歐拉旋轉(zhuǎn)角的更多應用

1、歐拉旋轉(zhuǎn)角的更多應用歐拉旋轉(zhuǎn)角的更多應用關(guān)鍵詞:歐拉角;旋轉(zhuǎn)矩陣;方向控制;方向測量;天線輻射方向圖;天線定位一.引言1995年4月,HenryBurger在專欄里的一篇題為“歐拉旋轉(zhuǎn)角在產(chǎn)生天線輻射方向圖中的應用”分享了他關(guān)于歐拉旋轉(zhuǎn)角的想法。歐拉角旋轉(zhuǎn)的使用是一個有利的技術(shù),我們已經(jīng)多次使用了。正如1995年4月的專欄介紹里許諾的那樣,我們已經(jīng)將這個想法擴展了然后闡述。b5E2RGbCAP我們曾經(jīng)在一個共形陣列中使用旋轉(zhuǎn)矩陣尋找輻射方向圖匹配的單元,這個共形陣列中不僅需要旋轉(zhuǎn)方向,還要旋轉(zhuǎn)極化方向。第二個有用之處是在空間中用旋轉(zhuǎn)矩陣分析旋轉(zhuǎn)物體。如果你在做計算機繪圖,你將需要能夠旋轉(zhuǎn)物體。

2、許多計算機繪圖文本中有些使用旋轉(zhuǎn)矩陣的物體旋轉(zhuǎn)的有用的分析。旋轉(zhuǎn)矩陣的第三個有關(guān)的用法是去理解天線定位器。你可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣來描述定位器的旋轉(zhuǎn),并且計算旋轉(zhuǎn)的影響,這不僅包括天線的方向同時也包括極化方向。p1EanqFDPw二.使用歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣進行坐標旋轉(zhuǎn)天線分析因為兩個原因需要坐標變換。天線的的規(guī)范和測量需要沿著Z軸瞄準線指向,但是經(jīng)常分析時需要使用其他指向的基陣。例如,偏饋拋物面使用一種指向反射中心的反饋天線,然而反射軸是在Z軸上。曲面物體的各個面上的天線陣列每個單元指向不同。一個陣列因子乘以單元方向圖衰減的想法和分析必須在每個單元中坐標的方向圖進行方向旋轉(zhuǎn)。第二種坐標旋轉(zhuǎn)的有用的應用是旋

3、轉(zhuǎn)空中的物體和電流。你可以在一個坐標系中算出幾何結(jié)構(gòu),這種計算比較容易,而且然后旋轉(zhuǎn)天線和電流到真實的指向。這種方法對于這些步驟使用3X3旋轉(zhuǎn)矩陣。DXDiTa9E3d第一種感興趣的情況是天線單元在空間中指向任意,這里定位可以用一個旋轉(zhuǎn)矩陣來描述。我們們把想要的輻射方向圖方向旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)天線的坐標系以找出用什么測量角來滿足單元所需要。這種指向旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)天線坐標系通過下面給出RTCrpUDGiT旋轉(zhuǎn)坐標系rotatedrotatedrotatedZYX=旋轉(zhuǎn)矩陣?ZYX(1)我們們把矩形坐標變換到球形坐標以找出輻射方向角。旋轉(zhuǎn)極化方向?qū)⒃谙旅嬗懻摗?PCzVD7HxA第二種分析中感興趣的情況是旋轉(zhuǎn)

4、物體并且找到新的坐標。兩種情況都用相同的矩陣。我們們要么用旋轉(zhuǎn)矩陣乘以向量從左開始以找到旋轉(zhuǎn)物體坐標系里的坐標,要么從右開始乘來旋轉(zhuǎn)物體。位置的旋轉(zhuǎn)使用方程式jLBHrnAILgoldoldoldZYX旋轉(zhuǎn)矩陣=?rotatedrotatedrotatedZYX(2)旋轉(zhuǎn)矩陣可以在單元向量旋轉(zhuǎn)時的方向中找到。它在下面給出旋轉(zhuǎn)矩陣=?axis-zotatedaxis-yotatedaxis-xotatedRRR(3) xHAQX74J0X旋轉(zhuǎn)很難形象化,所以這個報告給出兩個方法。它對于使用小坐標系手動形成旋轉(zhuǎn)并且校驗天線指向很有用。這種方法使用3X3矩陣來完成旋轉(zhuǎn)，通過和位置或者方向向量的乘法來

5、完成。關(guān)于X軸的旋轉(zhuǎn)給出?AAAAcossin-0sincos0001(4) 關(guān)于Y軸的旋轉(zhuǎn)?BBBBcos0sin010sin-0cos(5)關(guān)于Z軸的旋轉(zhuǎn)?1000cossin-0sincosCCCC(6)AXRTA程序可以找關(guān)于主軸的3個旋轉(zhuǎn)矩陣的任意一個。LDAYtRyKfEFORTRA貨程序AXRTA旋轉(zhuǎn)矩陣SUBROUTINEAXRTA(EA,IA,AS)CCRotationMatrixforRectangularCoordinatesCCEARotationAngle(radians)CIAAxisofrotation:1X-axis,2Y-axis,3Z-axisCAS(3,3

6、)RotationMatrixCZzz6ZB2LtkDIMENSIONAS(3,3)CA=COS(EA)SA=SIN(EA)DOlI=l,3DO2J=I,3AS(J,I)=-SA2AS(I,J)=SAdvzfvkwMI11 AS(I,I)=CAD031=1,3AS(I,IA)=O.3AS(IA,I)=O.AS(IA,IA)=l.RETURNENrqDyn14ZNXI三種旋轉(zhuǎn)能夠?qū)⒁粋€物體重新定向到任意方向。我們門通過把這些相乘得到最終旋轉(zhuǎn)矩陣。通過三種旋轉(zhuǎn)矩陣的結(jié)果來確定一個方位的旋轉(zhuǎn):EmxvxOtOco?=rotatedrotated321oldoldoldZYXRRRZYXrotated

7、(7)合理的方法是在乘以方位向量之前乘以3X3矩陣,R1,R2,R3。當我們們自右用R2乘以R1,它旋轉(zhuǎn)R1的旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸。自右乘R3的乘法運算旋轉(zhuǎn)R2旋轉(zhuǎn)軸,并且R1被再次旋轉(zhuǎn)。我們們可以采取從左到右一個接一個的旋轉(zhuǎn),并且使用關(guān)于各個主要軸的旋轉(zhuǎn)矩陣,只要我們們在每個乘法后將行向量轉(zhuǎn)變成列向量。SixE2yXPq5子程序MTMULT等任意適當大小的矩陣相乘。FOTRANfc二維變量中要求固定大小,但是一個向量當它的真實維度是(n)的時候,可能以(n,1)維或者(1,n)維來傳遞。6ewMyirQFLFORTRANSubroutineMTMULTMatrixmultiplicationforre

8、alvariableskavU42VRUsSUBROUTINEMTMULT(A,B,C,NR,NN,NC)CCMatrixMultiplicationAxB=CCCNRNumberofRowsofAandCCNNNumberofcolumnsofAandNumberofrowsofB,C.NCNumberofcolumnsofBandCLy6v3ALoS89DIMEI'ISIONA(NR,NN),B(NN,NC),C(NR,NC)DO11=1,NRDO1J=1,NCD02K=l,NNM2ub6vSTnP2 C(I,J)=C(I,J)+A(I,K)*B(K,J)1CONTINUERETU

9、NEND0YujCfmUCwC(I,<I)=o.一種定義空間物體的方向的方法是使用球坐標角度,因為他們輻射方向圖角度相同。這種情況下,我們們將矩陣從右到左排成一行。當旋轉(zhuǎn)一個軸的坐標系時,其他的軸轉(zhuǎn)變方向。接下來的旋轉(zhuǎn)是關(guān)于這些旋轉(zhuǎn)軸的。這三種旋轉(zhuǎn)經(jīng)常被稱作歐拉角。三種球坐標指向旋轉(zhuǎn)是eUts8ZQVRd1)Z軸旋轉(zhuǎn)二62)新Z軸旋轉(zhuǎn)=93 )新Z軸旋轉(zhuǎn)使天線的極化對齊最后的旋轉(zhuǎn)是最困難的,因為前面兩個旋轉(zhuǎn)已經(jīng)改變的天線的方向。EULER子程序結(jié)合了AXRTA為主軸的旋轉(zhuǎn)通過矩陣乘法MTUL以計算完整的旋轉(zhuǎn)矩陣。sQsAEJkW5TFORTRANSubroutineEULERRotati

10、onmatrixSUBROUTINEEULER(EA,IA,AS)CCEulerRotationMatrixCCEAArrayofEulerAngles(radians)CPositivegivesCCWrotationCaboutaxisspecifiedbyIACIAArrayofAxisDesignators(1X-axis,2Y-axis,GMsIasNXkAC3Z-axis)CForexample,rotationaboutZaxis,NewYaxis,CNewZaxiswouldrequireIAtobe:3,2,3CAS(3,3)MatrixofrotationDIMENSION

11、EA(31,IA(3),AS(3,3),AW(3,3),BW(3,3)TIrRGchYzgCALLAXRTA(EA(1),IA(l),AS)CALLAXRTA(EA(2),IA(2),BW)CALLMTMULT(BW,AS,AW,3,3,3)CALLAXRTA(EA(3),IA(3),BW)CALLMTMULT(BW,AW,AS,3,3,3)RETURNEND仔細閱讀EULEFR?序，它揭示了乘法是以相反的方向進行的。三.旋轉(zhuǎn)天線的旋轉(zhuǎn)矩陣程序的旋轉(zhuǎn)矩陣輸出使主要坐標系的輻射方向圖的方向的旋轉(zhuǎn)可以被旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)天線的坐標系。輻射方向圖的方向向量后被旋轉(zhuǎn)矩陣自右乘以表示旋轉(zhuǎn)坐標系的向量。矩陣分量變

12、換成球坐標從旋轉(zhuǎn)天線給予了輻射方向圖所需要的方向。輻射方向圖主程序?qū)⒃谛D(zhuǎn)坐標系統(tǒng)返回極化分量。然后,主要坐標系的的極化方向向量被旋轉(zhuǎn)到天線單元的旋轉(zhuǎn)坐標中,并且極化單元向量被投射到這些旋轉(zhuǎn)分量上。這種旋轉(zhuǎn)矩陣后乘方向(矩陣在左,向量在右)或者方向向量不會改變它的方向,而是改變它的表現(xiàn)。PATRO程序?qū)⑦@些想法結(jié)合以使天線指向它的正常瞄準線之外可以使用。7EqZcWLZNXFORTRANSubroutinePATROTPatternrotationSUBROUTINEPATROT(ROT,VR,VT,VP,THETA,PHI,VTP,VPP)CCRotatesPatterndirectioni

13、nprimecoordinatesCtorotatedantennacoordinatesCCROT(3,3)RotationmatrixCVR(3)PatterndirectionunitvectorCVT(3)ThetaunitvectorforVRdirectionCVP(3)PhiunitvectorforVRdirectionCCTHETAPatterndirectioninrotatedantennaCcoordinatesCPHIPatterndirectioninrotatedantennaC(radians)CVTP(3)DirectionofThetacomponentin

14、rotatedCcoordinatesCVPP(3)DirectionofPhicomponentinrotatedCcoordinatesCDIMENSIONROT(3,3),VR(3),VT(3),VP(3),VTP(3),$VPP(3),XX(3),SP(3)CALLMTMULT(ROT,VR,XX,3,3,1)CALLRETSP(XX,SP)THETA=SP(2)PHI=SP(3)CALLMTMULT(ROT,VT,VTP,3,3,1)CALLMTMULT(ROT,VP,VPP,3,3,1)RETURNENDRETS布序?qū)⒕匦巫鴺俗儞Q到球形坐標。SUBROUTINERETSP(X,S)

15、CCRectangulartoSphericalCoordinatesCX-(X,Y,Z)CS-Radius,Theta(radians),Phi(radians)CDIMENSIONS(3),X(3)PI=2.*ACOS(0.)S(1)=SQRT(X(1)*X(1)+X(2)*X(2)+X(3)*X(3)lzq7IGf02ES(2)=0.S(3)=0.IF(S(1).LE.0.)RETURNS(2)=ACOS(X(3)/S(1)IF(S(2).EQ.0.OR.S(2).EQ.PI)RETURNS(3)=ATAN2(X(2),X(1)RETURNEND8,給定旋轉(zhuǎn)天線的方向，用EULE陳找到天

16、線的旋轉(zhuǎn)矩陣。以一個輻射方向圖方向()小作為輸入，程序FFDIR彼回輻射方向，8和小單元向量。輻射單元向量是輻射方向圖的方向。zvpgeqJ1hkSUBROUTINEFFDIRC(THETA,PHI,VR,VT,VP)CCFarFielddirectionvectorsCCTHETA,PHIPatternangles(radians)CVR(3)RadiusunitvectorCVT(3)ThetapolarizationunitvectorCVP(3)PhipolarizationunitvectorCDIMENSIONS(3),VR(3),VT(3),VP(3)S(l)=l.S(2)=TH

17、ETAS(3)=PHICALLARADS(SIVR)CALLATHET(S,VT)CALLAPHI(S,VP)RETURNEND9,子程序ARAD驅(qū)回矩形坐標的輻射向量。如果我們們將來自給定球坐標方向()小ARADS勺返回結(jié)果矩形分量乘以輻射向量的長度,然后程序就將球坐標轉(zhuǎn)換成矩形坐標。SUBROUTINEARADS(S,AR)CCUnitVectorinRadiusDirection(RectangularCCoordinates)CCS-SphericalCoordinatesCAR-UnitVectorCDIMENSIONS(1),AR(1)AR(1)=SIN(S(2)*COS(S(3)

18、AR(2)=SIN(S(2)*SIN(S(3)AR(3)=COS(S(2)RETURNEND在給定球坐標或者輻射方向角的情況下,子程序ATHE麗APHI返回極化方向8和小的矩形分量。SUBROUTINEATHET(S,AT)CCUnitVectorinThetaDirection(RectangularCCoordinates)CCS-SphericalCoordinatesoflocationCAT-UnitVectorCDIMENSIONS(3),AT(3)AT(1)=COS(S(2)*COS(S(3)AT(Z)=COS(S(Z)*SIN(S(3)AT(3)=-SIN(S(2)RETURN

19、ENDNrpoJac3v1SUBROUTINEAPHI(S,AP)CCUnitVectorinPhiDirection(RectangularCCoordinates)1nowfTG4KICS-SphericalCoordinatestolocationCAP-UnitVectorCfjnflda5zoDIMENSIONS(1),AP(1)AP(1)=-SIN(S(3)AP(2)=COS(S(3)AP(3)=O.RETURNENDtfnNhnE6e5我們們認定在迭代一個共形陣列的單元時這些方向不變以找到輻射方向圖。PATROT勺調(diào)用返回旋轉(zhuǎn)天線的輻射方向圖的方向。通常的輻射被用于找出電場的兩個

20、遠場分量。另外一個FFDIRC的調(diào)用返回旋轉(zhuǎn)坐標系的單元向量的方向。程序PATROTS回旋轉(zhuǎn)坐標系的9定向單元向量VTP和小定向單元向量VPP。例如，第二個FFDIRC()VPRVTRVRR,69計算單元向量。最后的輻射分量是HbmVN777sLVTPVPREVTPVTREE?+=ee688(8)VPPVPREVPPVTREE?+?=ee小86(9)四.空間物體的旋轉(zhuǎn)為了使用矩陣來旋轉(zhuǎn)空間的物體,將旋轉(zhuǎn)矩陣預乘方向向量(向量在左矩陣在右)。矩陣乘法有意義的唯一方式是使用行向量。V7l4jRB8Hs在第二種計算旋轉(zhuǎn)矩陣的方法里,從左到右計算三個單軸旋轉(zhuǎn)矩陣。在這種情況下,軸不改變方向。首先,對X

21、軸進行旋轉(zhuǎn),Y軸Z軸保持它們正常的方向。第二,對Y軸旋轉(zhuǎn),例如仍然是沿著參考坐標系的真實Y軸。右旋轉(zhuǎn)矩陣在預乘整個旋轉(zhuǎn)矩陣時不僅僅旋轉(zhuǎn)空間的點還旋轉(zhuǎn)左旋轉(zhuǎn)矩陣。例如,如果我們們用兩個旋轉(zhuǎn)矩陣ZY,其中Y是一個關(guān)于Y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣,然后關(guān)于在Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣Z,當矩陣以這種順序相乘時,旋轉(zhuǎn)了Y軸。83lcPA59W9旋轉(zhuǎn)矩陣的順序描述球坐標（）68,的物體旋轉(zhuǎn)一樣。關(guān)于Z軸的旋轉(zhuǎn)是小，而旋轉(zhuǎn)9是關(guān)于旋轉(zhuǎn)后的Y軸的。我們們使用旋轉(zhuǎn)矩陣ZY。這種方法或者第一種方法都會產(chǎn)生合適的mZkklkzaaP旋轉(zhuǎn)矩陣，當時當使用EULER時，要記住旋轉(zhuǎn)是從右到左相乘。當使用第二種方法時,以相反的順序發(fā)送旋轉(zhuǎn)矩陣,同

22、時軸指示數(shù)字也以相反的順序進行。AVktR43bpw五.任意軸的旋轉(zhuǎn)有些時候,我們們需要沿著一個并非主要軸的任意軸旋轉(zhuǎn)一個物體。這種情況需要一點額外的工作,但是如果我們們在旋轉(zhuǎn)之前或者之后平移一個物體我們們會找到一個單獨的旋轉(zhuǎn)矩陣。假定一個軸的端點用兩個位置向量1a和2a表示,我們們把1a作為起點向量,然后通過從1a軸到2a軸的逆時針旋轉(zhuǎn)來測量旋轉(zhuǎn)。然后就能得出向量2a-1a,并且它將被轉(zhuǎn)換成球坐標（）68,。旋轉(zhuǎn)矩陣將把方向向量從Z軸旋轉(zhuǎn)到之前得出的旋轉(zhuǎn)軸。第一個旋轉(zhuǎn)是關(guān)于Z軸的小旋轉(zhuǎn)，然后第二個旋轉(zhuǎn)是關(guān)于Y軸的9旋轉(zhuǎn)。三個歐拉角是（1）關(guān)于Z軸的ORjBnOwcEd小旋轉(zhuǎn),（2）關(guān)于Y軸的

23、9旋轉(zhuǎn)（3）關(guān)于Z軸的零，這給出了一個旋轉(zhuǎn)矩陣R矩陣的倒轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)矩陣的倒轉(zhuǎn)將物體以相反的方向旋轉(zhuǎn)。矩陣是正交,這意味著它的倒置陣是他的相反矩陣。我們們將旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)到Z軸,沿著Z軸旋轉(zhuǎn),然后旋轉(zhuǎn)回原始的坐標系。然后我們們通過減去向量1a平移一個位置向量,后乘RRRZT給出的旋轉(zhuǎn)矩陣,其中2MiJTy0dTTZR是關(guān)于軸的Z軸旋轉(zhuǎn),然后我們們將平移向量1a加到旋轉(zhuǎn)后的位置向量。不論你使用哪種方法計算旋轉(zhuǎn)矩陣,旋轉(zhuǎn)矩陣和向量的乘法,如果你需要在旋轉(zhuǎn)坐標系中表示的向量就將位置（方向）向量放在矩陣的右邊。如果要旋轉(zhuǎn)一個物體,就將向量放在旋轉(zhuǎn)矩陣的左邊作為個行向量然后進行乘法運算。gIiSpiue7A六.

24、定位器模型塔我們們用空間軸旋轉(zhuǎn)來描述天線定位器。在定位器模型塔頂部安裝一個方位表。這個定位器將在球坐標系中準確移動天線，通過和9對應的方向軸，和小對應的模型塔頂部方位軸。水平極化源天線測量9極化，而垂直極化源天線測量小極化。水平平面包括X軸和Z軸。垂直的是Y軸。定位器沿著固定的Y軸（方向軸）旋轉(zhuǎn)天線,并且旋轉(zhuǎn)一個變換方向的Z軸（頭軸）。因為Z軸旋轉(zhuǎn)是通過Y軸旋轉(zhuǎn)的,所以旋轉(zhuǎn)矩陣是以YZ順序:uEh0U1Yfmh?cosA0sinA-010sinA 0 cos 100cos sinHcosA 0sin -coscosAHHAH（10）IAg9qLsgBX軸的正旋轉(zhuǎn)沿著軸的順時針。因此，角A（方位

25、角）和H（AUT或者頭軸角）是負旋轉(zhuǎn)而且在上面的表達式中反映出來。當矩陣相乘時,我們們得到表達式WwghWvVhPE?=?axiszotatedaxisyotatedaxisxotatedcosA0sinA-sinHsinAcossinHcosAsincossin-coscosRRRHAHHAH(11)asfpsfpi4k軸的旋轉(zhuǎn)單元球面坐標（）68 ,Z 軸的投影由沿Z 軸的單位向旋轉(zhuǎn)后的球面Z 軸方向0 (|)0 (I)cos sin sin sin cos矩陣的每一行是單元球體上的某一個軸的位置。定位器旋轉(zhuǎn)天線,這被作為一個單位半徑球體表達我們們需要知道指向Z是什么方向,還有源天線的方向。每個旋轉(zhuǎn)軸沿量和向量的點積給出:ooeyYZTjj1?=?=8cosAsinHsinAcosHsinA(12)BkeGuInkxI第二個向量顯示了頭軸或者AUT軸的旋轉(zhuǎn)對應一個小旋轉(zhuǎn)，并且方位表旋轉(zhuǎn)在球坐標系中對應9旋轉(zhuǎn)。七.方向角超過仰角定位器一種常見的重型定位器是抬升方向角定位器,其中源方向通常沿著水平面。當仰角面是0度時,天線的視軸（Z軸）從垂直Y軸方位表90度安裝。仰角軸是一個水平X