高等代數(shù)北大版教案線(xiàn)性方程組

1、第三章 線(xiàn)性方程組§1消元法一 授課內(nèi)容：§1消元法二 教學(xué)目的：理解和掌握線(xiàn)性方程組的初等變換，同解變換，會(huì)用消元法解線(xiàn)性方程組.三 教學(xué)重難點(diǎn)：用消元法解線(xiàn)性方程組.四 教學(xué)過(guò)程：所謂的一般線(xiàn)性方程組是指形式為 （1）的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)， （，）稱(chēng)為方程組的系數(shù)，（）稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng).所謂方程組（1）的的一個(gè)解就是指由個(gè)數(shù) 組成的有序數(shù)組（） ，當(dāng) 分別用 代入后，（1）中每個(gè)等式變?yōu)楹愕仁?，方程組（1）的解的全體稱(chēng)為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它的全部解，或則說(shuō)，求出它的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱(chēng)為同解的.顯然，如果知道了一個(gè)

2、線(xiàn)性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)方程組就基本上確定了，確切的說(shuō)，線(xiàn)性方程組（1）可以用如下的矩陣來(lái)表示.在中學(xué)代數(shù)里，我們學(xué)習(xí)過(guò)用加減消元法和代入消元法解二元，三元線(xiàn)性方程組，實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解方程組更具有普遍性.分析一下消元法，不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)的對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所做的變換也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1 用一非零的數(shù)乘某一方程.2 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一方程.3 互換兩個(gè)方程的位置.定義1 變換1，2，3稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換.消元法的過(guò)程就是反復(fù)的施行初等變換的過(guò)程.可以證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組.對(duì)于線(xiàn)性方程組反復(fù)的施行初等變換，一步一

3、步做下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組. （5）顯然（5）與（1）是同解的.考察（5）的解的情況.如（5）中的方程，而這時(shí)不管 取什么值都不能使它成為等式，故（5）無(wú)解，因而（1）也無(wú)解.當(dāng) ，或（5）中根本沒(méi)有“”的方程時(shí)，分兩種情況：1），這時(shí)階梯形方程組為有唯一解.例 解方程組.解 上述方程有唯一的解 .2），這時(shí)階梯形方程組為其中 ， ，把它改寫(xiě)成 （7）由（7）我們可以把 通過(guò) 表示出來(lái)，這樣一組表達(dá)式稱(chēng)為方程組（1）的一般解，而 稱(chēng)為一組自由未知量.例 解方程組.解 一般解為.定理1 在齊次線(xiàn)性方程組中，如果，那么它必有非零解.把矩陣 稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（1）的增廣矩陣，顯然，用初等變換

4、花線(xiàn)性方程組（1）成階梯形就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣.例 解方程組.解: 從最后一行可以看出原方程組無(wú)解.§2 維向量空間一 授課內(nèi)容：§2 維向量空間二 教學(xué)目的：理解和掌握維向量空間的概念，掌握維向量空間的兩種運(yùn)算及八條運(yùn)算律三 教學(xué)重難點(diǎn)： 維向量空間的概念.四 教學(xué)過(guò)程：定義2 所謂數(shù)域上一個(gè)維向量就是由數(shù)域中個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 （1） 稱(chēng)為向量（1）的分量.定義3 如果維向量 ，的對(duì)應(yīng)分量都相等，即 .就稱(chēng)這兩個(gè)向量是相等的，記作定義4 向量稱(chēng)為向量，的和，記為.由定義立即推出（1）交換律：.（2）結(jié)合律：.定義5 分量全為零的向量稱(chēng)為零向量，記為

5、0，向量 稱(chēng)為向量的負(fù)向量，記為.顯然對(duì)于所有的，都有,.定義6 .定義7 設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱(chēng)為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為.由定義立即推出定義8 以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱(chēng)為數(shù)域上的維向量空間.向量通常是寫(xiě)成一行 有時(shí)候也可以寫(xiě)成一列 前者稱(chēng)為行向量，后者稱(chēng)為列向量.§3線(xiàn)性相關(guān)性一 授課內(nèi)容：§3 線(xiàn)性相關(guān)性二 教學(xué)目的： 理解和掌握以下概念：線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表出、線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組、向量組的秩.三 教學(xué)重難點(diǎn)：線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念.四 教學(xué)過(guò)程：定義9 向量稱(chēng)為向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合，如果有數(shù)域中的

6、數(shù)，使=.任何一個(gè)維向量都是向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合，因?yàn)橄蛄糠Q(chēng)為維單位向量.當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合時(shí)，我們也說(shuō)可以線(xiàn)性表出.定義10 如果向量組 中的每一個(gè)向量()都可以由向量組線(xiàn)性表出，那么向量組就稱(chēng)為可以由向量組 線(xiàn)性表出,如果兩個(gè)向量組互相可以線(xiàn)性表出，它們就稱(chēng)為等價(jià).由定義知，向量組之間的等價(jià)有以下性質(zhì)1反身性 每一個(gè)向量組與它自身等價(jià).2對(duì)稱(chēng)性 如果向量組與等價(jià)，那么向量組也與等價(jià).3傳遞性 如果向量組與等價(jià)，向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).定義11 如果向量組（）中有有一向量可以經(jīng)其余的向量線(xiàn)性表出，那么向量組稱(chēng)為線(xiàn)性相關(guān)的.顯然，因?yàn)榱阆蛄靠梢员蝗我粋€(gè)向量組線(xiàn)性表出，那么任意

7、一個(gè)包含零向量的向量組必線(xiàn)性相關(guān).定義 向量組（）稱(chēng)為線(xiàn)性相關(guān)，如果數(shù)域中不全為零的數(shù)，使定義12 一向量組不線(xiàn)性相關(guān)，即沒(méi)有不全為零的數(shù)，使就稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)，或者說(shuō)，一向量組稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)，如果由可以推出.由定義立即得出，如果一向量組的一部分線(xiàn)性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線(xiàn)性相關(guān).換個(gè)說(shuō)法，如果一向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線(xiàn)性無(wú)關(guān).顯然，由維單位向量 組成的向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.定理2 設(shè) 與是兩個(gè)向量組，如果1)向量組可以經(jīng)線(xiàn)性表出.2).那么向量組必線(xiàn)性相關(guān).推論1 如果向量組可以經(jīng)線(xiàn)性表出，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么.推論2 任意個(gè)維向量必線(xiàn)性相關(guān).推論3 兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組，必

8、含有相同個(gè)數(shù)的向量.定義13 一向量組的一個(gè)部分組稱(chēng)為一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話(huà)），所得的部分向量組都線(xiàn)性相關(guān).顯然，任意一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，向量組的兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的.定理3 一向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.定義14 向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.由定義立即得出，一向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.顯然，等價(jià)的向量組有相同的秩.§4矩陣的秩一 授課內(nèi)容： §4矩陣的秩二 教學(xué)目的： 理解和掌握行秩、列秩、矩陣的

9、秩，掌握矩陣的秩與k級(jí)子式的關(guān)系，會(huì)求矩陣的秩.三 教學(xué)重難點(diǎn)：定理4的證明.四 教學(xué)過(guò)程：如果我們把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以看作由這些行向量所組成的，同樣的，如果我們把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以看作由這些列向量所組成的.定義15 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是指矩陣的列向量組的秩.引理 如果齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理4 矩陣的行秩與列秩相等.因?yàn)榫仃嚨男兄扰c列秩相等，所以下面就統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩.定理5 矩陣的行列式為零的充分必要條件是的秩小于.推論 齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.

10、定義16 在一個(gè)矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來(lái)的次序所組成的矩陣的行列式，稱(chēng)為的一個(gè)級(jí)子式.定理6 一矩陣的秩是的充分必要條件為矩陣中有一級(jí)子式不為零，同時(shí)所有的級(jí)子式全為零.怎樣計(jì)算矩陣的秩，可以用初等變換化矩陣為階梯形矩陣，其中非零行的數(shù)目就是原矩陣的秩.§5線(xiàn)性方程組有解的判定定理一 授課內(nèi)容： §5線(xiàn)性方程組有解的判定定理二 教學(xué)目的： 理解和掌握線(xiàn)性方程組有解判定定理，利用克蘭姆法則寫(xiě)出一般解三 教學(xué)重難點(diǎn)：判定定理的證明.四 教學(xué)過(guò)程：線(xiàn)性方程組有解的判定定理 線(xiàn)性方程組（1）有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩

11、.§6線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)一 授課內(nèi)容： §6線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)二 教學(xué)目的： 理解和掌握基礎(chǔ)解系的概念，掌握方程組解的性質(zhì)，掌握一般線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu).三 教學(xué)重難點(diǎn)：基礎(chǔ)解系，解的結(jié)構(gòu).四 教學(xué)過(guò)程：對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組 （1）它的解構(gòu)成的集合具有下面兩個(gè)重要性質(zhì)：1兩個(gè)解的和還是方程組的解.2一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.綜上，解的線(xiàn)性組合還是方程組的解.定義17 齊次線(xiàn)性方程組（1）的一組解稱(chēng)為（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果1）（1）的任何一個(gè)解都可以表示為的線(xiàn)性組合.2）線(xiàn)性無(wú)關(guān).定義7 在齊次線(xiàn)性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且它所含解的個(gè)數(shù)就等于，這里表示系數(shù)

12、矩陣的秩.（以下將看到，也是自由未知量的個(gè)數(shù)）由定義容易看出，任何一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.對(duì)于一般的線(xiàn)性方程組： （9）如果把常數(shù)項(xiàng)換成零，就得到齊次線(xiàn)性方程組（1），方程組（1）稱(chēng)為方程組（9）的.方程組（9）的解與它的導(dǎo)出組（1）的解有密切的關(guān)系：1方程組（9）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組（1）的解.2方程組（9）的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組（1）的一個(gè)解之和還是這個(gè)線(xiàn)性方程組的一個(gè)解.由這兩點(diǎn)容易證明定理8 如果是方程組（9）的一個(gè)特解，那么方程組（9）的任一個(gè)解都可以表成 （10）中是導(dǎo)出組（1）的一個(gè)解.因此，對(duì)于方程組（9）的任一個(gè)特解，當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，（10）就給出（9）的全部解.推論 在方程組有解的情況下，解是唯一的充分必要條件是它的導(dǎo)出組（1）只有零解.例 用消元法解方程組