量子力學(xué)中的對(duì)稱性和角動(dòng)量

1、量子力學(xué)中的對(duì)稱性和角動(dòng)量3.1 引言從經(jīng)典物理知道，自然界存在各種守恒定律如能量守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒等。為什么會(huì)這樣？從形式上看，守恒定律是運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)果，因?yàn)樗梢詮倪\(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出。但是，從本質(zhì)上看，守恒定律也許比運(yùn)動(dòng)方程更為基本，因?yàn)樗磉_(dá)了自然界的一些普遍法則，支配著自然界的所有過(guò)程。反過(guò)來(lái)，也可以認(rèn)為運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際上受著守恒定律的限制。為什么會(huì)有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在著普適的對(duì)稱性。運(yùn)動(dòng)過(guò)程的所有特征，實(shí)際上都已經(jīng)隱含在運(yùn)動(dòng)方程之中，對(duì)稱與守恒的研究，只是使運(yùn)動(dòng)過(guò)程本來(lái)就具有的那些特征更加顯現(xiàn)出來(lái)，但它并不能給出超出運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)果。經(jīng)典力學(xué)中，Hamilto

2、nian決定了體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，看H是否對(duì)于某一種變換不變，則體系在變換前后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也保持不變。-守恒量。-表示u是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)。量子力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)方程為，其中力學(xué)量為算符-二者具有共同的本征函數(shù)。Wigner-Weyl實(shí)現(xiàn)：態(tài)的對(duì)稱性直接反映了H的對(duì)稱性。3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的定義和轉(zhuǎn)動(dòng)算符3.2A 轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的定義 在經(jīng)典物理中，轉(zhuǎn)動(dòng)后坐標(biāo)的變化為如果n為z軸，轉(zhuǎn)動(dòng)角為，則-在量子力學(xué)中，一自旋為0的標(biāo)量粒子波函數(shù)，將它繞空間n軸（z軸）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，此操作為作用在波函數(shù)上的算符，則。轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的定義：-轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)。物理上對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的要求：如果轉(zhuǎn)動(dòng)前后中所測(cè)得的物理量的關(guān)系和經(jīng)典物理中一致（在下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明

3、），則可稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)。在坐標(biāo)系中，為標(biāo)量函數(shù)，存在和?，F(xiàn)在，證明上式滿足轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的要求。轉(zhuǎn)動(dòng)前，平均位置轉(zhuǎn)動(dòng)后，平均位置3.2B 算符的轉(zhuǎn)動(dòng)令為轉(zhuǎn)動(dòng)算符。，轉(zhuǎn)動(dòng)前后，物理上要求幾率守恒，即保持態(tài)歸一化：，則。即轉(zhuǎn)動(dòng)算符R為幺正算符，轉(zhuǎn)動(dòng)變換是一個(gè)幺正變換。物理過(guò)程：轉(zhuǎn)動(dòng)前后平均值不變。任一算符F的平均值為：量子力學(xué)中，可觀察量的轉(zhuǎn)動(dòng)。即變換使坐標(biāo)轉(zhuǎn)過(guò)角度，同時(shí)使體系的可觀察量轉(zhuǎn)過(guò)角度為。3.2C 態(tài)的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)-求轉(zhuǎn)動(dòng)算符的具體形式態(tài)的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)，繞z周的轉(zhuǎn)角為無(wú)限小，則（1）自旋為0的粒子波函數(shù)，推廣到任意軸n的微小轉(zhuǎn)動(dòng)，有2009-10-14上課內(nèi)容（2）自旋為1/2的粒子的波函數(shù)。此時(shí)，波

4、函數(shù)為二分量，記，則體系波函數(shù)為，。繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，證明波函數(shù)為。物理過(guò)程：在轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)下自旋、位置、動(dòng)量與原來(lái)態(tài)滿足經(jīng)典關(guān)系，即，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角度無(wú)限小時(shí)，把自旋的變化等同于位置的變化規(guī)律，則自旋的三個(gè)方向的分量為此處，定義從上面的討論可知，軌道部分波函數(shù)變?yōu)?，則總波函數(shù)為則任意軸無(wú)限小角度轉(zhuǎn)動(dòng)算符，其中粒子的總角動(dòng)量算符可以寫為3.2D 態(tài)的有限角度轉(zhuǎn)動(dòng)繞n軸無(wú)限小角度轉(zhuǎn)動(dòng)算符為，其中。繞n軸轉(zhuǎn)過(guò)有限角度，三維空間中的有限轉(zhuǎn)動(dòng)，。3.3 角動(dòng)量的一般性質(zhì)角動(dòng)量算符的三個(gè)分量，滿足下列對(duì)易關(guān)系：定義角動(dòng)量平方算符為定義角動(dòng)量的升降算符，證明對(duì)易關(guān)系：因?yàn)?，二者的共同本征態(tài)為，有證明升降算符的物理意義。由此

5、可得，。證明：2009年10月16日星期五上課為什么重要的是？標(biāo)記任意轉(zhuǎn)動(dòng)下的態(tài)，要用的本征態(tài)。因?yàn)?，任意轉(zhuǎn)動(dòng)算符R可以用組合而成，所以只要。證明過(guò)程：因?yàn)樗?，。將的本征態(tài)標(biāo)記為，經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)R后，轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)為。的物理意義：。表明，轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)的全體形成一個(gè)不變子空間。該子空間用本征值標(biāo)記。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，態(tài)只能在子空間內(nèi)變化，其中任何態(tài)不會(huì)因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)帶到子空間之外。算符的重要意義：將態(tài)空間按其本征值自動(dòng)地分解為轉(zhuǎn)動(dòng)不變子空間。則關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)態(tài)的變化問(wèn)題，就只需在各個(gè)不變子空間中加以討論。轉(zhuǎn)動(dòng)子空間為的簡(jiǎn)并空間，還需一個(gè)算符（好量子數(shù)）才能解除簡(jiǎn)并。記為。證明：從前面的內(nèi)容可知，。利用升降算符，則。現(xiàn)設(shè)為的共同本征態(tài)，

6、則。且則。從本征態(tài)出發(fā)，得到的一系列本征態(tài)：-必有上限和下限。計(jì)算平均值，現(xiàn)令，因?yàn)椴桓淖兊谋菊髦?，所以。則。因?yàn)椋?。因?yàn)槭墙莿?dòng)量算符z方向上的投影，所以m的最大值以上可知，。表明，對(duì)于同一個(gè)j，張成的維簡(jiǎn)并空間。3.7 對(duì)稱性和守恒律3.7A 可觀察量和不可觀察量有限轉(zhuǎn)動(dòng)算符是幺正算符，不對(duì)應(yīng)于可觀察量。但它的無(wú)限小生成元（角動(dòng)量算符）為可觀察量。態(tài)在在旋轉(zhuǎn)作用下不變，即它具有繞z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，。旋轉(zhuǎn)不變：。旋轉(zhuǎn)前后相差一個(gè)相因子，不影響波函數(shù)的物理結(jié)果。起點(diǎn)：終點(diǎn)：若，上式中，要求為整數(shù)若，上式中，m為半整數(shù)。2009-10-21上課內(nèi)容從特殊到一般：體系在某個(gè)變換下具有對(duì)稱性，即(

7、1) 保持幾率不變，說(shuō)明Q是一個(gè)幺正算符。(2) 保持運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變，設(shè)Q不顯含時(shí)間，則和可得體系在Q變換下保持不變性的條件為，?？紤]無(wú)限小變換，式中為無(wú)限小變換的參量，由于，則，即是一個(gè)厄密算符，對(duì)應(yīng)于一個(gè)可觀察量。，即是運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)守恒量。量子力學(xué)中的一個(gè)對(duì)稱性變換往往對(duì)應(yīng)于一個(gè)可觀察量的守恒性。3.7B 空間的均勻性及動(dòng)量守恒把體系沿著x方向平移一無(wú)限小距離，用算符標(biāo)記變換操作。若體系具有空間平移不變形，則。將平移操作算符作用到一個(gè)態(tài)上，由定義可知，即動(dòng)量守恒。3.7C 時(shí)間的均勻性與能量守恒把體系的態(tài)在時(shí)間上平移一無(wú)限小量，用算符標(biāo)記操作，若體系的演化具有時(shí)間不變性，則。體系能量守恒。3

8、.8 空間反演和宇稱3.8A 量子態(tài)和算符的宇稱空間反演：。反演算符記為，存在。作用一次，連續(xù)作用兩次，。因?yàn)閷?duì)稱性算符均為幺正算符，則其也是厄密算符（真實(shí)的物理量）。作為厄密算符，其本征值為。在經(jīng)典力學(xué)中不存在宇稱這個(gè)力學(xué)量，因?yàn)闆](méi)有能使的突變。證明：設(shè)其本征值為，則。偶宇稱態(tài)：，本征值為1。奇宇稱態(tài)：，本征值為-1。例在中心場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，其宇稱本征值為。如何判斷Hamiltonian具有宇稱對(duì)稱性？在空間反演變換下，算符x，p，J的變換？量子力學(xué)中的算符分為奇宇稱和偶宇稱。（算符的宇稱變換）例子：體系Hamiltonian具有空間反演對(duì)稱性，即。本征方程，。證明：矩陣元3.8B 宇稱守恒

9、定律（1）量子態(tài)具有宇稱量子數(shù)經(jīng)典物理中的“自然界中存在基本的左右對(duì)稱性”。（2）量子力學(xué)中，哈密頓量支配系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。保證了中不包含贗標(biāo)量項(xiàng)。為標(biāo)量，而為贗標(biāo)量。（3）多粒子體系的總宇稱。-宇稱守恒定律。3.8C 宇稱不守恒的發(fā)現(xiàn)1956年，楊振寧和李政道根據(jù)當(dāng)時(shí)粒子物理研究中一個(gè)關(guān)于荷電K介子的衰變問(wèn)題（之謎），懷疑宇稱不守恒定律不一定是普遍正確的。2009-10-23上課內(nèi)容3.9 時(shí)間反演對(duì)稱性1932年，Wigner在量子力學(xué)中引進(jìn)了時(shí)間反演（運(yùn)動(dòng)的可逆性）。無(wú)自旋粒子的運(yùn)動(dòng)方程，。假設(shè)不含時(shí)間，對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行操作，-為反演后滿足方程的解。作時(shí)間反演操作，?？疾於咧g的關(guān)系。在時(shí)

10、間反演下，時(shí)間反演算符，使得。為反幺正算符，存在乘積形式：，為幺正算符和復(fù)共軛算符的乘積。算符在作用下的性質(zhì)：（1） Hamiltonian是時(shí)間反演不變的；（2） 位置算符；-實(shí)算符（3） 動(dòng)量和角動(dòng)量； -虛算符（4） 自旋算符；，類比角動(dòng)量。3.4 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合， C-G系數(shù)兩個(gè)角動(dòng)量耦合的多種方式：（a） 自旋與軌道角動(dòng)量耦合：；（b） 兩個(gè)自旋耦合：；（c） 兩個(gè)軌道耦合：；（d） 耦合后的自旋與軌道進(jìn)一步耦合：；（e） 先合成軌道，再合成：；采用何種耦合方式，需具體分析，各種相互作用的強(qiáng)弱。在實(shí)際計(jì)算中，在一級(jí)近似下，以上各種方式均可作為理想的數(shù)學(xué)問(wèn)題處理。兩個(gè)不同表示空間中的

11、和，它們耦合為的角動(dòng)量，可以嚴(yán)格地寫成：其中，為空間中的恒等算符，兩個(gè)空間是獨(dú)立的，可以有不同的維數(shù) （例如自旋空間是2維Hilbert空間，軌道表示空間是無(wú)限維的，指定l，其子空間是2l+1維）。問(wèn)題：兩種表示之間的幺正變換的矩陣元為C-G系數(shù)（矢量耦合系數(shù)）。直乘空間的基：由兩個(gè)子空間的基直乘而得，記為不同空間中的和是對(duì)易的（無(wú)相互作用），顯然其中，都是好量子數(shù)。發(fā)生相互作用后，兩個(gè)角動(dòng)量耦合，基為，好量子數(shù)為。為何不再是好量子數(shù)，因?yàn)?。?。實(shí)現(xiàn)兩種基之間的幺正變換，利用完備性關(guān)系，得到上式中，正是兩種基之間的幺正變換的矩陣元（即CG系數(shù)）。2009-10-28 上課內(nèi)容CG系數(shù)的性質(zhì)：

12、（1）3個(gè)磁量子數(shù)間存在簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系：（證明），因?yàn)?，所以；?）。說(shuō)明：從角動(dòng)量的矢量相加法則可知，證明如下：設(shè)系統(tǒng)的兩個(gè)角動(dòng)量為，總角動(dòng)量為。因?yàn)樽饔迷诓煌瑢?duì)象上的算符，所以對(duì)易，。的共同本征態(tài)記為。對(duì)于確定的，有個(gè)，有個(gè)。二者張成的維簡(jiǎn)并空間。耦合后，總轉(zhuǎn)動(dòng)的基對(duì)于一個(gè)確定的j張成維的不可約子空間，總維數(shù)為（3）CG系數(shù)（取為實(shí)數(shù)）構(gòu)成幺正矩陣。，則幺正矩陣為正交矩陣，行與列的正交條件，取特例，令，則有態(tài)的歸一化條件（4）（5）幾個(gè)常用的CG系數(shù)。3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)算符的矩陣表示 D函數(shù)有限轉(zhuǎn)動(dòng)算符在基中的矩陣表示，記矩陣元為-D函數(shù)，Wigner函數(shù)。這里，j是確定的，因?yàn)?。D矩陣稱為，轉(zhuǎn)動(dòng)

13、算符R的維不可約表示。性質(zhì)：（1） 無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)，；（2） R是幺正的，則D是幺正的；（3） D矩陣的乘法。兩個(gè)連續(xù)的轉(zhuǎn)動(dòng)為一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，則；（4） D矩陣元的物理意義。（要作用到態(tài)上才看得出意義）（5） 計(jì)算D矩陣，采用歐拉角表示一般的轉(zhuǎn)動(dòng)。舉例：，易證一般公式（此處不證明）。（6）-(9)中的內(nèi)容在群論中可以找到。（6） D矩陣元與球諧函數(shù)的關(guān)系。（7） 磁量子數(shù)翻轉(zhuǎn)的對(duì)稱性。（8） D矩陣的耦合規(guī)則。因?yàn)?，則（9） D矩陣的積分公式。3.6 不可約張量算符 Wigner-Echart定理和選擇定則3.6A 標(biāo)量算符和不可約張量算符。體系在轉(zhuǎn)動(dòng)下的對(duì)稱性影響躍遷過(guò)程的選擇定則。轉(zhuǎn)動(dòng)后的新算符，當(dāng)，則算符在轉(zhuǎn)動(dòng)R下不變，稱F為標(biāo)量算符。任一有限轉(zhuǎn)動(dòng)可分解為連續(xù)的無(wú)限小的轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果，所以在無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)下考察問(wèn)題。推廣到非標(biāo)量算符，若有個(gè)算符滿足關(guān)系：，則稱為一個(gè)階的不可約張量算符。不難證明，球諧函數(shù)為階不可約張量算符。自旋算符為階不可約張量算符。態(tài)在轉(zhuǎn)動(dòng)變換下的性質(zhì)，由D矩陣的耦合公式，由此可知，具有角動(dòng)量量子數(shù)J和M：。3.6B Wigner-Eckart定理1、不可約張量