導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo) 數(shù) 的 應(yīng) 用-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性； 2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；引言：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具例如：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最大（?。┲?、求函數(shù)的值域等等然而，不等式是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.尤其是在解答題中對(duì)其的考查，更是學(xué)生感到比較棘手的一個(gè)題.因而在解決一些不等式問(wèn)題時(shí)，如能根據(jù)不等式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明或判斷該函數(shù)的單調(diào)性, 出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題然后用函數(shù)單調(diào)性去解決不等式的一些相關(guān)問(wèn)題，可使問(wèn)

2、題迎刃而解. 因此，很多時(shí)侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問(wèn)題 下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)的作用三、例題分析1、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式例1：當(dāng)x>0時(shí),求證：xln(1+x) .證明：設(shè)f(x)= xln(1+x) (x>0), 則f(x)=x>0,f(x)<0,故f(x)在（0，+）上遞減，所以x>0時(shí),f(x)<f(0)=0，即xln(1+x)<0成立小結(jié)：把不等式變形后構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的隨堂練習(xí)：課本P32：B組第一題第3小題2、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題（

3、掌握恒成立與最值的轉(zhuǎn)化技巧；構(gòu)造函數(shù)證明不等式）例已知函數(shù)(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x0時(shí),f(x)>1+x解：(1)f(x) aex，（）在上為增函數(shù)，f(x)對(duì)恒成立，即-對(duì)恒成立記（）-，則()-=(1-x)e-x，當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，（）知（）在(-,1)上為增函數(shù),在(1,+ )上為減函數(shù), g(x)在x=1時(shí),取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e,即a的取值范圍是1/e, + ) (2)記F(X)=f(x) (1+x) =則F(x)=ex-1-x,令h(x)= F(x)=ex-1-x,則h(x)=ex-1當(dāng)x&g

4、t;0時(shí), h(x)>0, h(x)在(0,+ )上為增函數(shù),又h(x)在x=0處連續(xù), h(x)>h(0)=0即F(x)>0 ,F(x) 在(0,+ )上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x小結(jié)：當(dāng)函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），從而把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問(wèn)題的一種重要方

5、法例3（全國(guó)）已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的最大值；(2) 設(shè),證明 ：.分析：對(duì)于（II）絕大部分的學(xué)生都會(huì)望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過(guò)渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下：證明：對(duì)求導(dǎo),則.在中以b為主變?cè)獦?gòu)造函數(shù),設(shè),則.當(dāng)時(shí)，,因此在內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)時(shí),因此在上為增函數(shù).從而當(dāng)時(shí), 有極小值.因?yàn)樗?即又設(shè).則.當(dāng)時(shí),.因此在上為減函數(shù).因?yàn)樗?即.綜上結(jié)論得證。對(duì)于看起來(lái)無(wú)法下手的一個(gè)不

6、等式證明，對(duì)其巧妙地構(gòu)造函數(shù)后，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究了它的單調(diào)性后，通過(guò)利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)單解決.四、課堂小結(jié)1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問(wèn)題,關(guān)鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，達(dá)到證明不等式的目的；2、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)特別注意區(qū)間端點(diǎn)是否取得到；3、學(xué)會(huì)觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)變主元構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式； 總之，無(wú)論是證明不等式，還是解不等式，我們都可以構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，借助導(dǎo)數(shù)工具來(lái)解決，這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn) 五、思維拓展（2008聯(lián)考）已知函數(shù)，；