第六章第2講　等差數列及其前n項和

1、抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考第第2講等差數列及其前講等差數列及其前n項和項和抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考考點梳理考點梳理(1)等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差等于與前一項的差等于_，那么這個數列就叫做等，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差差數列，這個常數就叫做等差數列的公差(公差常用字母公差常用字母“d”表示表示)即即anan1_(n2，nN)1等差數列的定義及通項公式等差數列的定義及通項公式同一個常數同一個常數d抓住抓住

2、3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)等差數列的通項公式：若等差數列的首項為等差數列的通項公式：若等差數列的首項為a1，公差為，公差為d，則通項公式為，則通項公式為an_；若已知第；若已知第m項項am和公和公差差d，通項，通項an還可寫成還可寫成an_.(1)若數列若數列an是等差數列，則是等差數列，則anam_(n、mN*)(2)數列數列an是等差數列，若是等差數列，若mnpq(m，n，p，qN*)，則，則aman_特別地，若特別地，若mn2p，則，則aman_.a1(n1)dam(nm)d.2等差數列的性質等差數列的性質(nm)dapaq2ap抓住抓住3個考點個考

3、點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)在有窮等差數列在有窮等差數列an中，與首、末兩項距離相等的任意中，與首、末兩項距離相等的任意兩項之和與首、末兩項之和相等，如兩項之和與首、末兩項之和相等，如a1ana2_.an1抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考annd抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考3等差數列的前等差數列的前n項和項和(3)最值問題：在等差數列最值問題：在等差數列an中，中，a10，d0，則，則Sn存在存在_，若，若a10，d0，則，則Sn存在存在_最大值最大值最小值最小值抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考

4、向個考向揭秘揭秘3年高考年高考一個命題解讀一個命題解讀等差數列是高考考查的重點內容，主要考查等差數列的通等差數列是高考考查的重點內容，主要考查等差數列的通項公式，前項公式，前n項和公式，等差數列的性質等相關內容對項和公式，等差數列的性質等相關內容對等差數列的定義，性質及等差中項的考查，以填空為主，等差數列的定義，性質及等差中項的考查，以填空為主，難度較小通項公式與前難度較小通項公式與前n項和相結合的題目，多出現在項和相結合的題目，多出現在解答題中，難度中等解答題中，難度中等對這部分內容的考查仍會堅持小題考性質、大題考靈活運對這部分內容的考查仍會堅持小題考性質、大題考靈活運用知識分析問題、解決問

5、題的能力用知識分析問題、解決問題的能力【助學助學微博微博】抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考等差數列的判斷方法等差數列的判斷方法(1)定義法：對于定義法：對于n2的任意自然數，驗證的任意自然數，驗證anan1為同一為同一常數；常數；(2)等差中項法：驗證等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)都成都成立；立；(3)通項公式法：驗證通項公式法：驗證anpnq；(4)前前n項和公式法：驗證項和公式法：驗證SnAn2Bn.注注后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用來證明等差數列來證明等差數列抓住抓住3個考

6、點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考1設設Sn是等差數列是等差數列an的前的前n項和，已知項和，已知a23，a611， 則則S7_. 答案答案49 解析解析設公差為設公差為d.則則a5a23d6， a6a33d7613. 答案答案13考點自測考點自測2在等差數列在等差數列an中，中，a37，a5a26，則，則a6_.抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，a100，a110，n10時，時，Sn最大最大答案答案103已知等差數列的公差已知等差數列的公差d0，前，前n項和記為項和記

7、為Sn，滿足，滿足S200，S210，則當，則當n_時，時，Sn達到最大值達到最大值抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析當當n1時，時，a1S11；當；當n2時時，a an nS Sn nS Sn n1 12n23n2(n1)23(n1)54n.顯然顯然a1符合符合an，所以，所以an54n(nN*)答案答案54n4(2012 2南通第一學期期末考試南通第一學期期末考試)已知數列已知數列an的前的前n項和為項和為Sn2n23n，則數列，則數列an的通項公式為的通項公式為_抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考

8、點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若數列若數列an是等差數列，求數列是等差數列，求數列bn的前的前6項和項和S6；(2)若數列若數列bn是公差為是公差為2的等差數列，求數列的等差數列，求數列an的通項公的通項公式式解解(1)因為因為a11，a22，數列，數列an是等差數列，是等差數列，所以所以ann.所以所以b1b3b51，b25，b49，b613.所以所以S6b1b2b630.考向一考向一等差數列基本量的計算等差數列基本量的計算【例例1】 (2012蘇錫常鎮(zhèn)四市調研蘇錫常鎮(zhèn)四市調研)在數列在數列an中，中，a11，a22.數列數列bn滿足滿足bnan1(1)nan，nN*.

9、抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)因為因為b1a2a1211，數列，數列bn是公差為是公差為2的等差的等差數列，所以數列，所以bn2n1.因為因為b2n1a2na2n14n3，b2na2n1a2n4n1，所以所以a2n1a2n12.故故a2n3a2n12.所以所以a2n3a2n1.又又a11，所以，所以a31.故故a4n3a11，a4n1a31.所以所以a2n11.則則a2n4n2.抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結方法總結 等差數列的通項公式及前等差數列的通項公式及前n項和公式中，共涉項和公式中，共涉及五個量，知三

10、可求二，如果已知兩個條件，就可以列出及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組解之如果利用等差數列的性質去考慮也可以體方程組解之如果利用等差數列的性質去考慮也可以體現了用方程解決問題的思想現了用方程解決問題的思想抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(2)若數列若數列an的前的前k項和項和Sk35，求，求k的值的值解解(1)設等差數列設等差數列an的公差為的公差為d，則，則ana1(n1)d.由由a11，a33可得可得12d3.解得解得d2.從而，從而，an1(n1)(2)32n.【訓練訓練1】 (2011

11、福建卷福建卷)在等差數列在等差數列an中，中，a11，a33.抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求數列求數列an及及bn的通項公式；的通項公式；(2)是否存在常數是否存在常數a0且且a1，使得數列，使得數列anlogabn(nN*)是常數列？若存在，求出是常數列？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理的值；若不存在，請說明理由由考向二考向二等差數列的判定或證明等差數列的判定或證明抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考從而從而(anan1)(anan14)0.因為數列因為數列an的各項均為正數，所以的各項均為正數，所以anan14

12、.所以當所以當a11時，時，an4n3；當；當a13時，時，an4n1.又因為當又因為當a11時，時，a1，a2，a7分別為分別為1,5,25，能構成等比，能構成等比數列，所以數列，所以an4n3，bn5n1；當當a13時，時，a1，a2，a7分別為分別為3,7,27，不能構成等比數，不能構成等比數列，故舍去列，故舍去所以所以an4n3，bn5n1.抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結方法總結 等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式法和前法，而對于通項公式法和前n項和公式法主要適合在填空項和公式法

13、主要適合在填空題中簡單判斷另外，求數列通項，一般要作出是否是等題中簡單判斷另外，求數列通項，一般要作出是否是等差數列或等比數列的判斷差數列或等比數列的判斷抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)設設bnan1an(nN*)，證明：，證明：bn是等比數列；是等比數列；(2)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(3)若若a3是是a6與與a9的等差中項，求的等差中項，求q的值，并證明：對任意的的值，并證明：對任意的nN*，an是是an3與與an6的等差中項的等差中項(1)證明證明由題設由題設an1(1q)anqan1(n2)，得得an1anq(anan1)，即即b

14、nqbn1，n2.由由b1a2a11，q0，所以所以bn是首項為是首項為1，公比為，公比為q的等比數列的等比數列【訓練訓練2】 已知已知數列數列an中，中，a11，a22，且，且an1(1q)anqan1(n2，q0)抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由由(1)知，知，a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)將以上各式相加，得將以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，即即ana11qqn2(n2)上式對上式對n1顯然成立顯然成立抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)解解由由(2)，當，當q1時，顯然時，顯然

15、a3不是不是a6與與a9的等差中項，的等差中項，故故q1.由由a3a6a9a3可得可得q5q2q2q8，由由q0得得q311q6，整理得整理得(q3)2q320，解得，解得q32或或q31(舍去舍去)抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)已知數列已知數列an的通項公式是的通項公式是an4n25，求數列，求數列|an|的的前前n項和項和考向三等差數列前考向三等差數列前n項和及綜合應用項和及綜合應用【例例3】 (1)在等差數列在等差數列an中，已知中，已知a120，前，前n項和為項和為Sn，且且S10S15，求當，求當n取何值時，取何值時，Sn取得最大值，并求出它

16、取得最大值，并求出它的最大值的最大值抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結方法總結 求等差數列前求等差數列前n項和的最值，常用的方法：項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數列的單調性或性質，求出正負轉折項，便可利用等差數列的單調性或性質，求出正負轉折項，便可求得和的最值求得和的最值(2)利用等差數列的前利用等差數列的前n項和項和SnAn2Bn(A、B為常數為常數

17、)為為二次函數，根據二次函數的性質求最值二次函數，根據二次函數的性質求最值抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求an的通項公式；的通項公式；(2)求證：數列求證：數列bnan為等比數列；為等比數列；(3)求求bn前前n項和的最小值項和的最小值抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例4】 (1)在等差數列在等差數列an中，中，a1a

18、2a324，a18 a19a2078，則此數列前，則此數列前20項和等于項和等于_考向四考向四等差數列的性質及應用等差數列的性質及應用抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(1)180(2)15方法總結方法總結 高考對等差數列通項公式的考查，常常涉及項高考對等差數列通項公式的考查，常常涉及項與項之間的內在聯系，因此突破這些問題的關鍵是歸納和與項之間的內在聯系，因此突破這些問題的關鍵是歸納和總結一些基本的性質，并能利用這些性質對問題進行合理總結一些基本的性質，并能利用這些性質對問題進行合理的轉化，從而求解的轉化，從而求解抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個

19、考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考 近幾年高考中，對等差數列的概念通項公式、性近幾年高考中，對等差數列的概念通項公式、性質、前質、前n項和公式的考查始終沒有放松一方面考查知項和公式的考查始終沒有放松一方面考查知識的掌握情況，另一方面考查數學推理能力識的掌握情況，另一方面考查數學推理能力(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；熱點突破熱點突破17 等差數列的綜合問題等差數列的綜合問題抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考反思與回顧反思與回顧 第三步第三步：高考考查等差數列時，常考查：高考考查等差數列時，?？疾榈炔顢盗械耐?、性質、求和、裂項法求和和公式法求和等差數列的通項、性質、求和、裂項法求和和公式法求和等知識等知識抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012重慶卷改編重慶卷改編)在等差數列在等差數列an中，中，a21，a45， 則則an的前的前5項和項和S5_. 答案答案15高考經典題組訓練高考經典題組訓練抓住抓住3個考點個考點突破突破4個考向個考向揭秘揭秘3年高考年高考解析