解圓錐曲線大題的精髓——設(shè)而不求

1、解圓錐曲線大題的精髓設(shè)而不求侯勝哲（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)學(xué)院，廣州）摘 要： 主要針對高中成績在中等的學(xué)生，讓他們對解圓錐曲線大題有一定方向性的認(rèn)識，理清解題思路.對成績較好的學(xué)生有解題思路的補(bǔ)充參考價(jià)值，對老師有教學(xué)參考價(jià)值，希望老師先將復(fù)雜問題簡化，先解決主要矛盾，使題有一定的規(guī)律感，最后再使之豐滿，提升.這對學(xué)生的理解有好處.關(guān)鍵詞：圓錐曲線大題 韋達(dá)定理 設(shè)而不求 Abstract This paper helps the high school students understanding how to solve conic curve questions who are in

2、the middle. And it is supplementary reference value for good students. Teachers are benefited from this paper in teaching .Keywords:conicquestionVieta theoremisnot seeking 很多高中學(xué)生覺得求解圓錐曲線大題很困難,這讓我們陷入思考：求解圓錐曲線大題難在哪？它和初中的幾何題有什么不同呢？很多同學(xué)可能和我有同感:對圓錐曲線題的思路大體都知道,可就是解不出.現(xiàn)階段的解題方法與初中幾何的解題不同，需要優(yōu)化思路,可試著用“設(shè)而不求”的思

3、想.如果真正理解其含義,就會(huì)自信的說:“不建立坐標(biāo)系,我也能把答案寫出了”.一、回顧韋達(dá)定理 “設(shè)而不求”的方法的依據(jù)是韋達(dá)定理,很多老師對韋達(dá)定理的理解只是形式上的理解.沒有讓學(xué)生明確韋達(dá)定理最主要也是最重要的用途是什么，遇到何種情況適用.首先,讓我們欣賞一下韋達(dá)定理的美麗：任給一個(gè)一元二次方程,設(shè)它的兩根為.則根和系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式為： 根據(jù)觀察,如果已知,我們通過應(yīng)用韋達(dá)定理，可以不用知道的具體值，就能求出,的值.二、深入探索(結(jié)合圓錐曲線) 設(shè)直線,圓錐曲線，直線與曲線相交于兩交點(diǎn).聯(lián)立方程：可求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)所滿足的一元二次方程： 根據(jù)題設(shè)條件，經(jīng)過計(jì)算，得到此方程的判別式為： , 經(jīng)過

4、觀察思考，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)字母系統(tǒng)： 系統(tǒng)：交點(diǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)：(注：知等同知). 系統(tǒng)：方程系數(shù)系統(tǒng)：. 假若我們知道和中任意四個(gè)量，就能根據(jù)韋達(dá)定理解出其它兩個(gè)量. 但實(shí)際解題中，題設(shè)往往沒給出那么多量,所給條件比較苛刻.一般只給出中的部分未知量,不給出中的量.那怎么辦？我們便盡可能簡化,即用韋達(dá)定理表示出和 ,代入等量關(guān)系式中，以解決問題. 分析至此,我們試想：什么樣的等量關(guān)系式中會(huì)出現(xiàn)表達(dá)式，？我們可以聯(lián)系到弦長公式,中點(diǎn)公式(對稱問題),重心公式，以及斜率,. 結(jié)合高考題目,大部分圓錐曲線題都不會(huì)讓你直接求解,而是替換和，化簡等量關(guān)系式，然后解出所求. 體會(huì)到這一點(diǎn)時(shí),相信學(xué)生找到新的解題方向,

5、明白出題老師的一貫手法,解題壓力輕松了許多. 三、實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 (涉及：拋物線,向量,求軌跡問題)例11：已知拋物線,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線與交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程解：(1)易得.（2）要求點(diǎn)的軌跡方程,就得求點(diǎn)中坐標(biāo)與的關(guān)系.設(shè)和，根據(jù)，有 要想得到, 表達(dá)式,得先處理和.一見到這種形式,就讓我們想到韋達(dá)定理.聯(lián)立方程求解： 消去可得.又由，且，經(jīng)計(jì)算，得出.繼而，點(diǎn)的軌跡方程為. 從上題解題過程看出：我們并沒有解出,而是將整體解出，整體解題思路不變.是不是其它題也可這樣解題呢？ (涉及：橢圓,弦長,兩點(diǎn)間距離公式,斜率) 例22：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),

6、焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)(,不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 解： (1)易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)要想證明直線過定點(diǎn)，求出定點(diǎn),則要得到的方程.而現(xiàn)在中有兩個(gè)參變量，我們只要一個(gè)參數(shù),所以要找到與的關(guān)系,消去一個(gè)參數(shù).方案一：利用已知條件，列等量關(guān)系：.弦長： . (3-1)圓心：,橢圓右頂點(diǎn). (3-2) 結(jié)合(3-1)、(3-2),利用兩點(diǎn)間距離公式得到： . 我們發(fā)現(xiàn)：在上式中又見到,了！同樣，我們又可應(yīng)用韋達(dá)定理加以代換,做到簡化運(yùn)算. (注

7、：)但就算是理論上此種方法可行，我們依然覺得計(jì)算量大。如果想鍛煉一下計(jì)算能力，可以一試.下面本文提供更為簡便的方法. 方案二：思路同樣是先建立等量關(guān)系,尋找與的關(guān)系.不過這次我們利用圓的性質(zhì).因?yàn)閳A心角為直角，所以,即. 整理得 (3-3) 上式中又出現(xiàn)表達(dá)式：,下面替換掉它們.(已驗(yàn)證) (3-4)而 (3-5)將(3-4)、(3-5)代入(3-3)中，化簡得到：.把看作未知數(shù)(把看作未知數(shù)也可)解得 當(dāng)時(shí),與直線過橢圓右頂點(diǎn)相矛盾. 當(dāng)時(shí),直線方程為，過定點(diǎn). 綜上可知,所求定點(diǎn)坐標(biāo)為. 總結(jié)：這道題依然符合上題的解題規(guī)律,而且將設(shè)而不求的思想結(jié)合圓的知識，應(yīng)用到橢圓領(lǐng)域.學(xué)會(huì)替換,是設(shè)而

8、不求思想的關(guān)鍵.若掌握了以上方法,利用條件的轉(zhuǎn)化,以利于解決問題.下面是兩道分別來自廣東和江西的高考題,讓我們體會(huì)一下設(shè)而不求在求解高考題中的應(yīng)用. 例33：(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足(如圖1所示). ()求的重心(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程； ()的面積是否存在最小值？若存在,請求出最小值；若不存在,請說明理由. 圖1 解：(I)設(shè),的重心為.則 (3-6) 我們只需要求出,即可. 設(shè)直線的方程為.由已知條件得到：(已驗(yàn)證)所以 .現(xiàn)在要消去一個(gè)參數(shù).由已知條件,知，即. (3-7) . 將和代入(3-7)式，得.經(jīng)整理得： (3-

9、8)根據(jù)(3-6)，計(jì)算得.消去參數(shù),得重心的軌跡方程為.(II) . 注意和，代入上式，得 .將(3-8)中相關(guān)表達(dá)式代入上式，得.而，所以的面積存在最小值.存在最小值時(shí)，求得面積最小值是1. 有了前面的訓(xùn)練，這道題的難度降低很多.值得注意的是,在處理時(shí)，將和整體代入,這也是“設(shè)而不求”的一部分. 例44：(本小題滿分13分)是雙曲線：上一點(diǎn),分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn),直線的斜率之積為.（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),為雙曲線上的一點(diǎn),滿足,求的值.解：(1)已知雙曲線：,在雙曲線上.、分別為雙曲線的左右頂點(diǎn),所以,直線斜率之積為.而,比較得 . (2)要求的值,先考察已知條件,看看與哪些量相關(guān).設(shè)過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線：,交雙曲線于,兩點(diǎn),則不妨設(shè),又，所以 因點(diǎn)在雙曲線上,即. . （3-9)（注意和的出現(xiàn),利用韋達(dá)定理代換,另外注意和.）聯(lián)立直線和雙曲線方程消去得：.由韋達(dá)定理得： 利用直線的方程可計(jì)算得出：. 由此，利用（3-9）式，計(jì)算可得：. 這道題和例3有相似之處,處理下式時(shí)，將和整體代入,這也是“設(shè)而不求”的一部分. 總結(jié)：設(shè)而不求，實(shí)際上是利用韋達(dá)定理和整體代換,簡化運(yùn)算步驟,而我們基本