計算方法考題B06答案

1、計算方法（B）答案 2006-12-24 考查 成績學院 姓名 學號 1、（4分），則近似值：有 6 位有效數字，有 7 位有效數字；2、（4分）設 （均為實數），則差商：= 12 ，= 2 ；3、（4分）具有個節(jié)點的插值型數值積分公式的代數精度至少是 n 階，至多是 2n+1 階；4、（4分）已知函數是單峰函數，在 1，2 區(qū)間有極小點，利用0.618法進行一維優(yōu)化：函數值：，則刪去部分區(qū)間后保留區(qū)間： ，下次計算函數值的點是： 1.764 ；5、（4分）按數值積分的復化Simpson公式計算得：，由此可估計誤差： ；6、（6分）三階矩陣及其逆矩陣如下，則的范數意義下的條件數： 748 ；又

2、，解方程組，若殘量的范數，則可估計解的誤差 4.08 ； 7、（8分）函數有形式，測試數據如下表：-1.06-0.5671.431.77 請給出用最小二乘法確定系數的法方程（取3位有效數字計算）： 得： 8、（10分）用Gauss消去法解以下方程組，并將其系數矩陣 分解為形式（單位下三角、對角、單位上三角矩陣）： ； 答： 主元：9、（10分）方程組： 考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解方程組的收斂性； 解：方法（1）將原方程第3行兩邊除2，便為對稱： 正定， 正定， 因此，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收斂；完 方法（2）若對方程不作改變，Jacobi迭代

3、矩陣： 記 ，又由 及，因此，方程 在，及 中各有一解，因此，因此Jacobi迭代收斂； Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣：或：迭代矩陣 譜半徑是以下特征多項式的根： 解得： ，所以Gauss-Seidel迭代收斂；完10、（10分）已知方程在區(qū)間中有唯一解，給出包含此解的長度不超過0.5的區(qū)間，及一個簡單迭代，使之在此前定的區(qū)間中任取初值，迭代收斂于； 解：由 可知 令 ，迭代， 因 ，而 ，又 由，因此，由定理可知，迭代 收斂。11、（12分）試給出計算以下積分的兩點求積公式，使之具有盡可能高的代數精度，并請給出此時公式的誤差： 令 ， 解：1、確定公式 正交多項式：所以，節(jié)點， 公式： 或 待定系數法： 利用對稱區(qū)間性質：令由此可得與上相同的公式。為得到誤差，考察代數精度：令：因此，代數精度為3。2、誤差：由于代數精度為3，故 令 若用廣義Peano定理： ?。?12、（12分）解常微分方程初值問題 的算法：1）確定系數，使算法具有盡可能高的精度，并給出局部截斷誤差；2）請將所得公式與以下公式結合，組成“預估-修正-校正”公式： ；解：1）數值積分方法： 令，有： 或 待定系數法： 得： 2）取 由 及 得 ，因此有 13、（12分）設，函數 求區(qū)間上滿足以上插值條件的分段三次插值多項式（自然樣條）；解：設 令，故有 由此