中考數學壓軸題專項匯編專題相似三角形的存在性

1、專題26相似三角形的存在性破解策略探究兩個三角形相似時，一般情況下首先尋找一組對應角相等，然后根據對應邊成比例分兩種情況列方程.掌握一些相似的基本模型有助于快速解決問題，相似三角形的基本模型有：1 . " A'字形已知：在 ABW.點Q在AB上，點E在AC上.DRII BC.結論： AB6 AADE2.反“ A字形(1)已知：在 ABC中，點 結論： AB6 ABD.D在AB上一點E在AC上，/ AED= / ABD.(2)已知：在 ABC43,點 結論： AB6 AA (: D.8 / 83 . “8”字形已知：在 ABCK 點D在CA的延長線上，點 E在BA的延長線上，D

2、B BC.結論： ABB AE2>.4 .反“8”字形已知：在 ABCK 點 D在CA的延長線上，點 E在BA的延長線上，/ ADE= /ABD.結論： AB6AADEE5 .雙垂直已知： ABC / BAG= 90°, AD為斜邊BC上的高.結論： AB(C DBJA AB(Co DA(C AABID CA).6 . 一線三等角B E ACD 900.(1)已知 Rt ABOT RtACED B, C, E 三點共線, 結論： ABR CED.E ACD 900.(2)已知 ABCACDE B, C E三點共線， B 結論： ABB CE2).B E ACD 900.(3)已

3、知 ABCACED B, C E三點共線, 結論： ABR CED.例題講解例 1 如圖，已知 A(1, 0), B (4, 0), C (2, 6)三點,G是線段AC上的動點（不與點A,C重合）.若ABG與ABC!似，求點 G的坐標.解：設直線AC的表達式為y把A, C兩點坐標代入可得0 s ts2,解得62stt2所以直線AC的表達式為y 2x 2.設點G的坐標為(k, 2k 2),因為點G與點C不重合，所以 ABGWABCf似只有 AGBoABCH種情況.所以AG AB.AB AC所以3 4,53.5而 AB= 5,ACJ(21)2( 6)23芯,AGJ(k1)2( 2k2)2V5|k1

4、,5. 一 28 .一,斛仔 ki , k2 (舍).333所以點G的坐標（23,例2如圖，拋物線y （x 2）（x 4）與x軸交于點 A, B （點A在B的左側），與y軸交于 8點C, CD/ x軸交拋物線于點D. P是拋物線上一點，問：是否存在點P,使以P, A, B為頂點的三角形與 ABM似（ PAB與4ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.解：存在.因為點A （2, 0）, B （4, 0）, C （0,也），過點D （2, 我）作DEAB于點E,由勾股定理得AD 372, BD 76 -如圖，當 P1AB c/dAABD寸,P1B AB ,所以 PB 6庭. 過

5、點P作P1M i ± AB于點Mi , AB BDPM 1 DE 所以 一,解得 pM 16/2 .P1BBD BM1 = -BE- , BM1 12 , 點 P 的坐標為（一8, 6J2）,P1B BD因為此時點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在.當 .p2AB st BDM P2B = AB ,所以 p2B = 6J2 .過點P2作P2M2，AB于點M2 ,AB ADP2M 2 DEBM2 AE所以=,解得 P2M 2 = 2J2 .因為=,所以 BM 2 8 ,P2B ADP2B AD所以點P2的坐標為（一4, 2J2）,將x=4代入拋物線的.表達式得y=2j2,所以點P2在

6、拋物線上.由拋物線的對稱性可知：點 P2與點P3關于直線x= 1對稱，所以P3的坐標為（6, 2J2）.當點P4位于點C處時，兩個三角形全等，所以點P4的坐標為（0, -J2）.綜上所得，點P的坐標為（4, 272）, （6, 2版）或（0,-魚）時，以P, A, B為頂點 的三角形與 AB/目似.例3如圖，已知直線y x 3與x軸、y軸分別交于A, B兩點，拋物線y x2 bx c經過A, B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以J2個單位/秒的速度勻速運動，連接 PQ設運動時間為t秒.設拋物線頂點為 M連接BP

7、BM MQ問：是，.否存在t的值，使以B, QM為頂點的三角形與以 O B, P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在,請說明理由.將 A (3, 0), B (0, 3)代入2x bx9 3b c 0c 3,解得所以拋物線的解析式為2x 3(x 1)2M的坐標為（1,4）,MB所以 BM 2 3 4 AB2 AM 2 ,oMBA 90 .如圖，設運動時間為t秒，則OP= t,BQ(3t)K當 BO團 QBMf,MB BQOP OB(3t)' 233t(3 t)2t進階訓練所以當t9時，以B, Q M為頂點的三角形與以41.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y而32 4

8、 1 3 0,所以此種情況不存在;MB BQOB OP 'B 1,0兩點，交y軸于點C.(1)求拋物線的表達式和對稱軸；(2)若P是線段OA上的一點(不與點 Q A重合)，Q是AC上一點，且 PQ PA在x軸上 是否存在點D,使彳ACDWAPQt目似？如果存在，請求出點 D的坐標；如不存在，請說 明理由.解：(,1)拋物線的表達式為(2)存在.點D的坐標為D, A關于y軸對稱，此時點 D的坐標為4,0 ;如圖1,當AD為底邊時,圖i圖278,02.如圖，設拋物線 y ax2bx 2與x軸交于不同的點A 1,0 , B m,0，與y軸交于點y-x29x 3,對稱軸為x -4424,0 ,

9、 ,0 .8提示(2)由題意知 APQ等腰三角形，如果 ACDWAPQ!似，那么 ACD&是等腰 三角形.C,已知 ACB= 90 .(1)求m的值和拋物線的表達式；(2)已知點D 1,n在拋物線上，過點 A的直線y x 1交拋物線與另一點 E.若點P在x軸上，是否存在這樣的點 P,使得以點P, B, D為頂點的三角形與 AEBf似?解：2. (1) m 4 ,拋物線的表達式為(2)存在點P的坐標為-,0或 7【提示】(1)由已知條件可得 OA= 1, B兩點的坐標代入表達式即可求得.1 2 y -x222,0-x 2 ； 25OC= 2,易證 AO(C ACOB從而m OB= 4,再

10、將 A(2)易求得點D 1, 3 , E 6,7 ,分別過點D, E作x軸的垂線，垂足分別為 H, G易證EAG= DBH所以 PBDAEBf似存在兩種情況:如圖1,當 ABa BPD寸，有2B -BP ,AE BD得點P的坐標為13,07如圖2,當 ABa BDP寸，有 JABAEBD,得點P的坐標為-22,0 .BP52 x3.如圖，拋物線y2x3與x軸交于A, B兩點(點B在點A的右側)，與y軸交于點C,直線l經過A C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側部分上運動，直線 m經過B, Q兩點,與y軸交于點N,與直線l交于點G問：是否存在直線 m使得直線l , m與x軸圍成的三 角形和直線l , m與y軸圍成的三角形相似 (不包括全等)？若存在，求出直線