考點(diǎn)版一元二次不等式高次不等式分式不等式絕對值不等式解法

1、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、絕對值不等式解法 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運(yùn)算的符號法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個(gè)因式必須異號，原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.書寫時(shí)可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程的兩根為，則；若當(dāng)時(shí)，得或；當(dāng)時(shí)，得.若當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)

2、，得.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+

3、各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式（各項(xiàng)x的符號化“+”），令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分；按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)&

4、gt;0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解 例2圖 練習(xí)圖直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0

5、”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次（自右上方開始），如下圖：原不等式的解集為：x|-1<x<2或2<x<3.說明：3是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1

6、)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1，3；在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說明：注意不等式若帶“=”號，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.錯(cuò)解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個(gè)不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ，原不等式的解集是說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是x| -7<x

7、3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子，它的正負(fù)不知，不等號方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.例5 解不等式：.解法1：化為不等式組來解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.3、絕對值不等式1）先兩邊提出公因式，約分2）等式兩邊平方小 結(jié)1特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：左邊

8、各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；注意邊界點(diǎn)（數(shù)軸上表示時(shí)是“0”還是“.”）.2分式不等式，切忌去分母，一律移項(xiàng)通分化為>0(或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式 .3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4注意必要的討論.5一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.思考題：1 解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：將二次項(xiàng)系數(shù)化“+”為：(x2-x-12)(x+a)>0，相應(yīng)方程的根為：-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？討論：當(dāng)-a>4，即a<-4時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<4或x>-a.當(dāng)-3<-a<4，即-4<a<3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<-a或x>4.當(dāng)-a<-3，即a>3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -a<x<-3或x>4.0當(dāng)-a=4，即a=-