經(jīng)典—直線與雙曲線位置關(guān)系學(xué)案教學(xué)法

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系知識(shí)梳理：1、直線與雙曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題：可以轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，往往通過(guò)消元后最終轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的解的問(wèn)題或一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，討論時(shí)特別要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，即解決直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題要用好化歸思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想需要注意的是當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)2、涉及直線與雙曲線相交弦的問(wèn)題：主要有這樣幾個(gè)方面：相交弦的長(zhǎng)，有弦長(zhǎng)公式|AB|=|x2x1|；弦所在直線的方程（如中點(diǎn)弦、相交弦等）、弦的中點(diǎn)的軌跡等，這可以利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法（設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入

2、曲線方程，并不具體求出坐標(biāo)，而是利用坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系直接導(dǎo)致問(wèn)題的解決）3、韋達(dá)定理的運(yùn)用：由于二次曲線和二次方程的密切關(guān)系，在解決二次曲線問(wèn)題時(shí)要充分重視韋達(dá)定理的運(yùn)用4、 弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為 ；若直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為 5、焦半徑：P在右支上時(shí)： ； P在左支上時(shí)：典型示例例1（1）（2010遼寧）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(D )（A） （B） （C） （D）【解析】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F（c,0）,B(0,b)直線F

3、B：bx+cy-bc=0與漸近線y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）（2）(09湖北卷)已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（ ）A.B. C. D. 【變式】（09浙江）過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D例2已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)，求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn).【變式】直線與雙曲線的左支相交于，兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)和中點(diǎn)的直

4、線在軸上的截距為，求的取值范圍例3已知雙曲線和定點(diǎn)（I）過(guò)點(diǎn)可以做幾條直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；（II）雙曲線的弦中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦是否存在？并說(shuō)明理由【變式1】已知雙曲線x2=1與點(diǎn)P（1，2），過(guò)P點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若P為AB中點(diǎn)。（1）求直線AB的方程；（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦【變式2】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)、兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率例4 已知雙曲線的方程是16x29y2=144（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；（2）設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=32，求

5、F1PF2的大小【變式2】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD【變式3】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、兩點(diǎn)，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率例5已知雙曲線的方程為, 直線通過(guò)其右焦點(diǎn)F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線的左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，求|F1A|·|F1B|的最小值解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A到雙曲線的左準(zhǔn)線x= = 的距離d=|x1+|=x1+，由雙曲線的定義，=e=, |AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2

6、, |F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(,0), (1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線AB的方程為：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|·|F1B|>(2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(雙曲線的第一定義), |F1A|·|F1B|=由(1), (2)得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)|F1A|

7、83;|F1B|取最大值【變式】已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且，與雙曲線各有，和，兩個(gè)交點(diǎn)(1)求的斜率的取值范圍；(2)若，求，的方程； 練習(xí)：1已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的（ ）A焦距為10 B實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)分別是8和6C離心率是或 D離心率不確定2如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么點(diǎn)到它的右準(zhǔn)線的距離是（ ）AB10CD3直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（ ）A1B2C3D44、雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線的斜率為（ ）ABCD5、設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的的距離為，則雙曲線的離心率為_(kāi)6、點(diǎn)平分雙曲線的一條弦，則這條

8、弦所在的直線方程是_7、求雙曲線，被點(diǎn)平分的弦的方程8、求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積9、已知、是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且、與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，求的斜率的取值范圍練習(xí)1已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的（ C ）A焦距為10 B實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)分別是8和6C離心率是或 D離心率不確定2如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么點(diǎn)到它的右準(zhǔn)線的距離是（A）AB10CD3直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（B）A1B2C3D44、雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線的斜率為（A ）ABCD5、設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的的距離為，則雙曲線的離心率為_(kāi)26、點(diǎn)平分雙曲線的一條弦，則這條弦所在的直線方程是_7、求雙曲線，被點(diǎn)平分的弦的方程解：令，得：，即，設(shè)的斜率為，則弦的方程為8、求