高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)_第1頁(yè)
高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)_第2頁(yè)
高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)_第3頁(yè)
高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)_第4頁(yè)
高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩26頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)一解答題(共50題)1 (2019全國(guó))數(shù)列an中,a1,2an+1an+an+1an0(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求滿足a1a2+a2a3+an1an的n的最大值2(2019新課標(biāo))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S9a5(1)若a34,求an的通項(xiàng)公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范圍3(2019新課標(biāo))已知數(shù)列an和bn滿足a11,b10,4an+13anbn+4,4bn+13bnan4(1)證明:an+bn是等比數(shù)列,anbn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式4(2019新課標(biāo))已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,

2、a12,a32a2+16(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和5(2018新課標(biāo))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a17,S315(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值6(2018新課標(biāo))已知數(shù)列an滿足a11,nan+12(n+1)an,設(shè)bn(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式7(2018新課標(biāo))等比數(shù)列an中,a11,a54a3(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63,求m8(2017全國(guó))設(shè)數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù),且(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè)b11

3、,求數(shù)列bnbn+1的前n項(xiàng)和Sn9(2017新課標(biāo))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a11,b11,a2+b22(1)若a3+b35,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T321,求S310(2017新課標(biāo))記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22,S36(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列11(2017新課標(biāo))設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n1)an2n(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和12(2016全國(guó))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2()求an的通項(xiàng)公式;()記bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和13(2016新課標(biāo)

4、)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1+an,其中0(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求14(2016新課標(biāo))已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b11,b2,anbn+1+bn+1nbn()求an的通項(xiàng)公式;()求bn的前n項(xiàng)和15(2016新課標(biāo))已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11,an2(2an+11)an2an+10(1)求a2,a3;(2)求an的通項(xiàng)公式16(2016新課標(biāo))等差數(shù)列an中,a3+a44,a5+a76()求an的通項(xiàng)公式;()設(shè)bnan,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.90,2.6217(2016新課標(biāo))Sn為等差數(shù)

5、列an的前n項(xiàng)和,且a11,S728,記bnlgan,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.90,lg991()求b1,b11,b101;()求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和18(2015全國(guó))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an()證明:數(shù)列2nan是等差數(shù)列;()求an的通項(xiàng)公式19(2015新課標(biāo))Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an0,an2+2an4Sn+3(I)求an的通項(xiàng)公式:()設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和數(shù)列全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析一解答題(共50小題)1(2019全國(guó))數(shù)列an中,a1,2an+1an+an+1an0(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求滿足a1a2+a2a3+an1

6、an的n的最大值【分析】(1)由2an+1an+an+1an0可得,可知數(shù)列是等差數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式可得an;(2)由(1)知,然后利用裂項(xiàng)相消法求出a1a2+a2a3+an1an,再解不等式可得n的范圍,進(jìn)而得到n的最大值【解答】解:(1)2an+1an+an+1an0,又,數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列, ,;(2)由(1)知,a1a2+a2a3+an1an,a1a2+a2a3+an1an,4n+242,n10,nN*,n的最大值為9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查了轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是了解數(shù)列的遞推公式,明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同,會(huì)根

7、據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列,屬中檔題2(2019新課標(biāo))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S9a5(1)若a34,求an的通項(xiàng)公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范圍【分析】(1)根據(jù)題意,等差數(shù)列an中,設(shè)其公差為d,由S9a5,即可得S99a5a5,變形可得a50,結(jié)合a34,計(jì)算可得d的值,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案;(2)若Snan,則na1+da1+(n1)d,分n1與n2兩種情況討論,求出n的取值范圍,綜合即可得答案【解答】解:(1)根據(jù)題意,等差數(shù)列an中,設(shè)其公差為d,若S9a5,則S99a5a5,變形可得a50,即a1+4d0,若a34,則d2,則ana3+

8、(n3)d2n+10,(2)若Snan,則na1+da1+(n1)d,當(dāng)n1時(shí),不等式成立,當(dāng)n2時(shí),有da1,變形可得(n2)d2a1,又由S9a5,即S99a5a5,則有a50,即a1+4d0,則有(n2)2a1,又由a10,則有n10,則有2n10,綜合可得:n的取值范圍是n|1n10,nN【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,涉及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題3(2019新課標(biāo))已知數(shù)列an和bn滿足a11,b10,4an+13anbn+4,4bn+13bnan4(1)證明:an+bn是等比數(shù)列,anbn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式【分析】(1)定義

9、法證明即可;(2)由(1)結(jié)合等差、等比的通項(xiàng)公式可得【解答】解:(1)證明:4an+13anbn+4,4bn+13bnan4;4(an+1+bn+1)2(an+bn),4(an+1bn+1)4(anbn)+8;即an+1+bn+1(an+bn),an+1bn+1anbn+2;又a1+b11,a1b11,an+bn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,anbn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列;(2)由(1)可得:an+bn()n1,anbn1+2(n1)2n1;an()n+n,bn()nn+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,是基礎(chǔ)題4(2019新課標(biāo))已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a

10、12,a32a2+16(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比,由已知列式求得公比,則通項(xiàng)公式可求;(2)把(1)中求得的an的通項(xiàng)公式代入bnlog2an,得到bn,說(shuō)明數(shù)列bn是等差數(shù)列,再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解【解答】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a12,a32a2+16,得2q24q+16,即q22q80,解得q2(舍)或q4;(2)bnlog2an,b11,bn+1bn2(n+1)12n+12,數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和,考

11、查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),是基礎(chǔ)題5(2018全國(guó))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1,an0,an+1(Sn+1+Sn)2(1)求Sn; (2)求+【分析】(1)由數(shù)列遞推式可得(Sn+1Sn)(Sn+1+Sn)2,可得Sn+12Sn22,運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求Sn;(2)化簡(jiǎn)()(),再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)整理可得所求和【解答】解:(1)a1,an0,an+1(Sn+1+Sn)2,可得(Sn+1Sn)(Sn+1+Sn)2,可得Sn+12Sn22,即數(shù)列Sn2為首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,可得Sn22+2(n1)2n,由an0,可得Sn;(2)()(),即+(1+2+

12、)(1)【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題6(2018新課標(biāo))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a17,S315(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值【分析】(1)根據(jù)a17,S315,可得a17,3a1+3d15,求出等差數(shù)列an的公差,然后求出an即可;(2)由a17,d2,an2n9,得Snn28n(n4)216,由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解:(1)等差數(shù)列an中,a17,S315,a17,3a1+3d15,解得a17,d2,an7+2(n1)2n9;(2)a17,d2,a

13、n2n9,Snn28n(n4)216,當(dāng)n4時(shí),前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為16【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式,屬于中檔題7(2018新課標(biāo))已知數(shù)列an滿足a11,nan+12(n+1)an,設(shè)bn(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式【分析】(1)直接利用已知條件求出數(shù)列的各項(xiàng)(2)利用定義說(shuō)明數(shù)列為等比數(shù)列(3)利用(1)(2)的結(jié)論,直接求出數(shù)列的通項(xiàng)公式【解答】解:(1)數(shù)列an滿足a11,nan+12(n+1)an,則:(常數(shù)),由于,故:,數(shù)列bn是以b1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列整理

14、得:,所以:b11,b22,b34(2)由于(常數(shù)),數(shù)列bn是為等比數(shù)列;(3)由(1)得:,根據(jù),所以:【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用8(2018新課標(biāo))等比數(shù)列an中,a11,a54a3(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63,求m【分析】(1)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程,求出公比q±2,由此能求出an的通項(xiàng)公式(2)當(dāng)a11,q2時(shí),Sn,由Sm63,得Sm63,mN,無(wú)解;當(dāng)a11,q2時(shí),Sn2n1,由此能求出m【解答】解:(1)等比數(shù)列an中,a11,a54a31×q44×(1×q2),解得q

15、±2,當(dāng)q2時(shí),an2n1,當(dāng)q2時(shí),an(2)n1,an的通項(xiàng)公式為,an2n1,或an(2)n1(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和當(dāng)a11,q2時(shí),Sn,由Sm63,得Sm63,mN,無(wú)解;當(dāng)a11,q2時(shí),Sn2n1,由Sm63,得Sm2m163,mN,解得m6【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題9(2017全國(guó))設(shè)數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù),且(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè)b11,求數(shù)列bnbn+1的前n項(xiàng)和Sn【分析】(1)對(duì)已知等式兩邊取倒數(shù),結(jié)合等差數(shù)列的定義,即可得證;(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公

16、式可得,所以,再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)即可得到所求和【解答】解:(1)證明:數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù),且,兩邊取倒數(shù)得,故數(shù)列為等差數(shù)列,其公差為1,首項(xiàng)為;(2)由(1)得,故,所以,因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,考查構(gòu)造數(shù)列法,以及數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題10(2017新課標(biāo))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a11,b11,a2+b22(1)若a3+b35,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T321,求S3【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,列

17、方程解方程可得d,q,即可得到所求通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和,計(jì)算即可得到所求和【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,a11,b11,a2+b22,a3+b35,可得1+d+q2,1+2d+q25,解得d1,q2或d3,q0(舍去),則bn的通項(xiàng)公式為bn2n1,nN*;(2)b11,T321,可得1+q+q221,解得q4或5,當(dāng)q4時(shí),b24,a2242,d2(1)1,S31236;當(dāng)q5時(shí),b25,a22(5)7,d7(1)8,S31+7+1521【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式

18、的運(yùn)用,求出公差和公比是解題的關(guān)鍵,考查方程思想和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題11(2017新課標(biāo))記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22,S36(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列【分析】(1)由題意可知a3S3S2628,a1,a2,由a1+a22,列方程即可求得q及a1,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,即可求得an的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,即可求得Sn,分別求得Sn+1,Sn+2,顯然Sn+1+Sn+22Sn,則Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列【解答】解:(1)設(shè)等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公比為q,則a3S3S2628

19、,則a1,a2,由a1+a22,+2,整理得:q2+4q+40,解得:q2,則a12,an(2)(2)n1(2)n,an的通項(xiàng)公式an(2)n;(2)由(1)可知:Sn2+(2)n+1,則Sn+12+(2)n+2,Sn+22+(2)n+3,由Sn+1+Sn+22+(2)n+22+(2)n+3,4+(2)×(2)n+1+(2)2×(2)n+1,4+2(2)n+12×(2+(2)n+1)2Sn,即Sn+1+Sn+22Sn,Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題12(2017新課標(biāo))

20、設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n1)an2n(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】(1)利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出(2)利用裂項(xiàng)求和方法即可得出【解答】解:(1)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n1)an2nn2時(shí),a1+3a2+(2n3)an12(n1)(2n1)an2an當(dāng)n1時(shí),a12,上式也成立an(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題13(2016全國(guó))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2()求an的通項(xiàng)公式;()記bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】()運(yùn)用數(shù)列的遞推式:a1S1;n2時(shí),anSnSn1,計(jì)算

21、可得所求通項(xiàng);()化簡(jiǎn)bn(),再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,計(jì)算可得所求和【解答】解:()數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2,可得a1S11;n2時(shí),anSnSn1n2(n1)22n1,上式對(duì)n1也成立,則an2n1,nN*;()bn(),則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為(1+)(1)【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題14(2016新課標(biāo))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1+an,其中0(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求【分析】(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系進(jìn)行遞推,結(jié)合等比數(shù)列

22、的定義進(jìn)行證明求解即可(2)根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解就可【解答】解:(1)Sn1+an,0an0當(dāng)n2時(shí),anSnSn11+an1an1anan1,即(1)anan1,0,an010即1,即,(n2),an是等比數(shù)列,公比q,當(dāng)n1時(shí),S11+a1a1,即a1,an()n1(2)若S5,則若S51+()4,即()51,則,得1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)n2時(shí),anSnSn1的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力15(2016新課標(biāo))已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b11,b2,anbn+1+bn+1nbn()求an的通項(xiàng)公式;()求bn的前n項(xiàng)和

23、【分析】()令n1,可得a12,結(jié)合an是公差為3的等差數(shù)列,可得an的通項(xiàng)公式;()由(1)可得:數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,進(jìn)而可得:bn的前n項(xiàng)和【解答】解:()anbn+1+bn+1nbn當(dāng)n1時(shí),a1b2+b2b1b11,b2,a12,又an是公差為3的等差數(shù)列,an3n1,()由(I)知:(3n1)bn+1+bn+1nbn即3bn+1bn即數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,bn的前n項(xiàng)和Sn(13n)【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推式,數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,難度中檔16(2016新課標(biāo))已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11,an2(2an+1

24、1)an2an+10(1)求a2,a3; (2)求an的通項(xiàng)公式【分析】(1)根據(jù)題意,由數(shù)列的遞推公式,令n1可得a12(2a21)a12a20,將a11代入可得a2的值,進(jìn)而令n2可得a22(2a31)a22a30,將a2代入計(jì)算可得a3的值,即可得答案;(2)根據(jù)題意,將an2(2an+11)an2an+10變形可得(an2an+1)(an+an+1)0,進(jìn)而分析可得an2an+1或anan+1,結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)為正可得an2an+1,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得an是首項(xiàng)為a11,公比為的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案【解答】解:(1)根據(jù)題意,an2(2an+11)an2an+10

25、,當(dāng)n1時(shí),有a12(2a21)a12a20,而a11,則有1(2a21)2a20,解可得a2,當(dāng)n2時(shí),有a22(2a31)a22a30,又由a2,解可得a3,故a2,a3;(2)根據(jù)題意,an2(2an+11)an2an+10,變形可得(an2an+1)(an+1)0,即有an2an+1或an1,又由數(shù)列an各項(xiàng)都為正數(shù),則有an2an+1,故數(shù)列an是首項(xiàng)為a11,公比為的等比數(shù)列,則an1×()n1()n1,故an()n1【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路,分析得到an與an+1的關(guān)系17(2016新課標(biāo))等差數(shù)列an中,a3+a44,a5+a76()求an的通項(xiàng)

26、公式;()設(shè)bnan,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.90,2.62【分析】()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于首項(xiàng)和公差方程組,解得答案;()根據(jù)bnan,列出數(shù)列bn的前10項(xiàng),相加可得答案【解答】解:()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a3+a44,a5+a76,解得:,an;()bnan,b1b2b31,b4b52,b6b7b83,b9b104故數(shù)列bn的前10項(xiàng)和S103×1+2×2+3×3+2×424【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì),難度中檔18(2016新課標(biāo))Sn為等差數(shù)列an的

27、前n項(xiàng)和,且a11,S728,記bnlgan,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.90,lg991()求b1,b11,b101;()求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和【分析】()利用已知條件求出等差數(shù)列的公差,求出通項(xiàng)公式,然后求解b1,b11,b101;()找出數(shù)列的規(guī)律,然后求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和【解答】解:()Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a11,S728,7a428可得a44,則公差d1ann,bnlgn,則b1lg10,b11lg111,b101lg1012()由()可知:b1b2b3b90,b10b11b12b991b100b101b102b103b9992,b10,003數(shù)列bn的

28、前1000項(xiàng)和為:9×0+90×1+900×2+31893【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列求和,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,以及計(jì)算能力19(2015全國(guó))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an()證明:數(shù)列2nan是等差數(shù)列;()求an的通項(xiàng)公式【分析】()當(dāng)n1時(shí),解得a11,當(dāng)n2時(shí),Sn4an,Sn14an1兩式相減,得2an,由此能證明數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列()求出2nan2+(n1)×(2)42n,由此能求出an的通項(xiàng)公式【解答】證明:()數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an當(dāng)n1時(shí),解得a11,當(dāng)n2時(shí),Sn4an,Sn14an1兩式

29、相減,得2an,2×2nan2×2nan2×2n1an14,2n1an12,又2a12,數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列()數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,2nan2+(n1)×(2)42n,anan的通項(xiàng)公式為an【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的證明,考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題19(2015新課標(biāo))Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an0,an2+2an4Sn+3(I)求an的通項(xiàng)公式:()設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】(I)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系,利

30、用作差法即可求an的通項(xiàng)公式:()求出bn,利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【解答】解:(I)由an2+2an4Sn+3,可知an+12+2an+14Sn+1+3兩式相減得an+12an2+2(an+1an)4an+1,即2(an+1+an)an+12an2(an+1+an)(an+1an),an0,an+1an2,當(dāng)n1時(shí),a12+2a14a1+3,a11(舍)或a13,則an是首項(xiàng)為3,公差d2的等差數(shù)列,an的通項(xiàng)公式an3+2(n1)2n+1:()an2n+1,bn(),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(+)()【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算,利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵考

31、點(diǎn)卡片1等差數(shù)列的性質(zhì)【等差數(shù)列】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:ana1+(n1)d;前n項(xiàng)和公式為:Snna1+n(n1)或Sn (nN+),另一重要特征是若p+q2m,則有2amap+aq(p,q,m都為自然數(shù))例:已知等差數(shù)列an中,a1a2a3an且a3,a6為方程x210x+160的兩個(gè)實(shí)根(1)求此數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)?若是,是第多少項(xiàng)?若不是,說(shuō)明理由解:(1)由已知條件得a32,a68又an為等差數(shù)列,設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,a1+2d2,a1+5d8,解得a12,d2an2+(n1)×22n4(nN*)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n4(2)令26

32、82n4(nN*),解得n136268是此數(shù)列的第136項(xiàng)這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題,第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少,然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1+(n1)d,求出首項(xiàng)和公差d,這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng),其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式,帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的【等差數(shù)列的性質(zhì)】(1)若公差d0,則為遞增等差數(shù)列;若公差d0,則為遞減等差數(shù)列;若公差d0,則為常數(shù)列; (2)有窮等差數(shù)列中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等,并且等于首末兩項(xiàng)之和; (3)m,nN+,則aman+(mn)d;(4)若s,t,p,qN*,且s+tp+q,則as+atap+a

33、q,其中as,at,ap,aq是數(shù)列中的項(xiàng),特別地,當(dāng)s+t2p時(shí),有as+at2ap; (5)若數(shù)列an,bn均是等差數(shù)列,則數(shù)列man+kbn仍為等差數(shù)列,其中m,k均為常數(shù)(6)an,an1,an2,a2,a1仍為等差數(shù)列,公差為d(7)從第二項(xiàng)開(kāi)始起,每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an+1an+an+2,2ananm+an+m,(nm+1,n,mN+) (8)am,am+k,am+2k,am+3k,仍為等差數(shù)列,公差為kd(首項(xiàng)不一定選a1)2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】ana1+(n1)d,或者anam+(nm)d【例題解析】eg1:已

34、知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2+1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并判斷an是不是等差數(shù)列解:當(dāng)n1時(shí),a1S112+12,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n2+1(n1)212n1,an,把n1代入2n1可得12,an不是等差數(shù)列 考察了對(duì)概念的理解,除掉第一項(xiàng)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,但如果把首項(xiàng)放進(jìn)去的話就不是等差數(shù)列,題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式,大家可以熟記一下eg2:已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a1,2a+1,a+7則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為解:等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a1,2a+1,a+7,2(2a+1)a1+a+7,解得a2a1211,a22×2+15,a32+79,數(shù)列an是以1

35、為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,an1+(n1)×44n3故答案:4n3 這個(gè)題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì),即等差中項(xiàng)的特點(diǎn),通過(guò)這個(gè)性質(zhì)然后解方程一樣求出首項(xiàng)和公差即可【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一種很常見(jiàn)的題型,這里面往往用的最多的就是等差中項(xiàng)的性質(zhì),這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握的知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】Snna1+n(n1)d或者Sn【例題解析】eg1:設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若公差d1,S515,則S10解:d1,S515,5a1+d5a1+1015,即a11,則S1010a1+d10+4555故答案為:55點(diǎn)評(píng):此題考查了等差數(shù)列的前

36、n項(xiàng)和公式,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值,然后套用公式即可eg2:等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4n225n求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)的和Tn解:等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4n225nanSnSn1(4n225n)4(n1)225(n1)8n29,該等差數(shù)列為21,13,5,3,11,前3項(xiàng)為負(fù),其和為S339n3時(shí),TnSn25n4n2,n4,TnSn2S34n225n+78,點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意分類討論思想的合理運(yùn)用其實(shí)方法都是一樣的,要么求出首項(xiàng)和公差,要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 等差數(shù)列比較常見(jiàn),單獨(dú)考察等差數(shù)列的

37、題也比較簡(jiǎn)單,一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn),大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察,特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用4等比數(shù)列的性質(zhì)例:2,x,y,z,18成等比數(shù)列,則y解:由2,x,y,z,18成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則182q4,解得q23,y2q22×36故答案為:6 本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式,這也是一個(gè)常用的方法,即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比,繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng),求出其余的項(xiàng)關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握,方法就是待定系數(shù)法【等比數(shù)列的性質(zhì)】(1)通項(xiàng)公式的推廣:anamqnm,(n,mN*) (2)若an為等比數(shù)列,且k+lm+n,(k,l,m,nN*),則 a

38、kalaman(3)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an(0),a,anbn,仍是等比數(shù)列(4)單調(diào)性:或an是遞增數(shù)列;或an是遞減數(shù)列;q1an是常數(shù)列;q0an是擺動(dòng)數(shù)列5等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1等比數(shù)列的定義2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1qn13等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) G2ab (ab0)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:anamqnm,(n,mN*)(2)若an為等比數(shù)列,且k+lm+n,(k,l,m,nN*),則 akalaman(3)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an(0),a,

39、anbn,仍是等比數(shù)列(4)單調(diào)性:或an是遞增數(shù)列;或an是遞減數(shù)列;q1an是常數(shù)列;q0an是擺動(dòng)數(shù)列6等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q1時(shí),Snna1;當(dāng)q1時(shí),Sn2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn7數(shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和,一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等,常用的方法包括:(1)公式法:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:Snna1+n(n1)d或Sn等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:幾

40、個(gè)常用數(shù)列的求和公式:(2)錯(cuò)位相減法:適用于求數(shù)列an×bn的前n項(xiàng)和,其中anbn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)裂項(xiàng)相消法:適用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中an為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,即()(4)倒序相加法: 推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)(a1+an) (5)分組求和法: 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可 【典型例題分析】典例1:已知等差數(shù)列an滿足:a37,a5+a726,an的前n項(xiàng)和為Sn()求an及Sn

41、;()令bn(nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn分析:形如的求和,可使用裂項(xiàng)相消法如:解:()設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a37,a5+a726,解得a13,d2,an3+2(n1)2n+1;Snn2+2n()由()知an2n+1,bn,Tn,即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn點(diǎn)評(píng):該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法,這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法,就像友情提示那樣,兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和【解題方法點(diǎn)撥】 數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn),大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法,即便是放縮也要往這里面考8數(shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、遞推公式定義:如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任

42、一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式:an在數(shù)列an中,前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系,是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn),要認(rèn)真掌握注意:(1)用anSnSn1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎?(n2,當(dāng)n1時(shí),a1S1);若a1適合由an的表達(dá)式,則an不必表達(dá)成分段形式,可化統(tǒng)一為一個(gè)式子(2)一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式anSnSn1,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式,然后再求解3、數(shù)列的通項(xiàng)的求法:(1)公式法:等差數(shù)列通項(xiàng)公式;等比數(shù)列

43、通項(xiàng)公式(2)已知Sn(即a1+a2+anf(n)求an,用作差法:an一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式,然后再求解(3)已知a1a2anf(n)求an,用作商法:an,(4)若an+1anf(n)求an,用累加法:an(anan1)+(an1an2)+(a2a1)+a1(n2)(5)已知f(n)求an,用累乘法:an(n2)(6)已知遞推關(guān)系求an,有時(shí)也可以用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)特別地有,形如ankan1+b、ankan1+bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an形如an的

44、遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)(7)求通項(xiàng)公式,也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明9數(shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】一、數(shù)列的函數(shù)特性: 等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,知三求二,體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法,一般遞推法,數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題二、解題步驟:1在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí):(1)要讀懂題意,理解實(shí)際背景,領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西;(2)準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型;(3)根據(jù)所建

45、立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng),解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果;(4)最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去,從而得到答案2在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí),要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:(1)直接用公式求和時(shí),注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律,在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上,或分解為基本數(shù)列求和,或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和(3)求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),無(wú)一般方法可循,要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,觸類旁通3在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(尤其是在處理客觀題目時(shí))時(shí),要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng),否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少,而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式,從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論【典型例題分析】典例:已知f(

46、x)logax(a0,a1),設(shè)數(shù)列f(a1),f(a2),f(a3),f(an)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列(I)設(shè)a為常數(shù),求證:an成等比數(shù)列;(II)設(shè)bnanf(an),數(shù)列bn前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)時(shí),求Sn分析:(I)先利用條件求出f(an)的表達(dá)式,進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式,再用定義來(lái)證an是等比數(shù)列即可;(II)先求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,再對(duì)數(shù)列bn利用錯(cuò)位相減法求和即可解答:證明:(I)f(an)4+(n1)×22n+2,即logaan2n+2,可得ana2n+2為定值an為等比數(shù)列(II)解:bnanf(an)a2n+2logaa2n+2(2n+2)a2n+2(7分

47、)當(dāng)時(shí),(8分)Sn2×23+3×24+4×25+(n+1)2n+2 2Sn2×24+3×25+4×26+n2n+2+(n+1)2n+3 得Sn2×23+24+25+2n+2(n+1)2n+3(12分)(n+1)2n+316+2n+324n2n+32n+3Snn2n+3(14分)點(diǎn)評(píng):本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列10數(shù)列與不等式的綜合【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法:(1)直接將數(shù)列求和后放縮;(2)先將通項(xiàng)放縮后求和;(3)先將通項(xiàng)放縮后求

48、和再放縮;(4)嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明常用的放縮方法有:,(n2),()(n2),2()2()+【解題方法點(diǎn)撥】 證明數(shù)列型不等式,因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng),需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力,因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材這類問(wèn)題的求解策略往往是:通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深入剖析其特征,抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s;其放縮技巧主要有以下幾種:(1)添加或舍去一些項(xiàng),如:|a|;n;(2)將分子或分母放大(或縮小);(3)利用基本不等式;(4)二項(xiàng)式放縮;(5)利用常用結(jié)論;(6)利用函數(shù)單調(diào)性(7)常見(jiàn)模型:等差模型;

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論