“三個二次”一家親

1、 “三個二次”一家親輕松破解以二次函數(shù)為主的代數(shù)綜合題一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間具有親密的關系，它們的美麗邂逅構成了中考代數(shù)部分的綜合大題其中，二次函數(shù)與軸的交點與一元二次方程之間的關系更是各地中考必考內(nèi)容三者的關系表：（）（）（或）（）從數(shù)上函數(shù)一元二次方程一元二次不等式從形上拋物線拋物線與軸交點拋物線在軸上方（或下方）的部分數(shù)形結合理解“三個二次”：1、若，則可以得到下表：或此方程無實根或恒成立無實根無實根2、若時，可以得到下表：或此方程無實根無實根無實根或恒成立例1：已知二次函數(shù)，當且僅當時，.則二次函數(shù)解析式_.例2： 關于方程沒有實數(shù)根，則拋物線的頂點在第_象限.

2、解法一：代數(shù)方法：關于方程沒有實數(shù)根，得到而拋物線的頂點坐標為，即可得到答案解法二：數(shù)形結合：關于方程沒有實數(shù)根拋物線與軸無交點，又因為，所以圖象開口向上，并且在軸上方，又對稱軸為，即可得出答案例3 ：若是關于的方程的兩根，且， 則 的大小關系是 分析：解讀條件若是關于的方程的兩根：等價于將代入滿足方程，即，引出解法一：必須同號，排除法即可得到答案.等價于為二次函數(shù)與軸的交點坐標.引出解法二：二次函數(shù)的圖像是將拋物線向上平移1個單位長度得到的，而是拋物線與軸的交點坐標，根據(jù)圖像得到答案.變式練習：設一元二次方程的兩實根分別為，則，滿足（ ） 且例4：關于的方程的解是，（，均為常數(shù)，），則方程的

3、解是 例5：已知函數(shù)，則使成立的值恰好有三個，則的值為 例6：二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程的兩個根（2）寫出不等式的解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍解：（1） 或（2） （3） （4） 頂點，拋物線解析式為，把代入，得，即有兩個不相等的實數(shù)根，即例7：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結論： ； ； ； ； （的實數(shù)）其中正確的結論有 (填序號)解析：由圖象知，再由得，故不正確；由圖象得，當時，即，亦即，故不正確；當時，于是有，故正確；由，得，代入，得，即，故正確；，故正確這是從計算的角度判斷的其實，從圖象上看，應該這樣判斷：因為對稱軸為，當時，所以頂點坐標為；當時，而的實數(shù)，所以點為拋物線上頂點以外的其它點；很顯然此時頂點為拋物線最高點，所以頂點縱坐標為該函數(shù)的最大值，因而，即如此，借助數(shù)形結合，則的判斷就輕而易舉了當然，還可以這樣理解：，故正確例8：已知拋物線（為常數(shù)，且）（1）證明：此拋物線與軸總有兩個交點；（2）設拋物線與軸交于、兩點，若這兩點到原點的距離分別為、，且，求的值例9：已知關于的方程.（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根大于且小于，求的取值范圍；（3）設拋物線與軸交于點，若拋物線與軸的一個交點關于直線的對稱點恰好是點，求的值.只要理