垂直于弦的直徑 (2)

1、陽(yáng)高三中陽(yáng)高三中 潘秀云潘秀云 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？ABCD思考：思考： 問(wèn)題問(wèn)題1 1、圖中有相等的線段嗎？有相等的劣弧嗎？如、圖中有相等的線段嗎？有相等的劣弧嗎？如果有，你能找到嗎？果有，你能找到嗎？O問(wèn)題問(wèn)題2.AB2.AB作怎樣的變換時(shí)，作怎樣的變換時(shí)，AC=BC,AD=BD相等的線段有：相等的線段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD相等的弧有相等的弧有：AC=BD,BC=AD,CDABO結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)CDCDAB時(shí)時(shí)AC=BC

2、AD=BDCDO問(wèn)題問(wèn)題3.3.將弦將弦ABAB進(jìn)行平移時(shí)，進(jìn)行平移時(shí)，ABABEAE與與BE相等嗎？相等嗎？AC與與 BC相等嗎？相等嗎？AD與與BD相等嗎相等嗎？OABCDE已知：在已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CDAB，垂足為，垂足為E（如圖）。（如圖）。求證：求證：AE=BE ，ACBC=ADBD.=,證明：證明：連結(jié)連結(jié)OA、OB， OAOB,CDAB直徑直徑CD所在的直線既是等腰所在的直線既是等腰 三角形三角形OAB的對(duì)稱軸，又是的對(duì)稱軸，又是 O的對(duì)稱軸的對(duì)稱軸. 則則A點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)重合，點(diǎn)重合，AE和和BE重合，重合，ACBC和和ADBD和和也重合也重

3、合.AE=BE ，ACBC=ADBD.=,疊合法OABCDE垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論（1）直徑）直徑（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言： CD是直徑且是直徑且CDABAE=BE, AD=BD. AC=BC,垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦，平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA

4、 AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？OABCDE垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言： CDAB，CD過(guò)圓心過(guò)圓心AE=BE, AD=BD. AC=BC, 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦，平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧經(jīng)過(guò)圓心的一條直經(jīng)過(guò)圓心的一條直線或線段線或線段注意：定理中的兩個(gè)條件注意：定理中的兩個(gè)條件（過(guò)（過(guò)圓心，垂直于弦）圓心，垂直

5、于弦）缺一不可！缺一不可！1 1、兩條線段：、兩條線段：半徑、圓心到弦的垂線段半徑、圓心到弦的垂線段2 2、一個(gè)、一個(gè)RtRt： 半徑、圓心到弦的垂線段、半弦半徑、圓心到弦的垂線段、半弦OABC3 3、兩個(gè)定理：、兩個(gè)定理： 垂徑定理、勾股定理垂徑定理、勾股定理 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線過(guò)圓心作弦的垂線，或，或作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。理創(chuàng)造條件。D4 4、弦長(zhǎng)、圓心到弦的距離（弦心距）、半徑、弦長(zhǎng)、圓心到弦的距離（弦心距）、半徑、弧中點(diǎn)到弦的距離（弓形高），弧中點(diǎn)到弦的距離

6、（弓形高），可利用垂徑定理可利用垂徑定理和勾股定理和勾股定理由任意兩個(gè)求出其他兩個(gè)由任意兩個(gè)求出其他兩個(gè)問(wèn)題問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ? 它的主橋是圓弧形它的主橋是圓弧形, ,它的它的跨度跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 37.4m7.2mABOCE解得：解得：R279（m）BODACR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即

7、R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中解：用解：用 弧弧AB表示主橋拱，設(shè)弧表示主橋拱，設(shè)弧AB 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是弧是弧AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高 已知：如圖，在已知：如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8c

8、m， 圓心圓心O到到AB的距離為的距離為3cm。 求：求： O的半徑。的半徑。A AB B.O OE E 解：作解：作OEAB，垂足為，垂足為E，連結(jié)，連結(jié)OA。AE=BE，又，又AB=8cmAE=4cm又圓心又圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，即，即OE=3cm。在在RTABC中，則勾股定理可得：中，則勾股定理可得：OA=所以，所以， O的半徑為的半徑為5cm。5342222OEAE如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條為互相垂直且相等的兩條弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證：四邊形求證：四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明證明：四邊形四邊形AD

9、OEADOE為矩形，為矩形， 又又AC=ABAC=AB11 22AEACADAB， AE=AD AE=AD 四邊形四邊形ADOEADOE為正方形為正方形. .OEACOEAC，ODABODAB，ACABACABOEA=ODA=BAC=90OEA=ODA=BAC=90已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：ACBD。證明：過(guò)證明：過(guò)O作作OEAB，垂足為，垂足為E，則則AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO小結(jié)：小結(jié)：圓是圓是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形, ,經(jīng)過(guò)圓心的每一條直經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸線都是它的對(duì)稱軸. .垂直于弦垂直于弦的的直徑直徑平分平分這