小專題橢圓----斜率之積是定值

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓一個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用 性質(zhì) 如圖1，橢圓上任意一點(diǎn)與過(guò)中心的弦的兩端點(diǎn)、連線、與坐標(biāo)軸不平行，則直線、的斜率之積為定值證明 設(shè)，則圖1所以 由得， 所以，所以為定值這條性質(zhì)是圓的性質(zhì)：圓上一點(diǎn)對(duì)直徑所張成的角為直角在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，因而能簡(jiǎn)潔解決問(wèn)題，下舉例說(shuō)明一、證明直線垂直例1 如圖2，已知橢圓，是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連結(jié)交橢圓于點(diǎn)求證：圖2證明 設(shè)，由性質(zhì)知，即 直線，的斜率分別為 ，所以 將代入得，所以例2 如圖3，PQ是橢圓不過(guò)中心的弦，A1、A2為長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，A1P與Q A2相交于M，P A2與A1Q相交于點(diǎn)N，則MNA1A2

2、圖3證明 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）由性質(zhì)知，即，所以 ， 即，所以 比較與得，所以，所以所以MNx軸，即MNA1A2二、證明直線定向xyAOBCDMN圖4例3 如圖4，已知A(2，1)，B(2，1)是橢圓E：1上的兩點(diǎn)，C，D是橢圓E上異于A，B的兩點(diǎn)，且直線AC，BD相交于點(diǎn)M，直線AD，BC相交于點(diǎn)NCA，CB，DA，DB的斜率都存在 求證：直線MN的斜率為定值證明 設(shè)，由性質(zhì)知，即， ，即 所以， ， 由得所以，即直線MN的斜率為定值三、證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值例4 如圖5，已知橢圓C：1，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準(zhǔn)線l于M，N兩點(diǎn)記M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM，yN，求證：yMyN為定值圖5證明 當(dāng)直線AB的斜率k不存在時(shí)，易得yMyN9.當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí)，由性質(zhì)知kPAk，所以kPA.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P(x2，y2)，所以直線PA的方程為yy2(xx2)，因?yàn)橛覝?zhǔn)線l的方程為，所以yM(x24)y2，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以直線AB的斜率k.所以yMy2.因?yàn)橹本€PB的方程為yx，所以yN.所以yMyN3.又因?yàn)?，所以4y123x，所以yMyN39，所以yMyN為定值9.由以上幾個(gè)例題，同學(xué)們會(huì)看到，這個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題中起到