非齊次線性微分方程的幾種解法

1、摘要我在此論文中主要討論長微分方程中的非齊次線性微分方程的幾種解法。關(guān)鍵詞：線性相關(guān)，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯變換,線性無關(guān)，目 錄摘要1引言31.階線性齊次微分方程的一般理論:32.階線性非齊次微分方程的一般理論:62.1常數(shù)變易法72.2待定系數(shù)法:9第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法9第二類型非齊次微分方程特解的待頂系數(shù)法122.3拉普拉斯變換法13總結(jié)15參考文選16致 謝17引言非齊次線性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齊次線性微分方程的通解等于對應(yīng)齊次微分方程的通解與非齊次線性微分方程的一個特解的之和。這個畢業(yè)論文中關(guān)鍵的任務(wù)是求它的一個特解。下面我們主要介紹求

2、特解的方法。1.階線性齊次微分方程的一般理論: （1） （2）定理1：設(shè)方程（2）有個線性無關(guān)的解，這個線性無關(guān)的解稱為方程的基本解組。定理2：方程（2）的基本解組一定存在。方程（2）的基本解組的個數(shù)不能超過個。定理3：階線性非齊次微分方程的通解等于它的對應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個特解之和。定理4：齊次方程（2）的個解在其定義區(qū)間上線性無關(guān)的充要條件是在上存在點，使得它們的朗斯基行列式。目前為止沒有求方程（2）線性無關(guān)解的一般方法。下面我們研究幾個例子。例：方程的兩個解是 它的通解為 定理5：設(shè)是方程（2）的任意個解。是它的朗斯基行列式，則對區(qū)間上的任一有（3）上述關(guān)系式稱為劉維爾(Lio

3、uvlle)公式。我們手上有了這個定理，以后如果我們有二階線性齊次微分方程的一個特解。我們求了它的另一個解。對于二階齊次線性方程如果已知它的一個非零特解，依劉維爾公式（3），可用積分的方法求出與線性無關(guān)的另一個特解，從而可求出它的通解。設(shè)是已知二階齊次方程一個解，根據(jù)公式（3）有或為了積分上面這個一階線性方程，用乘上式兩端，整理后可得由此可得易見 是已知方程的一個解，即 所對應(yīng)的解。此外，由于所以，所求得的解是線性無罐解。從而，可得已知方程的通解。 （4） 其中和是任意常數(shù)。例2:方程的一個解是 試求其通解。解：容易看出，已知方程有特解根據(jù)公式（4）立刻可求得通解 通解為 在這里我們不討論三階

4、，四階，階變系數(shù)線性非齊次微分方程。根據(jù)定理3，我們的關(guān)鍵的要求試求線性非齊次微分方程的一個特解和對應(yīng)齊次方程的一個基本解組的問題了。2.階線性非齊次微分方程的一般理論:定理6:階線性非齊次方程（1）的通解等于它的對應(yīng)齊次方程的通解與它本身的一個特解之和。求對應(yīng)齊次方程的通解的方法我們不能加強討論。我們加強討論的是它本身的一個特解。求特解的方法有下面的三種：（1）常數(shù)變易法；（2）待定系數(shù)法；（3）拉普拉斯法;下面我們介紹一下常數(shù)變易法。2.1常數(shù)變易法設(shè)為方程（2）的基本解組,則方程（2）的通解為：現(xiàn)在設(shè)一組函數(shù) ，使 為（1）的一個特解。式中 是待定系數(shù)。 滿足以下代數(shù)方程組。這個方程組的

5、系數(shù)行列式是基本解組的朗斯基行列式，所以由以上方程組唯一確定，通過求積分可得求的表達式，這種求解線性非齊次方程解的方法稱為常數(shù)變易法。 , 例：求非齊次方程的通解。解：知道對應(yīng)齊次方程的基本解組 ，對應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)方程的特解為 由關(guān)系式（5）滿足方程組解上述方程組，得 , 積分 ， 通解為常數(shù)變易法是求非齊次線性微分方程特解的一般方法。但計算比較麻煩。例：求方程的解 。解：知道對應(yīng)齊次方程基本解組是，對應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)方程的特解為 由關(guān)系式（5），滿足方程組解上述方程組，得求:比較麻煩。所以下面我們介紹一下待定系數(shù)法。其計算較為簡便。但是主要使用于非齊次項的某些情形。2.2待定系

6、數(shù)法:這里，我們考慮如下幾種類型的非齊次項。其中 是多項式，是常數(shù)，首先求對應(yīng)齊次微分方程的特征根，求特征根的方法我們不能加強討論。第一類型非齊次方程特解的待定系數(shù)解法:現(xiàn)在，考慮時，非齊次方程（1）的特解的求法。先從最簡單的二階方程 （6）開始。因為經(jīng)過求任意階導(dǎo)數(shù)再與常數(shù)線性組合后，仍是原類型函數(shù)，所以，自然猜想到（6）有形如 （7）的特解，其中為待定常數(shù)。將（7）代入（6）得到則 （8）這樣，當(dāng)不是特征方程 （9）的根時，則用（8）所確定的代入（7）便得到（6）的特解。當(dāng)是（9）的單根時，即，這時（8）無法確定。此時，可設(shè)特解為 （10）并將它作為形式解代入(6)式，得因是當(dāng)特征根，故可

7、解出這時（6）便有形如（10）的特解，其中由（11）確定。 如果是（9）的重根，則，這時（10）的形式已不可用。此時，可設(shè)特解為將它作為形式解，代入得到由于是二重根，故上式左端前兩個括號內(nèi)的數(shù)為零，由此得到綜上所述，可以得到如下結(jié)論： 設(shè)是次實或復(fù)系數(shù)的多項式。（1）當(dāng)不是特征根時，（10有形如。的特解，其中（2）當(dāng)是重特征根時，（1）有形如：的特解。其中也是形如上述的次多項式。上面考慮常數(shù)變易法不能解決的問題，下面討論用待定系數(shù)法來解決。例：求方程 解：先求齊次通解，特征方程為 特征根為 故齊次方程的通解為由于是特征根。故已知方程有形如的解。將它代入原方程，得到 所以代入原方程得第二類型非齊

8、次微分方程特解的待頂系數(shù)法： 時非齊次微分方程（1）的特解的求法。其中中有一個是次多項式。另外一個是次數(shù)不超過次的多項式。 其中 是次多項式。1不是特征根，有特解。2是重特征根時，有特解。其中 都均是次多項式。例：求方程的通解。解：先求解對應(yīng)的齊次方程;我們有 得因為數(shù) 不是特征根，故原方程具有形如的特解將上式代入原故方程，由于故代入原方程，可得 我們已經(jīng)介紹了階常系數(shù)線性方程 （12） 的通解結(jié)構(gòu)和求解方法，但是在世界問題中往往還要求（12）初值條件 （13）的解。為此，當(dāng)然可以先求（12）的通解，然后再由初值條件（13）來確定其中的任意常數(shù)。下面我們介紹一下另外一種求解初值問題的方法。幾拉

9、普拉斯變換法。因為他無需要先求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來，因而在運算上得到很大簡化。2.3拉普拉斯變換法:求常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解。求方程（1）滿足（2）的特解。其中 解法步驟：令首先給方程（1）的兩端施行拉普拉斯變換，然后利用拉普拉斯變換原函數(shù)的微分性質(zhì)及初始條件，將方程整理為以下形式其中： 最后對施行拉普拉斯逆變換則得到方程滿足給定初始條件的特解為。例：，解：右邊的第一個項分解為部分分式 作逆變換。總結(jié)本論文中利用實際問題研究了常微分方程中的非齊次線形微分方程的解的問題，并且介紹了求解的三種方法：第一種是常數(shù)變易法，第二種是待定系數(shù)法，第三種是拉普拉斯變換法。以后利用

10、這些方法來解決實際問題時，帶來方便。參考文選1 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室編，常微分方程，第一版，高等教育出版社。2 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室編，常微分方程，第二版，高等教育出版社。3 竇霽虹 主編 常微分方程考研室教案，第二版，西北工業(yè)大學(xué)出版社。4 常微分方程，第一版，蔡燧林。浙江大學(xué)出版社5 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 主編，常微分方程，上?？茖W(xué)技術(shù)出版。6 金福臨，阮炯，黃振勛 主編 應(yīng)用常微分方程，復(fù)旦大學(xué)出版社。7 王藜會 主編 高階常系數(shù)線性微分方程的另一解法。哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，編輯部郵箱2005年05期。8 王建鋒 主編 求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的新方法，河海大學(xué)理學(xué)院，數(shù)學(xué)的實踐與認識，編輯部郵箱2004年0期。致 謝在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個方面得到了很大的提高。在老師的指導(dǎo)下我的畢業(yè)論文順利通過