高中物理競賽輔導講義微積分初步

1、微積分初步一、微積分的基本概念1、極限極限指無限趨近于一個固定的數(shù)值兩個常見的極限公式 *2、導數(shù)當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限叫做導數(shù)。導數(shù)含義，簡單來說就是y隨x變化的變化率。導數(shù)的幾何意義是該點切線的斜率。3、原函數(shù)和導函數(shù) 對原函數(shù)上每點都求出導數(shù)，作為新函數(shù)的函數(shù)值，這個新的函數(shù)就是導函數(shù)。4、微分和積分 由原函數(shù)求導函數(shù)：微分由導函數(shù)求原函數(shù)：積分微分和積分互為逆運算。例1、根據(jù)導函數(shù)的定義，推導下列函數(shù)的導函數(shù)（1） （2） （3） 二、微分1、基本的求導公式（1） （2）（3） *（4）（5） *（6）（7） （8）（9） （10）*（11） *（

2、12）*（13） *（14）2、函數(shù)四則運算的求導法則設u=u(x)，v=v(x)（1）（2）（3）例2、求y=tanx的導數(shù)3、復合函數(shù)求導 對于函數(shù)y=f(x)，可以用復合函數(shù)的觀點看成y=fg(x)，即y=f(u)，u=g(x) 即：例3、求的導數(shù)例4、求的導數(shù)三、積分1、基本的不定積分公式 下列各式中C為積分常數(shù)（1） （2）（3） *（4）（5） （6）（7） *（8）*（9） *（10）2、簡單的定積分求法（即牛頓萊布尼茨公式）物理競賽中最基本的微積分公式牛頓萊布尼茨公式：若f(x)是F(x)在區(qū)間a, b上的導函數(shù), 則 而根據(jù)導函數(shù)f(x)求原函數(shù)F(x)的過程，其實就是不定積

3、分的過程。3、換元積分法(1)第一類換元積分（湊微法）例5、求* (2)第二類換元積分法技巧性較強，沒有一定的通法，高中階段很少用到。*例6、物理例題：例7、已知地球的半徑為R，質量為M。將質量為m的質點從地面移動到無窮遠處，此過程中，萬有引力做了多少功？例8、求半徑為R，質量均勻的半圓形薄板的重心位置例9、求常見幾何體的轉動慣量。各物體質量均為m，桿長均為L，半徑均為r(1)均勻桿繞中點轉動(2)均勻桿繞一端轉動(3)均勻圓盤繞中心轉動*(4)均勻球繞中軸轉動5.2附 微積分閱讀材料*一、求極限的羅必塔法則 此時可以對分子分母同時求導后再求極限，從而避免出現(xiàn)未定式無法計算的情況。如果求導后仍

4、然是未定式，可多次利用羅必塔法則。如果始終是未定式，則此方法失效。例1：例2： *二、分部積分法理解、運用起來容易出錯，高中階段很少用到。根據(jù)函數(shù)相乘的求導公式：移項可得： 兩邊取積分：*例3、求*例4、求利用分部積分法的步驟：(1)將被積函數(shù)分為兩部分，一部分可以看做是原函數(shù)，即u，另一部分可以看做是導函數(shù)，即v。(2)右邊第一項為兩個原函數(shù)uv的乘積，第二項將原函數(shù)u變?yōu)閷Ш瘮?shù)u，導函數(shù)v變?yōu)樵瘮?shù)v，相乘后再求積分。利用分部積分法的技巧：上述過程的難點在于對v求積分，以及對uv求積分。因此，要將被積函數(shù)拆成適當?shù)膬刹糠?，使得這兩個積分求解起來都比較容易。三、簡單的常微分方程（分離變量法）

5、*例5：放射性元素衰變問題 設鈾的衰變速度與未衰變的原子數(shù)目M成正比已知t=0時未衰變的鈾的含量為M0，求M隨時間變化的函數(shù)。解：變量為M和t，分離變量得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C：帶入后消去C可得：*例6：電容器充放電問題 電容為C的電容經過充電后，兩端電壓為U0。從t=0時刻開始串聯(lián)上電阻R進行放電。求電壓U隨時間t的變化函數(shù)。解：聯(lián)立上面兩式可得：分離變量可得：兩邊分別求不定積分：根據(jù)初始狀態(tài)求出積分常數(shù)C0：帶入后消去C0可得：可以看到，RC的值與電容器放電的快慢有關，因此RC也叫做RC電路的時間常數(shù)。類似的，RL電路中，時間常數(shù)為L/R。此外，求解簡諧運動和電磁振蕩問題時也需要求解微分方程，不過采用的方法是試探解法。*四、泰勒展開將一個函數(shù)寫成多項式的形式各項分別為零階小量、一階小量、二階小量常用于近似處理和對小量的討論。理解公式前兩項的幾何意義。公式最后一項表示剩下所有的項，相對于都是小量。常見