. 投影定理 性質(zhì)1：向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦： 性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即 二向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)1向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)通過坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)a =是以為

6、起點(diǎn)、為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖75，并應(yīng)圖75用向量的加法規(guī)則知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。于是，起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量可以表示為特別地，點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑 注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az，向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三

7、個(gè)向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a = ax，ay，az，b = bx，by，bz即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk則 加法：a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k 減法：ab = （axbx ）i + （ayby） j +（ azbz ）k 乘數(shù)：a = (ax )i + (ay)j + (az)k 或a + b = ax+ bx，ay + by，az + bz ab = axbx，ayby，azbz a = ax，ay，az 平行：若a0時(shí)，向量ba相當(dāng)于b a，即b

8、x，by，bz =ax，ay，az也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例即三向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式設(shè)a = ax，ay，az，可以用它與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來(lái)表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見圖76，其余弦表示形式稱為方向余弦。1 模圖762 方向余弦由性質(zhì)1知，當(dāng)時(shí)，有 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： 與非零向量a同方向的單位向量為：3 例子：已知兩點(diǎn)M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，設(shè)為與同向的單位向量，由于即得小結(jié)：向量的坐標(biāo)是本章向量代數(shù)的一個(gè)難點(diǎn)，是學(xué)好后繼內(nèi)容的基礎(chǔ)

9、，學(xué)生應(yīng)多花時(shí)間學(xué)深學(xué)透。作業(yè)：P3914、5、7、8第七 章 第四 節(jié)：數(shù)量積向量積教學(xué)目的：讓學(xué)生搞清楚數(shù)量積與向量積的概念及其應(yīng)用，掌握向量平行、垂直等重要的結(jié)論，為空間曲面等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)：1. 數(shù)量積、向量積的概念及其等價(jià)的表示形式 2.向量平行、垂直的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：1.活學(xué)活用數(shù)量積、向量積的各種形式 2.向量平行與垂直的相應(yīng)結(jié)論教學(xué)內(nèi)容：一數(shù)量積： 定義：，式中為向量a與b的夾角。 物理上：物體在常力F作用下沿直線位移s，力F所作的功為其中為F與s的夾角。 性質(zhì)：.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充分必要條件為：. . . 為數(shù) 幾個(gè)等價(jià)公式：.坐標(biāo)表示式：設(shè)a = ax，

10、ay，az，b = bx，by，bz則.投影表示式：.兩向量夾角可以由式求解 例子：已知三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求提示：應(yīng)用上求夾角的公式。二向量積： 概念：設(shè)向量c是由向量a與b按下列方式定義：c的模，式中為向量a與b的夾角。c的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b。注意：數(shù)量積得到的是一個(gè)數(shù)值，而向量積得到的是向量。 公式： 性質(zhì)：.兩個(gè)非零向量a與b平行ab的充分必要條件為：. . . 為數(shù) 幾個(gè)等價(jià)公式：.坐標(biāo)表示式：設(shè)a = ax，ay，az，b = bx，by，bz則.行列式表示式： 例子：已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別為：A(1,2,3)

11、、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積。解：根據(jù)向量積的定義，由于2,2,2，1,2,4因此于是小結(jié)：本節(jié)是向量運(yùn)算中很重要的部分，與上節(jié)共同講述了向量的坐標(biāo)表示以及向量的運(yùn)算，這些是本章的一個(gè)重點(diǎn)。作業(yè)： P402 1、2、3、7、8 第七 章 第五 節(jié)：曲面及其方程教學(xué)目的：介紹各種常用的曲面，為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)：1.球面的方程 2.旋轉(zhuǎn)曲面的方程教學(xué)難點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面 教學(xué)內(nèi)容：一曲面方程的概念4. 定義：如果曲面S與三元方程F（x，y，z）0（1）有下述關(guān)系：（1） 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）（2） 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方

12、程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形。5. 球面例子：建立球心在M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程。 解：設(shè)M(x,y,z) 是球面上的任一點(diǎn)，那么即：或：特別地：如果球心在原點(diǎn)，那么球面方程為i. 旋轉(zhuǎn)曲面1定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。2旋轉(zhuǎn)曲面的方程設(shè)在yoz坐標(biāo)面上有一已知曲線C，它的方程為f（y，z）0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)M1(0,y1,z1)為曲線C上的任一點(diǎn)，那么有f（y1，z1）0（2）當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，

13、點(diǎn)M1也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)M(x,y,z)，這時(shí)zz1保持不變，且點(diǎn)M到z軸的距離將z1z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程為b) 旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補(bǔ)上改成正負(fù)二者的完全平方根的形式。c) 常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面（直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角（0<<90°），方程為：其中acot三柱面1定義：平行于定直線并沿曲線定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面。 定曲線C：準(zhǔn)線動(dòng)直線L：母線2特征：x，y，z三個(gè)變量中若缺其中之一（例如y）則表示母線平行于y軸的柱面。3：幾個(gè)常用的柱面：d) 圓柱面：（母線平行于z軸）e) 拋物柱面：（母線平行于

14、z軸）小結(jié)：會(huì)寫出常用的曲面方程，并對(duì)已知曲面方程能知道所表示曲面的形狀。作業(yè)：P4102，3，5，9，10第七 章 第六 節(jié)：空間曲線及其方程教學(xué)目的：介紹空間曲線的各種表示形式。教學(xué)重點(diǎn)：1.空間曲線的一般表示形式 2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影教學(xué)難點(diǎn)：空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 教學(xué)內(nèi)容：一空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線，故可以將兩個(gè)曲面聯(lián)立方程組形式來(lái)表示曲線。二空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為參數(shù)t的函數(shù):三空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為（3）消去其中一個(gè)變量（例如z）得到方程（4）曲線的所有點(diǎn)都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。此柱

15、面（垂直與xoy平面）稱為投影柱面，投影柱面與xoy平面的交線叫做空間曲線C在xoy面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，用方程表示為同理可以求出空間曲線C在其它坐標(biāo)面上的投影曲線。在重積分和曲面積分中，還需要確定立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時(shí)要利用投影柱面和投影曲線。例子：設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成，見右圖，求它在xoy面上的投影。 解：半球面與錐面交線為消去z并將等式兩邊平方整理得投影曲線為：即xoy平面上的以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓。立體在xoy平面上的投影為圓所圍成的部分：小結(jié)：第五、六節(jié)是為重積分、曲面積分作準(zhǔn)備的，學(xué)生應(yīng)知道各種常用立體的解析表達(dá)式，并簡(jiǎn)單描圖，對(duì)投影等應(yīng)特別注意。作業(yè)

16、： P416 1、2、4、5 第七 章 第七 節(jié)：平面及其方程教學(xué)目的：介紹最簡(jiǎn)單也是非常這樣的曲面平面，為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)：1.平面的方程 2.兩平面的夾角教學(xué)難點(diǎn)：平面的幾種表示及其應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：一平面的點(diǎn)法式方程1平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2平面的點(diǎn)法式方程已知平面上的一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一個(gè)法線向量nA,B,C，對(duì)平面上的任一點(diǎn)M(x,y,z)，有向量n，即n代入坐標(biāo)式有：（1）此即平面的點(diǎn)法式方程。6. 例子：求過三點(diǎn)M1（2，1，4）、M2（1，3，2）和M3（

17、0，2，3）的平面方程。解：先找出這平面的法向量n，由點(diǎn)法式方程得平面方程為即：i. 平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來(lái)表示。平面的一般方程為：幾個(gè)平面圖形特點(diǎn)：b) D0：通過原點(diǎn)的平面。c) A0：法線向量垂直與x軸，表示一個(gè)平行于x軸的平面。同理：B0或C0：分別表示一個(gè)平行于y軸或z軸的平面。d) AB0：方程為CzD0，法線向量0,0,C，方程表示一個(gè)平行于xoy面的平面。同理：AxD0和ByD0分別表示平行于yoz面和xoz面的平面。 e) 反之：任何的三元一次方程，例如：5x6y7z110都表示一個(gè)平面，該平面的法向量為n5,6,-7三兩平面的夾角定義：平行于定直線并沿

18、曲線定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面。 定曲線C：準(zhǔn)線動(dòng)直線L：母線四幾個(gè)常用的結(jié)論設(shè)平面1和平面2的法向量依次為n1A1,B1,C1和n2A2,B2,C2f) 兩平面垂直：（法向量垂直）g) 兩平面平行：（法向量平行）h) 平面外一點(diǎn)到平面的距離公式：設(shè)平面外的一點(diǎn)P0（x0，y0，z0），平面的方程為 ，則點(diǎn)到平面的距離為小結(jié)：平面是本書非常重要的一節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)各種平面的表示方法，了解平面與其法向量之間的關(guān)系等等。作業(yè)：P4232，3，5，7，9第 七 章 第 八 節(jié)：空間直線及其方程教學(xué)目的：介紹空間曲線中最常用的直線，與平面同為本章的重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.直線方程2.直線與平面

19、的綜合題教學(xué)難點(diǎn)：1.直線的幾種表達(dá)式2.直線與平面的綜合題教學(xué)內(nèi)容：一 空間直線的一般方程空間直線可以看成是兩個(gè)平面的交線。故其一般方程為：二 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程平行于一條已知直線的非零向量叫做這條直線的方向向量。已知直線上的一點(diǎn)和它的一方向向量，設(shè)直線上任一點(diǎn)為，那么與s平行，由平行的坐標(biāo)表示式有：此即空間直線的對(duì)稱式方程（或稱為點(diǎn)向式方程）。（寫時(shí)參照書上注釋）如設(shè)就可將對(duì)稱式方程變成參數(shù)方程（t為參數(shù)）三種形式可以互換，按具體要求寫相應(yīng)的方程。三 兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角。設(shè)兩直線和的方向向量依次為和，兩直線的夾角可以按兩向量夾角公式

20、來(lái)計(jì)算兩直線和垂直： （充分必要條件）兩直線和平行：（充分必要條件）四 直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為。設(shè)直線的方向向量為，平面的法線向量為，直線與平面的夾角為，那么直線與平面垂直：s/n 相當(dāng)于（充分必要條件）直線與平面平行：sn 相當(dāng)于（充分必要條件）平面束方程： 過平面直線的平面束方程為五 雜例：例1：求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點(diǎn)（3，2，5）的直線方程。解：由于直線的方向向量與兩平面的交線的方向向量平行，故直線的方向向量s一定與兩平面的法線向量垂直，所以因此，所求直線的方程為例2：求過點(diǎn)（2，1，3）且與直線垂直相交的直線方程 解：先作一平面過點(diǎn)（2，1，3）且垂直于已知直線（即以已知直線的方向向量為平面的法線向量），這平面的方程為再求已知直線與這平面的交點(diǎn)。將已知直線改成參數(shù)方程形式為x= -1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t，從而求得交點(diǎn)為以此交點(diǎn)為起點(diǎn)、已知點(diǎn)為終點(diǎn)可以構(gòu)成向量s即為所求直線的方向向量故所求直線方程為例3：求直線 在平面上的投影直線的方程 解：應(yīng)用平面束的方法 設(shè)過直線的平面束方程為即這平面與已知平面垂直的條件是解之得代入平面束方程中得投影