解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

1、解析幾何中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)會(huì)合理選擇參數(shù)(坐標(biāo)、斜率等)表示動(dòng)態(tài)圖形中的幾何對(duì)象，探究、證明其不 變性質(zhì)(定點(diǎn)、定值等)，體會(huì)“設(shè)而不求”、“整體代換”在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.【教學(xué)難、重點(diǎn)】解題思路的優(yōu)化.【教學(xué)方法】討論式【教學(xué)過(guò)程】一、基礎(chǔ)練習(xí)1、過(guò)直線x 4上動(dòng)點(diǎn)P作圓O： x2兩式相減得 2(x02 x2) (y02 y2) 0 , k k2 "yi一y2 xdx3、橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)作不垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn),的垂直平分線交軸于，則等于 y2 4的切線PA PB ,則兩切點(diǎn)所在直線 AB恒過(guò)一定點(diǎn).此定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】(1,0) 【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 P(

2、4,t),則以O(shè)P直徑白圓C方程為：x(x 4) y(y t) 0 ,故AB是兩圓的公共弦，其方程為4x ty 4 .注：部分優(yōu)秀學(xué)生可由x0x y0y r2公式直接得出.人4x 40一令得定點(diǎn)(1,0).y 02、已知PQ是過(guò)橢圓C： 2x2 y2 1中心的任一弦， A是橢圓C上異于P、Q的任意一點(diǎn).若AP、AQ 分別有斜率 3 k2 ,則K k2=.【答案】-2 【解析】設(shè) P(x, y), A(%,y。),則 Q( x, y)22y°yy°yy°y22 ,x)xx0xx0x又由A、P均在橢圓上，故有:222x0y0 1222x y 1設(shè)直線AB斜率為k,則直

3、線方程為 y k x 3與橢圓方程聯(lián)立消去 y整理可得3 4k224k2X 36k2 108 0,則 X1X224k2球,X1X236k2 1083 4k2所以y1y218k2 ,3 4k則AB中點(diǎn)為12k2 _3 4k2,39k所以AB中垂線方程為9k23 4k212k23 4k2所以AB3k20,則 x -k-3 4k，即N3k22,0，3 4k2NF3 st1 k2X1X29(1k2)23 4k24x236 1k2，所以3 4k2NFAB24、已知橢圓X2 a2 y b21(ab 0)，A, F是其左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),22, 2P是圓x y bPA 上的動(dòng)點(diǎn)，若二常數(shù)，則此橢圓的離心率是PF

4、【答案】e=-5-J【解析】因?yàn)榕常數(shù)，所以當(dāng)點(diǎn)P分別在（士 b, 0）時(shí)比值相等,即 a_b = a+b ,整理得：b2 ac b c b+c又因?yàn)閎2 a2 c2 ,所以 a2 c2 ac 0同除以a2可得e2+e-1=0,解得離心率e=1 二、典例討論2如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C 42L 1的左頂點(diǎn)為A,過(guò)原點(diǎn)O的直線（與2坐標(biāo)軸不重合）與橢圓 C交于P,Q兩點(diǎn)，直線 PA Q的別與y軸交于M N兩點(diǎn).試問(wèn)以MNK;直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)PQ的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.分析一：設(shè)PQ的方程為y kx ,設(shè)點(diǎn)p xo,y。(xo 0),則點(diǎn) QXo, V。聯(lián)立方程組y2xk

5、x,2y2消去4y得x242k2所以x021 2k2Vo2k,1 2k2所以直線AP的方程為2k201-2k2k2同理可得點(diǎn)N 0,2k1 J 2k2所以以MN直徑的圓的方程為x(y2k1 d 2k2)(y1-2k2k2)0整理得:2k)y 2 01、1 2k22、.2, 0),x由y分析設(shè) P (Xo,4.由直線PA方程為:2y。)，則Q(-/，-y。)，代入橢圓萬(wàn)程可得 X044k2 1y。 /y -(xx022),可得M0, -2y0-,同理由直線QA方程可得直徑的圓為X22 y°x02整理得：X22y0x0 2x022y0Xo0,20,二y-,可得以MN%X022y0Xo4y

6、22X0由于X02 4222y0，代入整理即可得4x°yo2X0此圓過(guò)定點(diǎn)F(A,分析三：勿證：kAPkAQb212，a2故可設(shè)直線 AP斜率為k ,則直線AQ斜率為12k直線AP方程為y k(x 2),從而得M (0, 2k),以1，, L一代k得N 2k0,故知以MNK/直徑的圓的方程為 X2(yi2k)(y k)整理得:y2 2i(k 2k)y2,X由y可得定點(diǎn)F(0).分析四、設(shè) M(0, m), N(0, n),則以MN|直徑的圓的方程為 x2 (y m)(y n) 022即 x y (m n)y mn 0b2冉由 kAPkAQ kAM kAN -2a1,口一一得mn -2

7、 ,下略222例2、已知離心率為e的橢圓C :與七 1(a b 0)恰過(guò)兩點(diǎn)(1, e)和2,0 .a b(1)求橢圓C的方程；(2)已知AB、MN為橢圓C上的兩動(dòng)弦，其中 M、N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，AB過(guò)點(diǎn)E(1, 0),且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問(wèn)：直線 AM、BN的斜率之和是否為定值？證明你的 結(jié)論.解析：a 2也由題意：1e2e24號(hào)12a2 b2b12所以橢圓C的方程為上 y2 1.4(2)設(shè) AB方程為 y k(x 1), A(x1, y1) , B(x2, y2)則MN方程為y kx又設(shè)M(X3,kxa) , N( X3, kx3)則整理得:kAMkBN所以x1kBNkAMk(x

8、4y2x2y2kx3x2 x3(X x3k(x1 1) kx3X x31)(x2 x3)(x2又由y2 xk(x2 1) kx3x2 x3Xb 1)(x1x3)(x x3)(x2 xb)22x1x2 2x3(為 x2)(x x3 )( x21) 一 ，口消兀整理得:48k22 一, xx24k 1kx4y2消元整理得:4xb)(4k2 1)x2 8k2x 4k2 4 0,4k2 44k2 122(4k1)x4,一. 2所以x3將、代入式得：kAM kBN 0.22例2(變式)、已知離心率為e的橢圓C ： x2 ,y2 i(a b 0)恰過(guò)兩點(diǎn)(1, e)和2,0 .a b(3)求橢圓C的方程；

9、(4)已知AB、MN為橢圓C上的兩動(dòng)弦，其中M、N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，AB過(guò)定點(diǎn)E(m, 0), ( 2 m 2),且AB、MN斜率互為相反數(shù).試問(wèn)：直線AM、BN的斜率之和是否為定值？證明你的結(jié)論.解析：a 2后由題意：1 e2 e 2/A b2 12所以橢圓C的方程為y2 1.4(4)設(shè) AB方程為 y k(x m), A(x1,y1), B(x2, y2),則MN方程為y kx又設(shè) M(X3,%)，N( x3,kx3)kAMkBNy kx3y2 kx3Xix3x2x3k(x1 m) kx3k (x2 m) kx3Xi x3x2 x3則整理得：kAMkBNk (Xi x3 m)(x2 x3)

10、(x2 x3 m)(x1 x3) (Xi x3)(x2 x3)kAMkBNk 2x1x222x3 m(x1 x2)(Xi X3XX2 X3)y k(x由 2/2x 4y,消元整理得：(4 k2 1)x2 8k2mx 4k2m2 4 0, 4所以x1X28k2m2,為*24k 14k2m2 44 k2 1又由kx4y2消元整理得:4(4k21)x24 ,所以x3244k2 1將、代入式得:三、課外作業(yè)221、已知橢圓土+L42軸上有異于點(diǎn)A、B的定點(diǎn)B是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿足MBL AB,連結(jié)AM交橢圓于點(diǎn)P,在xQ以MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)直線 BR MQ的交點(diǎn)，則點(diǎn) Q的坐標(biāo)為【答案】(0,0

11、)【解析】試題分析：設(shè) M (2,t),則AM : y L(x 2),與橢圓方程聯(lián)立消y得(t248)x24t2x 4t2 32 0,所以xp1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為O(0,0)16 2t)yp-2t2 8 t2 88t8t""2,因此！ kBP- 費(fèi)16 2t2、已知 為P是橢圓上不同于左頂點(diǎn)A、右頂點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，記直線PA PB的斜率分別為的值-1【答案】13【解析】設(shè) P(x,y) , A(2 3,0), B( 2、, 3,0)k1k2x 2.3 x 2、3則k1y-x2、； 32yx2 12因?yàn)镻在橢圓上，所以22x y d1124.-2口口 212 x即y 3把代入，得

12、k1k22yx2 122 X3、已知橢圓F a1(a b0)的離心率1 _e=- , A,B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于2AB的動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB的傾斜角分別為，則洌cos()=)-【答案】7【解析】試題分析：因?yàn)锳,B是橢左右頂點(diǎn)，為橢圓上不同于 AB的Qe2,2a b2acos()cos()coscossincos cos sinsinsin1 tantan1 tan tan4、如圖所示,已知橢圓C:在橢圓C上任取不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B變化時(shí)，如果直線AB經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)則直線A'B經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)0)my2x【解析】設(shè)直線 AB的方程為x=m什1,由 41

13、 得(my+ 1)2+4y2=4,即(n2+4) y2+2my1-3= 0.記 A(xi,y。，Rx2, y2),則 A' (x1, y。，且 y1+y2=2m , yy2= 23-,m 4m 4.令 y= 0,得 x =時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A'(X1, - y1), B(X2, y2)的直線方程為 yxX2X1y2y1y2y1X2Xi2 .2二 mymy1y1 + my+1= myy2y1y?+ y1y?+ y132m x= 4.m_4 + 1 = 4,所以 y=0 時(shí),2m27m 4當(dāng) F 0時(shí)，直線AB的方程為x=1,此時(shí)A , B重合，經(jīng)過(guò) A , B的直線有無(wú)數(shù)條，當(dāng)然可以

14、有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4, 0)的直線.當(dāng)直線 AB為x軸時(shí)，直線 A B就是直線AB,即x軸，這條直線也 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4 , 0).綜上所述，當(dāng)點(diǎn) A, B變化時(shí)，直線 A B經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)(4 , 0).5、過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于于兩點(diǎn)，令，則.【答案】【解析】22上上1小.MN直x軸的情況，此時(shí)MN x=1,聯(lián)立 43 ，得M(1，x 1mn 3試題分析：不失一般性，不妨取3 ) ,n (1, - 3 ), m=n=3 ,2226、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F12,0，點(diǎn) B 2,也m n 4在橢圓C上，直線y kx k 0與橢圓C交于E , F兩點(diǎn)，直線

15、AE , AF分別與y軸交于點(diǎn)M ,(I)求橢圓C的方程;(n)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.22解析：(I)解法一：設(shè)橢圓C的方程為 勺 與 1 (a b 0), a b因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為 F1 2,0 ,所以a2 b2 4.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 F2 2,0 ,已知點(diǎn)B 2, J2在橢圓C上，由橢圓的定義知 BF1 BF2 2a,所以2a 3立應(yīng) 4顯.所以a 2板,從而b 2.22所以橢圓C的方程為二匕1 .2 y b21 (a b 0),842 x解法二：設(shè)橢圓C的方程為2 a因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為 Fi2,0 ,所以a2 b2 4.42一因?yàn)辄c(diǎn)B

16、 2, J2在橢圓C上，所以F 1 .a b由解得，a 2&, b 2 .22所以橢圓C的方程為士匕1 .84(n)解法一：因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為 A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2衣,022因?yàn)橹本€y kx(k 0)與橢圓上 1交于兩點(diǎn)E, F ,84設(shè)點(diǎn)E Xo, yo (不妨設(shè)xo 0),則點(diǎn)F xo, yo .81 2k2y kx,聯(lián)立方程組x2y2 消去y得x2一 y- i84所以涓%則於普所以直線AE的方程為y 2 x 2近1 ,1 2k2因?yàn)橹本€ AE , AF分別與y軸交于點(diǎn)M , N ,2.2k2,2k令x 0倚y .3,即點(diǎn)M 0,：1 ,1 2k21 ,1 2k2同理可得點(diǎn)2

17、J2k°,1、1 2 k2所以MN2、2k2、2k1 、1 2k2 1 .1 2k221 2k2k設(shè)MN的中點(diǎn)為P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P 0,則以MN為直徑的圓的方程為x2k令y 0 ,得X2 4 ,即X 2或X 2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)P 2,0 , P22,0 .解法二：因?yàn)闄E圓C的左端點(diǎn)為 A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2拉,0 .2因?yàn)橹本€y kX（k 0）與橢圓8設(shè)點(diǎn) E（X0, yO）,則點(diǎn) F （ X0, 丫0）.2 y4所以直線AE的方程為yy。X02.2因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)2夜y°X 2 . 2 '即點(diǎn)M 0,2.2y。Xo2.2同理可得點(diǎn)0,2、,

18、2y。X0所以MN2、2y02.2y0X0 2 2X0 2 2I6y°2X0因?yàn)辄c(diǎn)E（X0,y0）在橢圓C上，所以2X02紋1.4所以MN設(shè)MN的中點(diǎn)為P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為Py0則以MN為直徑的圓的方程為X2'2x0y0162 y0日口 22 2 2X0/即 x y +y 4 .V。令y 0 ,得x2 4 ,即x 2或x 2 .故以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)P1 2,0 , P22,0 .解法三：因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2j2,02因?yàn)橹本€y kx(k 0)與橢圓 82y1交于兩點(diǎn)E , F , 4設(shè)點(diǎn) E 2、, 2 cos ,2sin),則點(diǎn)F2. 2 cos2

19、sin所以直線AE的方程為y2sin x2、2 cos 2 222r )k 1因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)2sincos即點(diǎn)12sin0,-cos同理可得點(diǎn)2sin0,-cos所以MN2sincos 12sincos 14sin設(shè)MN的中點(diǎn)為P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P0,2 cossin則以MN為直徑的圓的方程為x22cossin4. 2 sin即x22 4cosyy 4-sin0 ,得x2 4 ,即x 2或x2.故以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn) R 2,0，巳 2,02 x7、已知橢圓C: x ab2=1 (a>0, b>0)的離心率為J.2)在橢圓C上.O為圓心的圓，滿OP的斜率之(I)求橢

20、圓C的方程；(n)設(shè)動(dòng)直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)足此圓與l相交于兩點(diǎn) R, P2 (兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)，且使得直線 OP,積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.(I)解：由題意，得 c頁(yè)，a2 a 2b2C2 ，又因?yàn)辄c(diǎn)a(i在橢圓C上,所以工1 ,解得a 2, b 1, c 43 , a2 4b22所以橢圓C的方程為y2 1.422(n)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x y 5證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為222x y r (r 0)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y kx m.y kx m, 222由方程組 x22 得(

21、4k1)x 8kmx 4m 4 0了 y 1,因?yàn)橹本€l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，22222所以 1 (8km)4(4k1)(4m4) 0 ,即 m 4k 1 .由方程組yC2mI 得(k21)x22kmxm2r20x2 y2 r2,_2222_則 2 (2km)4(k1)(m r ) 0設(shè) PNyJ, P2(x2,y2)，則 x x12kmx2 尸一； yk 12x b，設(shè)直線OPi , OP2的斜率分別為k1, k2,k1k2 所以22y1y2(kx1 m)(kx2 m) k x1x2 km(x1 x2) mx1x2x1x2、x212 m2 k2 km2km 2 mk 12r22,2m r k22&qu