云南省玉溪市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(09)及答案

1、云南省玉溪市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（09） 選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的. 1 （5 分）集合 M=y|y= ，x，y N的元素個數(shù)是（ ） x+3 A. 2 個 B. 4 個 C. 6 個 D. 8 個 2. （5 分）下列命題中，真命題是（ ） A. ? x R， r 0 B. ?x R，2xx2 a+b=0 的充要條件是=- 1 D . a 1，b 1 是 ab 1 的充分條件 b （5 分）將函數(shù) y=sin4x 的圖象向左平移=個單位，得到 y=sin （4x+）的圖象, X U C. 2 C. 3. A.

2、等于（ B . 12 （5 分） 函數(shù) ) C. 3 f (x) D . 3 12 =2+x3- 2 在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是（ ） （5 分） 已知 丄 x=ln n y=log52，2，貝U( ) xv yv z B . zv xv y C . zv yv x D . yv zv x （5 分）如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,則點 P 恰好取 自陰影部分的概率為（ 1 *為有理數(shù) 7. （5分）設(shè)函數(shù)為無理數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（） A . D （x）的值域為0，1 B . D （x）是偶函數(shù)) C. D (x)不是周期函數(shù) D. D (x)不是單調(diào)函數(shù)

3、8. (5 分)函數(shù) f (x)在a, b上有定義，若對任意 xi , a, b，有 2，i :1 . I則稱 f(x)在a，b上具有性質(zhì) P.設(shè) f (x) 2 2 在1, 3上具有性質(zhì) P,現(xiàn)給出如下命題： f (x)在1, 3上的圖象是連續(xù)不斷的； f (x2)在1,習(xí)上具有性質(zhì) P; 若 f (x)在 x=2 處取得最大值 1,則 f (x) =1, x 1, 3; 亠 亠 X 1 + K + K/I 1 對任意 X1, x2 , x3, X4 1 , 3，有: . ：. f (X1)+f (X2) +f (X3) +f (x4) 其中真命題的序號是( ) A. B. C D. 10.

4、 (5 分)1一 _ 一在R 上為減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 _ . 2 11. (5 分)當(dāng)函數(shù) y=sinx_血cosx (00,宀0)的最大值為 3，其 6 1T 圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ， (1) 求函數(shù) f (x)的解析式和當(dāng) x 0, n時 f (X)的單調(diào)減區(qū)間； (2)設(shè) a(0, 2L),則 f (皂)=2,求 a 的值. 2 2 16. (12 分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者 獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球 3 次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概 率為丄，乙每次投籃投中的概率為 ，且各次投籃互不影響. 3 2 (I) 求甲獲勝的概

5、率； (n)求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù) E的分布列與期望. 17. (14 分)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BCA=45 , PA=AD=2 AC=1, DC 農(nóng) (l) 證明 PC 丄 AD; (n)求二面角 A- PC- D 的正弦值； (m) 設(shè) E 為棱 PA 上的點，滿足異面直線 BE 與 CD 所成的角為 30,求 AE 的長. 18. (14 分)已知函數(shù) f (x) =x- a 丫+lnx, (a 為常數(shù)). (1) 當(dāng) a=5 時，求 f (x)的極值； (2) 若 f (x)為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍. 19. (14

6、 分)設(shè)函數(shù) f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b R. (1) 若函數(shù) f (x)僅在 x=0 處有極值，求 a 的取值范圍； (2) 若對于任意的 a - 2, 2，不等式 f (x)6 時， ，所以 y?N. x+3 綜上，M=y| y= , x, y N=2, x+3 故選 A.y N， 當(dāng) x=1 時, y= 當(dāng) x=2 時, 當(dāng) x=3 時, 當(dāng) x=4 時, 當(dāng) x=5 時, y= ?N; 2+3 5 y= ?N; 3+3 3 y= ?N； 4+3 7 y= N; 1，元素個數(shù)是 2 個. a 1, b 1是 ab 1 的充分條件，顯然正確. 故選

7、D. 3. (5 分)將函數(shù) y=sin4x 的圖象向左平移 個單位，得到 y=sin (4x+)的圖象, 12 A. 等于( ) 71 JT 7V 71 B.C. D. 12 3 3 12 【解答】解：函數(shù) y=sin4x 的圖象向左平移三個單位，得到.二二，的圖 象，就是 y=sin (4x+)的圖象，故| 0 故選 C 4. (5 分)函數(shù) f (x)二公+x3-2 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解答】解：由于函數(shù) f (x) =2x+x3 - 2 在區(qū)間(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，又 f (0)= -1v0，f (1) =10， 所以 f

8、(0) f (1)v 0， 故函數(shù) f (x) =2x+x3 -2 在區(qū)間(0，1)內(nèi)有唯一的零點， 故選 B. 5. (5 分)已知 x=ln n y=log52， ze 丄 ，則( ) A. xvyvz B. zvxvy C. zvyvx D. yvzvx 【解答】解： x=ln Ine=1， 0 v Iog52 v logs* ；=u 即 y(0,)； 仁e0. = 1 = -，即 z，“， yv zvx. 故選：D. 6. (5 分)如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P,則點 P 恰好取 自陰影部分的概率為( ) A.】B.】C. - D. 4 5 6 7 【解答

9、】解：根據(jù)題意，正方形 OABC 的面積為 1X仁 1, 1 2 彳 而陰影部分由函數(shù) y=x 與 y= 丫圍成，其面積為歩1( ，-x)dx=()|o1=, 3 x 2 6 丄 則正方形 OABC 中任取一點 P,點 P 取自陰影部分的概率為 =; 1 6 故選 C. 1 丫為有理數(shù) 7. (5 分)設(shè)函數(shù) DW=J 二;工田二：，貝 U 下列結(jié)論錯誤的是( 衛(wèi)，X 為無理軌 A. D (x)的值域為0，1 B. D (x)是偶函數(shù) C. D (x)不是周期函數(shù) D. D (x)不是單調(diào)函數(shù) 【解答】解：A 顯然正確； 垃為有理數(shù) 垃為無理數(shù) D (x)是偶函數(shù), T=1 為其一個周期， 故

10、 C 錯誤； v D (匚)=0, D (2) =1, D ( _) =0, 顯然函數(shù) D (x)不是單調(diào)函數(shù), 故 D 正確； 故選：C. 8. (5 分)函數(shù) f (x)在a, b上有定義，若對任意 xi , a, b，有 J ：則稱 f( x)在a，b上具有性質(zhì) P設(shè) f (x) 在1, 3上具有性質(zhì) P，現(xiàn)給出如下命題： f (x)在1, 3上的圖象是連續(xù)不斷的； f (x2)在1, 上具有性質(zhì) P; 若 f (x)在 x=2 處取得最大值 1,則 f (x) =1, x 1, 3; 對任意 X1, x2 , x3, X4 1 , 3，有匚 * ：. f (X1)+f (X2) 4 4

11、 +f (x3) +f (X4) 其中真命題的序號是( ) A. B. C D. 【解答】解：在中，反例：f (x)= ，： 在1, 3上滿足性質(zhì) P, 也 x=3 但 f (x)在1 , 3上不是連續(xù)函數(shù)，故不成立； 在中，反例：f (x) =-x 在1, 3上滿足性質(zhì) P,但 f (x2) =-x2在1,= 上不滿足性質(zhì) P, 故不成立； B 正確； v D (x+1) 號為有理數(shù) X 為無理數(shù) 在中：在1, 3 上, f (2) =f (1)三上：一， f (x)+f(4-x) 2 f( 0 【解答】解：由 r+lHl ，解得：-1 VX .u- 2 2 11. (5 分)當(dāng)函數(shù) y=s

12、inx-cosx (0 xv 2 n)取得最大值時，x= 【解答】 解：I y=sinx- :cosx=2 (亠sinx-cosX) =2sin (x- ). 2 2 3 / 0 xv2n, W X - v , 3 3 3 ymax=2,此時 x-=, 3 2 5 兀 x= . 6 故答案為：一 . 6 12. (5 分)已知 y=f (x) +x2是奇函數(shù)，且 f (1) =1,若 g (x) =f (x) +2,則 g (-1) = - 1 . 【解答】解：由題意，y=f (x) +x2是奇函數(shù)，且 f (1) =1, 所以 f (1) +1+f (- 1) + (- 1) 2=0 解得

13、f (- 1) =-3 所以 g (- 1) =f (- 1) +2=- 3+2=- 1 故答案為：-1. 13. (5 分)已知函數(shù) f (x) =x (x- c) 2在 x=2 處有極大值，則 c= 6 . 【解答】解：T f( x) = (x- c) 2+2x (x- c) =3x2 - 4cx+c2,且函數(shù) f (x) =x (x -c) 2在 x=2 處有極大值， f( 2) =0,即卩 c2 - 8c+12=0，解得 c=6 或 2. 經(jīng)檢驗 c=2 時，函數(shù) f (x)在 x=2 處取得極小值，不符合題意，應(yīng)舍去. 故 c=6. 故答案為 6. 14. (5 分)已知函數(shù) f (

14、x) =elx-al (a 為常數(shù)).若 f (x)在區(qū)間1, +*)上是 增函數(shù)，貝U a 的取值范圍是 (-%, 1. 【解答】解：因為函數(shù) f (x) =e|x-a| (a 為常數(shù)).若 f (x)在區(qū)間1, +x)上(12 是增函數(shù) 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知， 必有 t=|x- a|在區(qū)間1, +K)上是增函數(shù) 又 t=|x-a|在區(qū)間a, +x)上是增函數(shù) 所以1, +x)? a, +x),故有 a0,宀0)的最大值為 3，其 6 圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為 , 2 (1) 求函數(shù) f (x)的解析式和當(dāng) x 0, n時 f (X)的單調(diào)減區(qū)間； (2) 設(shè) a( 0,),則 f L

15、) =2,求 a 的值. 2 2 【解答】解：(I)：函數(shù) f( x)的最大值是 3,二 A+1=3，即 A=2. - (1 分) 函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，最小正周期 T=n,二=2 2 (3 分) 分) 16. (12 分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者 獲勝，所以 f (x) =2sin (2x-) +1. - 6 ，即 厶 (4 分) f (x) (n)V f) =2s 的單調(diào)減區(qū)間為 3 (a-)+仁 2,即 sin 6 k7Tx-+kn, kez, 3 6 5 兀 1 _ / ”)=1 )一, 6 (8 分) 分) ：0v a JT - JT

16、 7T . 7T JT . JT -，- a=. (12 一直到有人獲勝或每人都已投球 3 次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概 率為丄，乙每次投籃投中的概率為 ，且各次投籃互不影響. 3 2 (I) 求甲獲勝的概率； (H)求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù) E的分布列與期望. 【解答】解：(1)設(shè) Ak, Bk分別表示甲、乙在第 k 次投籃投中， 則 P (Ak) = , P (Bk) =1 , k( 1, 2, 3). 3 2 記甲獲勝”為事件 C, 由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知: P (C) =P (Al) +P ) +P ；) . - （5 分） （2） E的

17、所有可能為：1, 2, 3, 由獨立性知：P（E =） =P （Ai） +P （廠.）=丨 =, P （ E =） =P （ i ,| ：. +P （二.j 七二丿= .+ （）2 （ ）2 =, 2 2 P （ E =） =P （.、. 11； 乂 ；）=（）（十）= , 綜上知，E的分布列為: E 1 2 3 P 2 2 1 3 9 9 - （9 分） EE二. 二.（次） - （11 分） 3 9 9 3 甲獲勝的概率為丄7；甲的投籃次數(shù)的期望為鼻次. - (12 分) M I J 17. （14 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中, PA 丄平面 ABCD AB 丄 BC, / BC

18、A=45 , PA=AD=2 AC=1, DC=/5 （I） 證明 PC 丄 AD; （8 分） （U）求二面角 A- PC- D 的正弦值； （m）設(shè) E 為棱 PA 上的點，滿足異面直線 BE 與 CD 所成的角為 30求 AE 的長. 【解答】（本小題滿分 13 分） 證明：（I）：在厶 ADC 中，AD=2, AC=1, DC=- AC2+AD2=CD2， AD 丄 AC, （ 1 分） 如圖，以點 A 為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 依題意得 A （0，0，0），D （2，0，0），C （0，1, 0），B （-丄，丄，0）, P （0， 2 2 0, 2）, 得疋=（0, 1,- 2）

19、, AD = （2, 0, 0）, 解：（U） j，_ ;,廳if： 設(shè)平面 PCD 的一個法向量 i-= （x, y, z）, 則牡竺 y%0,不妨令 z=1，得；=（1, 2, 1）, Ln-CD=2x-y=0 可取平面 PAC 的一個法向量 =（1, 0, 0）, 于是cos = 八, 從而 sinv 所以二面角 A-PC- D 的正弦值為 . 6 （m）設(shè)點 E 的坐標(biāo)為（0, 0, h）,其中 h 0 , 2, PCX （4 分） -(7 分) 由此得祝=(丄，丄，b),由石=(2,- 1, 0), 2 2 故 一-一 ， I BE I I CD | V10+20B2 滿足異面直線

20、BE 與 CD 所成的角為 30 - =cos30工！，解得 h= I ，即 AE 二二.(13 分) &0+2 曲 2 10 10 18. (14 分)已知函數(shù) f (x) =x- a，+lnx, (a 為常數(shù)). (1)當(dāng) a=5 時，求 f (x)的極值; (2)若 f (x)為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍. 【解答】解：函數(shù) y=f (x)的定義域為(0, +x), 、頁+2 _ (2 頁-1)(依-2) 一 2x 一 2x 如下表 x 1 4 tp 4) 4 (4, +x) f (x) + 0 1 0 + f (x) 遞增 遞減 6+l n4 遞增 (1 分) (1)當(dāng) a

21、=5 時，- 令 f (x) =0 得一一，或 x=4 (3 分)f (x), f (x)隨 x 的變化情況 -(7 分) 由上表可得函數(shù)的極大值為亠；=_: D，極小值為 f (4) =- 6+ln4. - （14 (2)由題意得：， I在區(qū)間(0, +x)恒成立，- 2y E K 2x 即：在區(qū)間(0, +x)恒成立, 1,當(dāng)且僅當(dāng)廠:一，即 x=1 時等號成立. VI =4 - m in 19. (14 分)設(shè)函數(shù) f (x) =x4+ax3+2x2+b (x R),其中 a, b R. (1) 若函數(shù) f (x)僅在 x=0 處有極值，求 a 的取值范圍； (2) 若對于任意的 a -

22、 2, 2，不等式 f (x) 1 在 x - 1, 1恒成立，求 b 的取值范圍. 【解答】解：(1)求導(dǎo)函數(shù)可得f (x) =x (4x2+3ax+4), - ( 1 分) 顯然 x=0 不是方程 4x2+3ax+4=0 的根. 為使 f (x)僅在 x=0 處有極值，必須 4/+3&乂+40 成立， - (3 分) 即有 =9a2- 640 恒成立.- - (8 分) 當(dāng) xv0 時，f (x)v 0;當(dāng) x0 時，f (x) 0. 因此函數(shù) f (x)在-1, 1上的最大值是 f (1)與 f ( - 1)兩者中的較大者.- - (11 分) 為使對任意的 a - 2, 2，不

23、等式 f (x) 1 在-1, 1上恒成立, 分) 所以 b - 4,因此滿足條件的 b 的取值范圍是(-%, - 4.- 分)在區(qū)間(0, +x)恒成立.- (10 分) _ 1 -（13 分） 所以 a 的取值范圍是(-% 4 . - （ 14 分） 當(dāng)且僅當(dāng) ffdXi 丁(T)0，可得 x 1 ； 函數(shù) f (x)的單調(diào)減區(qū)間為(-x， 1)，單調(diào)增區(qū)間為(1，+x) (n)設(shè)點 P (x0，f (X。)，曲線 y=f (x)在點 P 處的切線方程為 y=f(x) (x -x0)+f (X0) 令 g (x) =f (x)- f(X0)(x-x0)- f (X0) 曲線在該點處的切線與曲線只有一個