運用簡單線性規(guī)劃思想理解求最值問題

1、運用簡單線性規(guī)劃思想理解求最值問題華東師范大學(xué)2003級（數(shù)學(xué)）教育碩士江蘇省溧陽市戴埠高級中學(xué)（213331） 潘曉春簡單線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的新內(nèi)容之一，是解決一些在線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最值（最大值或最小值）的問題。它是運籌學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用，并且在實際生產(chǎn)活動中也有著廣泛的應(yīng)用，可以實現(xiàn)對資源的最佳利用。簡單線性規(guī)劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數(shù)的最值問題，但它的思想可以延伸到其他的數(shù)學(xué)最值問題的求解過程中。簡單線性規(guī)劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值。解決問題時主要是借助平面圖形，運用這一思想能夠比較有效地

2、解決一些二元函數(shù)的最值問題。本文將從規(guī)劃思想出發(fā)來探討一些高中數(shù)學(xué)中一些常見的函數(shù)最值問題。一、 線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題即簡單線性規(guī)劃問題，它的線性約束條件是一個二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個二元一次函數(shù)，可行域就是線性約束條件中不等式所對應(yīng)的方程所表示的直線所圍成的區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(biāo)即簡單線性規(guī)劃的可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(biāo)即簡單線性規(guī)劃的最優(yōu)解。例1 已知，求的最大值和最小值約束條件： ，是關(guān)于的一個二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個二元一次函數(shù)；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區(qū)域（包括

3、邊界）（如圖1）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時，所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。當(dāng)線性約束條件中的二元一次不等式組中出現(xiàn)一個二元一次方程（或一元一次方程）時，則可行域就轉(zhuǎn)變成一條線段（或一條直線，或一條射線）。例2 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：，是關(guān)于的一個二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個二元一次函數(shù)；可行域：是指由直線被直線和所夾的一條線段（如圖1）；可行解：所有滿足（即線段上的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得一組平行線（為參

4、數(shù)）中的取得最大值和最小值時，所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。這類問題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解線性約束條件所表示的幾何意義，并畫出其圖形，利用簡單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。二、 非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題高中數(shù)學(xué)中的最值問題很多可以轉(zhuǎn)化為非線性約束條件下線性函數(shù)的最值問題。它們的約束條件是一個二元不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個二元一次函數(shù)，可行域是直線或曲線所圍成的圖形（或一條曲線段），區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例3 已知滿足，求的最大值和最小值Oxy2圖 3約束條件：，是關(guān)于的一個二

5、元二次方程；目標(biāo)函數(shù)：，是關(guān)于的一個二元一次函數(shù)；可行域：是圓上的圓周（如圖3）可行解：所有滿足（即圓周上的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時，所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)最值問題也可以看作是這類問題。例4 求函數(shù)的最大值和最小值。約束條件：是關(guān)于的一個二元不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是關(guān)于的一個二元一次函數(shù)；可行域：函數(shù)的圖象在直線和之間（包括端點）的部分曲線（如圖4）可行解：所有滿足（即曲線段上的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得一組平行線（為參數(shù)）中的取得最大值和最小值時，所對應(yīng)的點

6、的坐標(biāo)就是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。這類問題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性約束條件所表達(dá)的幾何意義，并畫出其圖形，利用簡單線性規(guī)劃求最優(yōu)解方法求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。三、 線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問題這類問題也是高中數(shù)學(xué)中常見的問題，它也可以用線性規(guī)劃的思想來進(jìn)行解決。它的約束條件是一個二元一次不等式組，目標(biāo)函數(shù)是一個二元函數(shù)，可行域是直線所圍成的圖形（或一條線段），區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例5 已知實數(shù)滿足不等式組，求的最小值。約束條件：是一個關(guān)于的一個二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是一個關(guān)于的一個二元二次函數(shù)

7、，可以看作是一點到點的距離的平方；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖5）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得它到點的距離最小，則其距離的平方也取得最小值，此時所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。例6 實數(shù)滿足不等式組，求的最小值約束條件：是一個關(guān)于的一個二元一次不等式組；目標(biāo)函數(shù)：是一個關(guān)于的一個二元函數(shù)，可以看作是一點與點的斜率；可行域：是指由直線，和所圍成的一個三角形區(qū)域（包括邊界）（如圖6）；可行解：所有滿足（即三角形區(qū)域（包括邊界）內(nèi)的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得它與點的

8、斜率取得最小值，此時所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。這類問題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，并利用圖形及非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義求出最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。四、 非線性約束條件下非線性函數(shù)的最值問題在高中數(shù)學(xué)中還有一些常見的問題也可以用線性規(guī)劃的思想來解決，它的約束條件是一個二元不等式組，目標(biāo)函數(shù)也是一個二元函數(shù)，可行域是由曲線或直線所圍成的圖形（或一條曲線段），區(qū)域內(nèi)的各點的點坐標(biāo)即可行解，在可行解中的使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標(biāo)即最優(yōu)解。例7 已知滿足，求的最大值和最小值約束條件：是一個關(guān)于的一個二元方程；目標(biāo)函數(shù)：是一個關(guān)于的一個二元函數(shù)，可以看作是一點與點的斜率；可行域：以原點為圓心，1為半徑的在軸上方的半圓及與軸的交點（如圖7）；可行解：所有滿足（即半圓（包括交點）上的點的坐標(biāo)）實數(shù)都是可行解；最優(yōu)解：，即可行域內(nèi)一點，使得它與點的斜率取得最大值和最小值，此時所對應(yīng)的點的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。這類問題的解決，關(guān)鍵在于能夠正確理解非線性約束條件與非線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用非線性約束條件作出圖形并利用非線