高中數學競賽專題練習——排列組合

1、高中數學競賽專題講座之 排列組合 二項式定理和概率一 排列組合二項式定理1 (2005年浙江)設，求的值（ ） （A） （B） （C） （D） 【解】： 令 得 ；（1） 令 得 ； （2）令 得 ； （3）（2）（3）得 ，故 ，再由（1）得 。 選 【 C 】2、（2004 全國）設三位數，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數n有 （ ）A. 45個B. 81個C. 165個D. 216個解：a，b，c要能構成三角形的邊長，顯然均不為0。即（1）若構成等邊三角形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中三個數碼都相同，所以，。（2）若構成等腰（非等邊）三角

2、形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中只有2個不同數碼。設為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數碼組（a，b）共有。但當大數為底時，設ab，必須滿足。此時，不能構成三角形的數碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20種情況。 同時，每個數碼組（a，b）中的二個數碼填上三個數位，有種情況。故。綜上，。3（2005四川）設，若“方程滿足，且方程至少有一根”，就稱該方程為“漂亮方程”。則“漂亮方程”的個數為（A）8（B）10（C）12（D）14解：，由題可知，方程的兩根均為整數且兩根一正一負，當有一根為時，有9個滿足題意的“漂亮方程”，當一

3、根為時，有3個滿足題意的“漂亮方程”。共有12個，故選C。4（2005四川）設是的任一排列，是到的映射，且滿足，記數表。若數表的對應位置上至少有一個不同，就說是兩張不同的數表。則滿足條件的不同的數表的張數為 （ ）（A）144（B）192（C）216（D）576解：對于的一個排列，可以9個映射滿足，而共有個排列，所以滿足條件的數表共有張，故選C。5(2005江西)連結正五邊形的對角線交另一個正五邊形，兩次連結正五邊形的對角線，又交出一個正五邊形（如圖），以圖中線段為邊的三角形中，共有等腰三角形的個數為 ( )（A）50 （B）75 （C）85 （D）100解：對于其中任一點P，以P為“頂”（兩

4、腰的公共點）的等腰三角形的個數記為P則., 由于圖中沒有等邊三角形，則每個等腰三角形恰有一個“頂”。據對稱性可知.因此等腰三角形共有個.6. (2005全國)將關于的多項式表為關于的多項式其中則.解：由題設知，和式中的各項構成首項為1，公比為的等比數列，由等比數列的求和公式，得：令得取有7.如果自然數的各位數字之和等于7，那么稱為“吉祥數”.將所有“吉祥數”從小到大排成一列若則5200.解：方程的非負整數解的個數為.而使的整數解個數為.現取，可知，位“吉祥數”的個數為2005是形如的數中最小的一個“吉祥數”，且對于四位“吉祥數”，其個數為滿足的非負整數解個數，即個。2005是第1+7+28+2

5、8+165個“吉祥數”，即從而又而從大到小最后六個五位“吉祥數”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.第325個“吉祥數”是52000，即8（2004四川）某城市的機動車牌照是從“10000”到“99999”連續(xù)編號，則在這90000個牌照中數字9至少出現一個，并且各數字之和是9的倍數的車牌照共有 4168 個.二、概率部分1. （2006吉林預賽）在6個產品中有4個正品，2個次品，現每次取出1個作檢查（檢查完后不再放回），直到兩個次品都找到為止，則經過4次檢查恰好將2個次品全部都找到的概率是 （ D ）A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D

6、. 4/152（2006年南昌市）甲、乙兩人進行乒乓球單打決賽,采用五局三勝制(即先勝三局者獲冠軍),對于每局比賽,甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則爆出冷門(乙獲冠軍)的概率為_.3（2006年浙江省預賽）在中隨機選取三個數，能構成遞增等差數列的概率是 。解： 三個數成遞增等差數列，設為 ，按題意必須滿足 。 對于給定的d，a可以取1，2，2006-2d。 故三數成遞增等差數列的個數為 三數成遞增等差數列的概率為 。4. （2006吉林預賽）骰子是一個質量均勻的正方體，6個面上分別刻有1、2、3、4、5、6點?，F在桌面上有3只骰子分別為木制、骨制、塑料制的。重復下面操作，直到桌子上沒有骰子：

7、將桌上的骰子全部擲出，然后去掉那些奇數點的骰子。求完成以上操作的次數多于三次的概率。.（169/512）5（2004湖南）如果一元二次方程中，a、b分別是投擲骰子所得的數字，則該二次方程有兩個正根的概率P= ( )ABCD 6. (2005江西)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n=_.7. (2005江西)有10名乒乓球選手進行單循環(huán)賽，比賽結果顯示，沒有和局，且任意5人中既有1人勝其余4人，又有1人負其余4人，則恰好勝了兩場的人數為_個.8.將編號為1,2，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號

8、碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認為是相同的放法）解：九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉因素，則本質不同的放法有種. 5分下求使S達到最小值的放法數：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設是依次排列于這段弧上的小球號碼，則上式取等號當且僅當，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.因此.10分由上知，當每個弧段上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.在1,2，9中，除1與9外，剩下7個球

9、號2,3，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應著圓周上使S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數是種，故所求概率20分8、（2004全國）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數之和大于，則算過關。問：（）某人在這項游戲中最多能過幾關？（）他連過前三關的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數為出現點數。）解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數出現的可能性是相等的。（）因骰子出現的點數最大為6，而，因此，當時，n次出現的點數之和大于已不可能。即這

10、是一個不可能事件，過關的概率為0。所以最多只能連過4關。.5分（）設事件為“第n關過關失敗”，則對立事件為“第n關過關成功”。第n關游戲中，基本事件總數為個。第1關：事件所含基本事件數為2（即出現點數為1和2這兩種情況），過此關的概率為：。第2關：事件所含基本事件數為方程當a分別取2，3，4時的正整數解組數之和。即有（個）。過此關的概率為：。 .10分第3關：事件所含基本事件為方程當a分別取3，4，5，6，7，8時的正整數解組數之和。即有（個）。過此關的概率為：。.15分故連過前三關的概率為：。.20分（說明：第2，3關的基本事件數也可以列舉出來）10、（2006年浙江省預賽）六個面分別寫上1，2，3，4，5，6的正方體叫做骰子。問1） 共有多少種不同的骰子；2） 骰子相鄰兩個面上數字之差的絕對值叫做這兩個面之間的變差，變差的總和叫做全變差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1）設臺子上有一個與骰子的側面全等的正方形。我們把一個骰子放到該正方形上的放法共64種。所以不同的骰子共有種。 （5分）2） 由16的六個數字所能產