高三文科數(shù)學(xué)學(xué)案解三角形教師版

1、二輪復(fù)習(xí)專題：解三角形（一）一、考綱要求：1. 掌握正、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2. 能夠運用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.二、必備知識:1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C變形：cos A，cos B，cos C.3.射影定理（源自人教版必修51.2應(yīng)用舉例課后練習(xí)）：中，4.三角形中常見的結(jié)論：(1)ABC.(

2、2)在三角形中大邊對大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos；cossin.(5)在ABC中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C.(6)在ABC中，A，B，C成等差數(shù)列的充要條件是B60° .(7)ABC為正三角形的充要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列5.三角形中常用的面積公式：(1)Sah(h表示邊a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(ab

3、c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)3、 考點分類解析：例1.(2014·遼寧高考)在ABC 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c .已知·2，cos B，b3，求：（）a和c的值；()cos(BC)的值解：(1)由·2得c·acos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292×213.解得或因為a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因ab>c，所以C是銳角，因此cos C .于是cos(BC)c

4、os Bcos Csin Bsin C××.類題通法正、余弦定理的應(yīng)用原則：(1)正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題時要學(xué)會靈活運用；(2)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用演練沖關(guān)1 (2014·湖北高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，a1，b，則B _或2.(2017年新課標(biāo)卷文16) 的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 3.(2017年新課標(biāo)卷文11)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，a=2，c=，則C=（ B ）ABCD4.（2013遼寧）在ABC

5、，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且ab，則B=（A）ABCD例2.(2013·陜西高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為(B)A.銳角三角形B直角三角形 C.銳角三角形 D不確定變式1本例的條件變?yōu)椋喝?sin A cos Bsin C，那么ABC一定是(B)A直角三角形B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解：選B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因為<AB<，所以AB，選B.法二：由正弦定理得

6、2acos Bc，再由余弦定理得2a·ca2b2ab.變式2本例的條件變?yōu)椋喝鬭cos Abcos B，那么ABC一定是(D)A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析：選D由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B，因為2A,2B(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.選D.變式3本例的條件變?yōu)椋喝?asin A(2bc)sin B(2cb)sin C且sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀解：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cos A，sin A，則sin2Asin2

7、Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin B sin C，所以sin Bsin C.因為0<B<，0<C<，故BC，所以ABC是等腰鈍角三角形類題通法判定三角形形狀的兩種常用途徑:(1)通過正、余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷注意在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響.例3.(2014·山東高考)ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b

8、，c.已知 a3，cos A，BA.()求b 的值；()求ABC 的面積解：(1)在ABC中，由題意知sin A，又因為BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理可得b3.(2)由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.因此ABC的面積Sabsin C×3×3×.類題通法三角形面積公式的應(yīng)用原則：(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或

9、余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化演練沖關(guān)1.已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.解：(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得，sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.(2015·昆明調(diào)研)已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A，b2acos B，c1，則ABC的面積等于(B)A.B. C. D.解析：選B由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，則ABC是正三角形，所以SABCbcsin