章末復(fù)習(xí)課2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)人教B版(新教材)改題型

1、章末復(fù)習(xí)課要點(diǎn)回顧IM. III形成體系網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建核心歸納1.正弦定理及其變形、應(yīng)用a b(1)正弦定理：在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,則白/=/*= sin a sin bcsnd= 2R(R為AABC外接圓半徑).(2)三角形面積公式: 111 S= 2aha=2bhb=2chc；111 S= 2absin C = 2bcsin A = 2acsin B ；1S= 7p (p-a)(pb)(p c),其中 p = 2(a+b+c).(3)常用變形:a=2Rsin A, b = 2Rsin B, c=2Rsin C； sin A=a2R'sin B =b2R

2、'sin C =c2R；sin A : sin B ： sin C= a ： b ： c.(4)利用正弦定理主要解決兩類解三角形問(wèn)題：一類是已知兩角和任一邊，求其 他兩邊和一角；另一類是已知兩邊和其中一邊的對(duì)角， 求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求 出其他的邊和角.(5)解題時(shí)，要注意“三角形內(nèi)角和為180。”，“在一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角” 等平面幾何性質(zhì)的運(yùn)用.2.余弦定理及推論(1)余弦定理三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍，即a2= b2 + c22bccos A;b2= a2 + c22accos B;c2= a2+ b22abcos C.(2)

3、余弦定理的推論b2 + c2 a2a2 + c2- b28s A=2bc ； 8s B=2ac ；a2+b2c2cos C ;2ab.(3)利用余弦定理主要解決兩類三角形問(wèn)題：一類是已知三邊求任意一角；另一 類是已知兩邊和任一角，求其余的邊與角.要注意結(jié)合圖形解決問(wèn)題，挖掘題目中的隱含條件，如圓內(nèi)接四邊形中的性 質(zhì)，通過(guò)三邊之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)三角形的特點(diǎn).3.正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，通常都是根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題 中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所要求的量，從而得 到實(shí)際問(wèn)題的解.(2)解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真讀題，未給出圖形的，要畫出示意圖，結(jié)合圖形去

4、選擇正弦定 理、余弦定理，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷.另外，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解，要注意題目中給出 的精確度，合理地取近似值.要點(diǎn)聚焦iiiiIIHIMMMWIIH 分類突破 I要點(diǎn)一 利用正、余弦定理解三角形解三角形的常見(jiàn)類型及解法在三角形的六個(gè)元素中，若知道三個(gè)，其中至少一個(gè)元素為邊，即可求解三角形, 按條件可分為以下幾種：(1)已知兩角和一邊，如已知 A, B和c,由A+B+C=tt求C,由正弦定理求a, b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知 a, b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用 正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用 A+B+C=電求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知 a, b和A,

5、可先用正弦定理求B,由A + B+C=冗求C,再由正弦定理或余弦定理求 c,也可利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于邊 c的一元二次方程求解.要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a, b, c,可應(yīng)用余弦定理求 A, B, C.【例 11如圖所示，在 ABC 中，AB=AC=2, BC=2/3,點(diǎn)D在BC邊上，/ ADC = 45°,求AD的長(zhǎng)度.“口 匚解 在 ABC 中，.AB = AC = 2, BC = 2/3,:由余弦定理，得cos C =又 0 °< C<180 ；1 sin C 2.AC2+BC2-AB2 亞2 AC BC: 2，在 ADC中，由正弦定理得,AD

6、 AC-z= :"sin C sin/ADC一 AC _21 . AD= . / gc sin C = j=zXV2.sin/ADC / 2T_ .兀，【訓(xùn)練11 如圖所小，在 ABC中，B = -, AB=8,點(diǎn)D在BC31邊上，CD = 2, cos/ ADC = 7.求 sin/BAD;(2)求BD, AC的長(zhǎng).解(1)在 4ADC 中，因?yàn)?cos/ ADC = 7,所以 sin/ADC=473所以 sin/ BAD = sin(/ ADC B)=sin/ADC cos Bcos/ ADC sin Bj1 17 33 一 八八 一八 c=(2)在4ABD 中，sin/ADB=

7、sin( f/ADC)sin/ADC = 473,由正弦定理，得ABsin/BAD14sin/ADB在4ABC中，BC=BD + CD = 5,由余弦定理，得AC2=AB2+BC22AB BC cos B= 82 + 52-2X8X5X1 = 49,所以AC = 7.要點(diǎn)二與三角形有關(guān)的綜合問(wèn)題該類問(wèn)題以三角形為載體，在已知條件中涉及了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的等式，因此通過(guò)定理的運(yùn)用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時(shí)，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公【例2】4ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知a= bcos C+csi

8、nB.求B；若b = 2,求 ABC的面積的最大值.解 (1)由正弦定理知a=2Rsin A, b = 2Rsin B,c= 2Rsin C,得 2Rsin A= 2Rsin Bcos C+ 2Rsin Csin B,即 sin A=sin Bcos C + sin Csin B.又 A=Tt (B+C), . .sin KB+C) = sin(B+C) =sin Bcos C + sin Csin B,即 sin Bcos C + cos Bsin C= sin Bcos C+ sin Csin B,cos Bsin C= sin Csin B.: sin Cw 0,一 一 .z _，小兀c

9、os B= sin B且 B 為二角形內(nèi)角，B-4.c 12(2)$ABC = 2acsin B= 4 ac,由正弦定理，得2=(=走*$所A=242sin A, "2"同理，得 c= 2/sin C,Saabc= *x 2/sin Ax 2V2sin C =2啦sin Asin C= 2/sin Asin 亨-A=2也sin A sin -cos Acos vsin A 442 、=2(sin Acos A+ sin A).一.，一. 匚一. 冗 ，= sin 2A+1cos 2A=y2sin 2A4 +1,. AC 0,手，.2A # j,蒙,即A=當(dāng)對(duì)',SA

10、BC有最大值J2+1.8【訓(xùn)練2】 在銳角 ABC中，a, b, c分別為角A, B, C所對(duì)的邊,且也a= 2csin A.(1)確定角C的大小;(2)若c=S,且 ABC的面積為323,求a+b的值.a 2c斛（1） . V3a = 2csin A， sn"A：擊.由正弦定理知sin A-sin C'. c _2c . .退"sin C一欣'"sin C_ 2 . .一萬(wàn): ABC是銳角三角形,. C =-. 3(2)，c=<7, C = ., .,.由面積公式得:37t2absin 3 =啜即ab= 6,由余弦定理得a2+b22abco

11、s 3= 7,-a2+b2-ab=7,即(a+b)2 3ab= 7, . (a+b)2= 25, . a+ b= 5.要點(diǎn)三 正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用正、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用，具一般思路為：(1)準(zhǔn)確理解題意及問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求，并理清量與量之間的關(guān) 系；根據(jù)題意畫出圖形，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)把要求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦、余弦定理 等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解.【例3】 某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后， 立即測(cè)出該漁船在方位角為45°,距離為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位 角為

12、105°的方向，以10海里/時(shí)的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以1073海 里/時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間.解 如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，艦艇與漁船在B處相遇，則 AB=10/3t 海里，CB=10t 海里, 在 4ABC 中，/ACB=45°+ (180 - 105 )=120 ；根據(jù)余弦定理，有 AB2=AC2 + BC2-2AC BCcos /ACB,可得(10V3t)2 = 102+(10t)2 2X10X 10tcos 120 ,整理得2t2t1=0,解得t=1或t= 2（舍去）.即艦艇需1小時(shí)靠近漁船，此時(shí)AB=10>/3（海

13、里），BC=10（海里）,在 ABC中，由正弦定理得BCABsin/CAB = sin 120，°13BCsin 120 0 10X 21所以 sin/CAB=ab= 2又在 AABC 中，/ACB=120； 所以/ CAB = 30 °,所以艦艇航彳T的方位角為75 :【訓(xùn)練3】 如圖所示，一輛汽車從 O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條 直線公路以100千米/時(shí)的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)， 在。點(diǎn)南偏東方向距。點(diǎn)500千米且與海岸距離為300千米 的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物 品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問(wèn)快艇至少以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司 機(jī)手中，并求快艇以最小速度行駛時(shí)的方向與 OM所成的角.解 設(shè)快艇從M處以v千米/時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，t小時(shí)后與汽車 在N處相遇.在 AMON 中，OM = 500 千米，ON=100t 千米,MN = vt 千米，設(shè) /MON= %由題意，知sin a=|,貝 cos后去 55由余弦定理，知MN2 = OM2+ON220M ONcos %即 v2t2 = 5002+1002t22X500X 100tx5.2一一 21整理，得 v2= 500X-80 +3 600.、78