高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題(含答案、知識(shí)卡片)

1、高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)數(shù)列大題精選50題（含答案、知識(shí)卡片）一解答題（共50題）1 （2019全國(guó)）數(shù)列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求滿足a1a2+a2a3+an1an的n的最大值2（2019新課標(biāo)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S9a5（1）若a34，求an的通項(xiàng)公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范圍3（2019新課標(biāo)）已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項(xiàng)公式4（2019新課標(biāo)）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

2、a12，a32a2+16（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和5（2018新課標(biāo)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值6（2018新課標(biāo)）已知數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，設(shè)bn（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求an的通項(xiàng)公式7（2018新課標(biāo)）等比數(shù)列an中，a11，a54a3（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m8（2017全國(guó)）設(shè)數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù)，且（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)b11

3、，求數(shù)列bnbn+1的前n項(xiàng)和Sn9（2017新課標(biāo)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通項(xiàng)公式；（2）若T321，求S310（2017新課標(biāo)）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列11（2017新課標(biāo)）設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和12（2016全國(guó)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2（）求an的通項(xiàng)公式；（）記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和13（2016新課標(biāo)

4、）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1+an，其中0（1）證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5，求14（2016新課標(biāo)）已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通項(xiàng)公式；（）求bn的前n項(xiàng)和15（2016新課標(biāo)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，an2（2an+11）an2an+10（1）求a2，a3；（2）求an的通項(xiàng)公式16（2016新課標(biāo)）等差數(shù)列an中，a3+a44，a5+a76（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bnan，求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，2.6217（2016新課標(biāo)）Sn為等差數(shù)

5、列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728，記bnlgan，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和18（2015全國(guó)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an（）證明：數(shù)列2nan是等差數(shù)列；（）求an的通項(xiàng)公式19（2015新課標(biāo)）Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通項(xiàng)公式：（）設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和數(shù)列全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析一解答題（共50小題）1（2019全國(guó)）數(shù)列an中，a1，2an+1an+an+1an0（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求滿足a1a2+a2a3+an1

6、an的n的最大值【分析】（1）由2an+1an+an+1an0可得，可知數(shù)列是等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式可得an；（2）由（1）知，然后利用裂項(xiàng)相消法求出a1a2+a2a3+an1an，再解不等式可得n的范圍，進(jìn)而得到n的最大值【解答】解：（1）2an+1an+an+1an0，又，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， ，；（2）由（1）知，a1a2+a2a3+an1an，a1a2+a2a3+an1an，4n+242，n10，nN*，n的最大值為9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同，會(huì)根

7、據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列，屬中檔題2（2019新課標(biāo)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S9a5（1）若a34，求an的通項(xiàng)公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范圍【分析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，設(shè)其公差為d，由S9a5，即可得S99a5a5，變形可得a50，結(jié)合a34，計(jì)算可得d的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案；（2）若Snan，則na1+da1+（n1）d，分n1與n2兩種情況討論，求出n的取值范圍，綜合即可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，設(shè)其公差為d，若S9a5，則S99a5a5，變形可得a50，即a1+4d0，若a34，則d2，則ana3+

8、（n3）d2n+10，（2）若Snan，則na1+da1+（n1）d，當(dāng)n1時(shí)，不等式成立，當(dāng)n2時(shí)，有da1，變形可得（n2）d2a1，又由S9a5，即S99a5a5，則有a50，即a1+4d0，則有（n2）2a1，又由a10，則有n10，則有2n10，綜合可得：n的取值范圍是n|1n10，nN【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，涉及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3（2019新課標(biāo)）已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）證明：an+bn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項(xiàng)公式【分析】（1）定義

9、法證明即可；（2）由（1）結(jié)合等差、等比的通項(xiàng)公式可得【解答】解：（1）證明：4an+13anbn+4，4bn+13bnan4；4（an+1+bn+1）2（an+bn），4（an+1bn+1）4（anbn）+8；即an+1+bn+1（an+bn），an+1bn+1anbn+2；又a1+b11，a1b11，an+bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：an+bn（）n1，anbn1+2（n1）2n1；an（）n+n，bn（）nn+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題4（2019新課標(biāo)）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a

10、12，a32a2+16（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比，由已知列式求得公比，則通項(xiàng)公式可求；（2）把（1）中求得的an的通項(xiàng)公式代入bnlog2an，得到bn，說(shuō)明數(shù)列bn是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a12，a32a2+16，得2q24q+16，即q22q80，解得q2（舍）或q4；（2）bnlog2an，b11，bn+1bn2（n+1）12n+12，數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，考

11、查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題5（2018全國(guó)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2（1）求Sn； （2）求+【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，運(yùn)用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求Sn；（2）化簡(jiǎn)（）（），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理可得所求和【解答】解：（1）a1，an0，an+1（Sn+1+Sn）2，可得（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn）2，可得Sn+12Sn22，即數(shù)列Sn2為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得Sn22+2（n1）2n，由an0，可得Sn；（2）（）（），即+（1+2+

12、）（1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題6（2018新課標(biāo)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【分析】（1）根據(jù)a17，S315，可得a17，3a1+3d15，求出等差數(shù)列an的公差，然后求出an即可；（2）由a17，d2，an2n9，得Snn28n（n4）216，由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解：（1）等差數(shù)列an中，a17，S315，a17，3a1+3d15，解得a17，d2，an7+2（n1）2n9；（2）a17，d2，a

13、n2n9，Snn28n（n4）216，當(dāng)n4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為16【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式，屬于中檔題7（2018新課標(biāo)）已知數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，設(shè)bn（1）求b1，b2，b3；（2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求an的通項(xiàng)公式【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的各項(xiàng)（2）利用定義說(shuō)明數(shù)列為等比數(shù)列（3）利用（1）（2）的結(jié)論，直接求出數(shù)列的通項(xiàng)公式【解答】解：（1）數(shù)列an滿足a11，nan+12（n+1）an，則：（常數(shù)），由于，故：，數(shù)列bn是以b1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列整理

14、得：，所以：b11，b22，b34（2）由于（常數(shù)），數(shù)列bn是為等比數(shù)列；（3）由（1）得：，根據(jù)，所以：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用8（2018新課標(biāo)）等比數(shù)列an中，a11，a54a3（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出公比q±2，由此能求出an的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)a11，q2時(shí)，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，無(wú)解；當(dāng)a11，q2時(shí)，Sn2n1，由此能求出m【解答】解：（1）等比數(shù)列an中，a11，a54a31×q44×（1×q2），解得q

15、±2，當(dāng)q2時(shí)，an2n1，當(dāng)q2時(shí)，an（2）n1，an的通項(xiàng)公式為，an2n1，或an（2）n1（2）記Sn為an的前n項(xiàng)和當(dāng)a11，q2時(shí)，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，無(wú)解；當(dāng)a11，q2時(shí)，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m6【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題9（2017全國(guó)）設(shè)數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù)，且（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)b11，求數(shù)列bnbn+1的前n項(xiàng)和Sn【分析】（1）對(duì)已知等式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公

16、式可得，所以，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和【解答】解：（1）證明：數(shù)列bn的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，兩邊取倒數(shù)得，故數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為；（2）由（1）得，故，所以，因此【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查構(gòu)造數(shù)列法，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題10（2017新課標(biāo)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2+b22（1）若a3+b35，求bn的通項(xiàng)公式；（2）若T321，求S3【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列

17、方程解方程可得d，q，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，計(jì)算即可得到所求和【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，a11，b11，a2+b22，a3+b35，可得1+d+q2，1+2d+q25，解得d1，q2或d3，q0（舍去），則bn的通項(xiàng)公式為bn2n1，nN*；（2）b11，T321，可得1+q+q221，解得q4或5，當(dāng)q4時(shí)，b24，a2242，d2（1）1，S31236；當(dāng)q5時(shí)，b25，a22（5）7，d7（1）8，S31+7+1521【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式

18、的運(yùn)用，求出公差和公比是解題的關(guān)鍵，考查方程思想和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題11（2017新課標(biāo)）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列【分析】（1）由題意可知a3S3S2628，a1，a2，由a1+a22，列方程即可求得q及a1，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得Sn，分別求得Sn+1，Sn+2，顯然Sn+1+Sn+22Sn，則Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公比為q，則a3S3S2628

19、，則a1，a2，由a1+a22，+2，整理得：q2+4q+40，解得：q2，則a12，an（2）（2）n1（2）n，an的通項(xiàng)公式an（2）n；（2）由（1）可知：Sn2+（2）n+1，則Sn+12+（2）n+2，Sn+22+（2）n+3，由Sn+1+Sn+22+（2）n+22+（2）n+3，4+（2）×（2）n+1+（2）2×（2）n+1，4+2（2）n+12×（2+（2）n+1）2Sn，即Sn+1+Sn+22Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題12（2017新課標(biāo)）

20、設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】（1）利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出（2）利用裂項(xiàng)求和方法即可得出【解答】解：（1）數(shù)列an滿足a1+3a2+（2n1）an2nn2時(shí)，a1+3a2+（2n3）an12（n1）（2n1）an2an當(dāng)n1時(shí)，a12，上式也成立an（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題13（2016全國(guó)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2（）求an的通項(xiàng)公式；（）記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】（）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：a1S1；n2時(shí)，anSnSn1，計(jì)算

21、可得所求通項(xiàng)；（）化簡(jiǎn)bn（），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和【解答】解：（）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，可得a1S11；n2時(shí)，anSnSn1n2（n1）22n1，上式對(duì)n1也成立，則an2n1，nN*；（）bn（），則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為（1+）（1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題14（2016新課標(biāo)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1+an，其中0（1）證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5，求【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系進(jìn)行遞推，結(jié)合等比數(shù)列

22、的定義進(jìn)行證明求解即可（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解就可【解答】解：（1）Sn1+an，0an0當(dāng)n2時(shí)，anSnSn11+an1an1anan1，即（1）anan1，0，an010即1，即，（n2），an是等比數(shù)列，公比q，當(dāng)n1時(shí)，S11+a1a1，即a1，an（）n1（2）若S5，則若S51+（）4，即（）51，則，得1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)n2時(shí)，anSnSn1的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力15（2016新課標(biāo)）已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通項(xiàng)公式；（）求bn的前n項(xiàng)和

23、【分析】（）令n1，可得a12，結(jié)合an是公差為3的等差數(shù)列，可得an的通項(xiàng)公式；（）由（1）可得：數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得：bn的前n項(xiàng)和【解答】解：（）anbn+1+bn+1nbn當(dāng)n1時(shí)，a1b2+b2b1b11，b2，a12，又an是公差為3的等差數(shù)列，an3n1，（）由（I）知：（3n1）bn+1+bn+1nbn即3bn+1bn即數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，bn的前n項(xiàng)和Sn（13n）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，難度中檔16（2016新課標(biāo)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，an2（2an+1

24、1）an2an+10（1）求a2，a3； （2）求an的通項(xiàng)公式【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式，令n1可得a12（2a21）a12a20，將a11代入可得a2的值，進(jìn)而令n2可得a22（2a31）a22a30，將a2代入計(jì)算可得a3的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，將an2（2an+11）an2an+10變形可得（an2an+1）（an+an+1）0，進(jìn)而分析可得an2an+1或anan+1，結(jié)合數(shù)列各項(xiàng)為正可得an2an+1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得an是首項(xiàng)為a11，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，an2（2an+11）an2an+10

25、，當(dāng)n1時(shí)，有a12（2a21）a12a20，而a11，則有1（2a21）2a20，解可得a2，當(dāng)n2時(shí)，有a22（2a31）a22a30，又由a2，解可得a3，故a2，a3；（2）根據(jù)題意，an2（2an+11）an2an+10，變形可得（an2an+1）（an+1）0，即有an2an+1或an1，又由數(shù)列an各項(xiàng)都為正數(shù)，則有an2an+1，故數(shù)列an是首項(xiàng)為a11，公比為的等比數(shù)列，則an1×（）n1（）n1，故an（）n1【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路，分析得到an與an+1的關(guān)系17（2016新課標(biāo)）等差數(shù)列an中，a3+a44，a5+a76（）求an的通項(xiàng)

26、公式；（）設(shè)bnan，求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，2.62【分析】（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于首項(xiàng)和公差方程組，解得答案；（）根據(jù)bnan，列出數(shù)列bn的前10項(xiàng)，相加可得答案【解答】解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3+a44，a5+a76，解得：，an；（）bnan，b1b2b31，b4b52，b6b7b83，b9b104故數(shù)列bn的前10項(xiàng)和S103×1+2×2+3×3+2×424【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，難度中檔18（2016新課標(biāo)）Sn為等差數(shù)列an的

27、前n項(xiàng)和，且a11，S728，記bnlgan，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，lg991（）求b1，b11，b101；（）求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和【分析】（）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，求出通項(xiàng)公式，然后求解b1，b11，b101；（）找出數(shù)列的規(guī)律，然后求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和【解答】解：（）Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728，7a428可得a44，則公差d1ann，bnlgn，則b1lg10，b11lg111，b101lg1012（）由（）可知：b1b2b3b90，b10b11b12b991b100b101b102b103b9992，b10，003數(shù)列bn的

28、前1000項(xiàng)和為：9×0+90×1+900×2+31893【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，以及計(jì)算能力19（2015全國(guó)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an（）證明：數(shù)列2nan是等差數(shù)列；（）求an的通項(xiàng)公式【分析】（）當(dāng)n1時(shí)，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，Sn4an，Sn14an1兩式相減，得2an，由此能證明數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列（）求出2nan2+（n1）×（2）42n，由此能求出an的通項(xiàng)公式【解答】證明：（）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4an當(dāng)n1時(shí)，解得a11，當(dāng)n2時(shí)，Sn4an，Sn14an1兩式

29、相減，得2an，2×2nan2×2nan2×2n1an14，2n1an12，又2a12，數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列（）數(shù)列2nan是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，2nan2+（n1）×（2）42n，anan的通項(xiàng)公式為an【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題19（2015新課標(biāo)）Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通項(xiàng)公式：（）設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利

30、用作差法即可求an的通項(xiàng)公式：（）求出bn，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【解答】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3兩式相減得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，當(dāng)n1時(shí)，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，則an是首項(xiàng)為3，公差d2的等差數(shù)列，an的通項(xiàng)公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn（+）（）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵考

31、點(diǎn)卡片1等差數(shù)列的性質(zhì)【等差數(shù)列】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：ana1+（n1）d；前n項(xiàng)和公式為：Snna1+n（n1）或Sn （nN+），另一重要特征是若p+q2m，則有2amap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）例：已知等差數(shù)列an中，a1a2a3an且a3，a6為方程x210x+160的兩個(gè)實(shí)根（1）求此數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由解：（1）由已知條件得a32，a68又an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）×22n4（nN*）數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n4（2）令26

32、82n4（nN*），解得n136268是此數(shù)列的第136項(xiàng)這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1+（n1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的【等差數(shù)列的性質(zhì)】（1）若公差d0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d0，則為常數(shù)列； （2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和； （3）m，nN+，則aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，則as+atap+a

33、q，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t2p時(shí)，有as+at2ap； （5）若數(shù)列an，bn均是等差數(shù)列，則數(shù)列man+kbn仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)（6）an，an1，an2，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為d（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】ana1+（n1）d，或者anam+（nm）d【例題解析】eg1：已

34、知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是不是等差數(shù)列解：當(dāng)n1時(shí)，a1S112+12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2+1（n1）212n1，an，把n1代入2n1可得12，an不是等差數(shù)列 考察了對(duì)概念的理解，除掉第一項(xiàng)這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項(xiàng)放進(jìn)去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下eg2：已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a1，2a+1，a+7則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為解：等差數(shù)列an的前三項(xiàng)分別為a1，2a+1，a+7，2（2a+1）a1+a+7，解得a2a1211，a22×2+15，a32+79，數(shù)列an是以1

35、為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，an1+（n1）×44n3故答案：4n3 這個(gè)題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等差中項(xiàng)的特點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)性質(zhì)然后解方程一樣求出首項(xiàng)和公差即可【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一種很常見(jiàn)的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項(xiàng)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握的知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】Snna1+n（n1）d或者Sn【例題解析】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d1，S515，則S10解：d1，S515，5a1+d5a1+1015，即a11，則S1010a1+d10+4555故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前

36、n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可eg2：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4n225n求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)的和Tn解：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，該等差數(shù)列為21，13，5，3，11，前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S339n3時(shí)，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】 等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的

37、題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用4等比數(shù)列的性質(zhì)例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則182q4，解得q23，y2q22×36故答案為：6 本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法【等比數(shù)列的性質(zhì)】（1）通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm，（n，mN*） （2）若an為等比數(shù)列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），則 a

38、kalaman（3）若an，bn（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則an（0），a，anbn，仍是等比數(shù)列（4）單調(diào)性：或an是遞增數(shù)列；或an是遞減數(shù)列；q1an是常數(shù)列；q0an是擺動(dòng)數(shù)列5等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1等比數(shù)列的定義2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ana1qn13等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) G2ab （ab0）4等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm，（n，mN*）（2）若an為等比數(shù)列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），則 akalaman（3）若an，bn（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則an（0），a，

39、anbn，仍是等比數(shù)列（4）單調(diào)性：或an是遞增數(shù)列；或an是遞減數(shù)列；q1an是常數(shù)列；q0an是擺動(dòng)數(shù)列6等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q（q0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn7數(shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Snna1+n（n1）d或Sn等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：幾

40、個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列an×bn的前n項(xiàng)和，其中anbn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中an為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（）（4）倒序相加法： 推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an） （5）分組求和法： 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 【典型例題分析】典例1：已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5+a726，an的前n項(xiàng)和為Sn（）求an及Sn

41、；（）令bn（nN*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n（）由（）知an2n+1，bn，Tn，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn點(diǎn)評(píng)：該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和【解題方法點(diǎn)撥】 數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考8數(shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任

42、一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握注意：（1）用anSnSn1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n2，當(dāng)n1時(shí)，a1S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式anSnSn1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解3、數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列

43、通項(xiàng)公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：an一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n2）（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）特別地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an形如an的

44、遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明9數(shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】一、數(shù)列的函數(shù)特性： 等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題二、解題步驟：1在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建

45、立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到答案2在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通3在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論【典型例題分析】典例：已知f（

46、x）logax（a0，a1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），f（an）是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；（II）設(shè)bnanf（an），數(shù)列bn前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)時(shí)，求Sn分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達(dá)式，進(jìn)而求出an的通項(xiàng)公式，再用定義來(lái)證an是等比數(shù)列即可；（II）先求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列bn利用錯(cuò)位相減法求和即可解答：證明：（I）f（an）4+（n1）×22n+2，即logaan2n+2，可得ana2n+2為定值an為等比數(shù)列（II）解：bnanf（an）a2n+2logaa2n+2（2n+2）a2n+2（7分

47、）當(dāng)時(shí)，（8分）Sn2×23+3×24+4×25+（n+1）2n+2 2Sn2×24+3×25+4×26+n2n+2+（n+1）2n+3 得Sn2×23+24+25+2n+2（n+1）2n+3（12分）（n+1）2n+316+2n+324n2n+32n+3Snn2n+3（14分）點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列10數(shù)列與不等式的綜合【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求

48、和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明常用的放縮方法有：，（n2），（）（n2），2（）2（）+【解題方法點(diǎn)撥】 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：|a|；n；（2）將分子或分母放大（或縮小）；（3）利用基本不等式；（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性（7）常見(jiàn)模型：等差模型；