小升初奧數(shù)—排列組合問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小升初奧數(shù)排列組合問題一、 排列組合的應(yīng)用【例 1】 小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排； （2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥?（1）（種）。（2）只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個(gè)位置2×=1440

2、(種)（4）先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置 (種)（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩下的5個(gè)人，（種）.（6）七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可4×3××2=2880(種)排隊(duì)問題，一般先考慮特殊情況再去全排列?！纠?2】 某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四

3、個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【解析】 四個(gè)非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成(個(gè))不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜至少要試次【例 3

4、】 一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)?【解析】 設(shè)A:BC是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有×=1260種選法。從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260個(gè)。【例 4】 名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲，

5、個(gè)位置除了中間和兩端之外的個(gè)位置都可以，有種選擇，剩下的個(gè)人隨意排，也就是個(gè)元素全排列的問題，有(種)選擇由乘法原理，共有(種)排法 甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個(gè)人隨意排，有(種)排法由乘法原理，共有(種)排法 分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有(種)不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是個(gè)元素與個(gè)元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法由乘法原理，共有(種)排法 先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個(gè)空檔中，有(種)排法由乘法原理，一共有(種)排法。【例 5】 一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目求： 當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要

6、求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將個(gè)舞蹈節(jié)目看成個(gè)節(jié)目，與個(gè)演唱節(jié)目一起排，則是個(gè)元素全排列的問題，有 (種)方法第二步再排個(gè)舞蹈節(jié)目，也就是個(gè)舞蹈節(jié) 目全排列的問題，有(種)方法根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法 首先將個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，是個(gè)元素全排列的問題，一共有(種)方法×××××××第二步，再將個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個(gè)演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當(dāng)于從個(gè)“×”中選個(gè)來排，一共有(種)方法根據(jù)乘法原理，一共有(種)方

7、法?！纠?6】 從1，2，8中任取3個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字（8個(gè)元素）取出3個(gè)往上排，有種3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人（8個(gè)元素）任取3位往上排，有種3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)（8個(gè)元素）中的3

8、個(gè)往上排（座號(hào)找人），每確定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有種3個(gè)坐位排號(hào)1，2，3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排（人找座位），有種3列火車編為1，2，3號(hào)，從8股車道中任取3股往上排，共有種土地編1，2，3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有種?！纠?7】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場(chǎng)半決賽和場(chǎng)決賽，確定至名的名次問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【解析】 第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的個(gè)人每

9、人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部人中每人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)小組，有場(chǎng)；第三階段賽場(chǎng)根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有場(chǎng)比賽?！纠?8】 8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須

10、相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）?！纠?9】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐船若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法故人都不乘坐船有種安全方法；若這人中有人

11、乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法所以，共有種安全乘法【例 10】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥?恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種；要求至少兩名女生人選，那么

12、“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；從所有的選法種中減去這個(gè)人同時(shí)入選的種：分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。【例 11】 在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類： 兩人都不選派，有(種)選派方法； 兩人中選派人，有種選法而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需人

13、安裝電腦，有(種)選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法由乘法原理，有(種)選法根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法 兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類討論如下：兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)【例 12】 有1

14、1名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作問這樣的分配名單共可以開出多少?gòu)?？【解析?針對(duì)兩名英語、日語都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類： 多面手不參加，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英

15、語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中再選出名，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇 多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：兩人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個(gè)語種情況中，還需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇需從名日語翻譯員中選人，種選擇由乘法原理，有種選擇情況中，需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇還需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇根據(jù)乘法原理，共有種選擇情況中，兩人各譯一個(gè)語種，有兩種安排即兩種選擇剩下的需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一

16、共有種選擇綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張二、 幾何計(jì)數(shù)【例 13】 下圖中共有_個(gè)正方形?！窘馕觥?每個(gè)正方形中有：邊長(zhǎng)為1的正方形有個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形有個(gè)； 邊長(zhǎng)為3的正方形有個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形有個(gè)；總共有(個(gè))正方形現(xiàn)有5個(gè)的正方形，它們重疊部分是4個(gè)的正方形因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是?！纠?14】 在圖中(單位：厘米)： 一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形? 所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少?【解析】 一共有(個(gè))長(zhǎng)方形；所求的和是 (平方厘米)?！纠?15】 由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長(zhǎng)方形(含正方形)共有 個(gè)，它們的面積總和是 。 (第六屆

17、走美決賽試題)【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(八種) 含的一列內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(六種)所以總共長(zhǎng)方形有個(gè)，面積總和為?！眷柟獭?圖中共有多少個(gè)三角形？【解析】 顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類L（1）最大的三角形1個(gè)(即ABC)，（2）第二大的三角形有3個(gè)（3）第三大的三角形有6個(gè)（4）第四大的三角形有10個(gè)（5）第五大的三角形有15個(gè)（6）最小的三角形有24個(gè)所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（個(gè)）圖中共有三角形2×59=118（個(gè)）?！纠?16】 一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，A11

18、，A12以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交問共有多少種不同的連法?【解析】 我們采用遞推的方法 I如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法 如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A1點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A1所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法。 如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1所在的三角形此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在： A1所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上； 也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上 在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧 如果是情形，則由，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法； 如果是情形，則由，每三個(gè)點(diǎn)

19、都只能有一種連法 共有12種連法 最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)同樣考慮A1所在三角形，剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能： 9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上： 有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上； 每三個(gè)點(diǎn)在A1所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上得到表3共有12×3+3×6+155種所以當(dāng)圓周上有12個(gè)點(diǎn)時(shí)，滿足題意的連法有55種。課后練習(xí)：練習(xí)1. 如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長(zhǎng)度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，以及所有長(zhǎng)方形面積的和?！窘馕觥?利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖

20、中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè)，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，這些長(zhǎng)方形的面積和為：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664。練習(xí)2. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=9+1；當(dāng)枚舉到3天吃完的時(shí)，情況就有點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜了，叫人無所適從所以我們必須換一種角度來思考不妨從具體的例子入

21、手來分析，比如這10塊糖分4天吃完： 第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊我們可以將10個(gè)“”代表10粒糖，把10個(gè)“”排成一排，“”之間共有9個(gè)空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線(如下圖)| 比如上圖就表示“第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊” 這樣一來，每一種吃糖的方法就對(duì)應(yīng)著一種“在9個(gè)空位中插入若干個(gè)|的方法”，要求有多少個(gè)不同的吃法，就是要求在這9個(gè)空位中插入若干個(gè)“|”的方法數(shù)。由于每個(gè)空位都有畫|與“不畫|兩種可能：每個(gè)空位都有畫“|”與不畫“|”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這9個(gè)空位中畫若干個(gè)“|”的方法數(shù)有：，這也就說明吃完10顆糖共有512種不同的吃法。練習(xí)3. 用3根等長(zhǎng)的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等邊三角形.如果這個(gè)大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴?【解析】 把大的等邊三角形分為“20”層分別計(jì)