浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)習(xí)題詳解

1、1 設(shè)存在,求.分析 在導(dǎo)數(shù)存在的條件下,將所求的極限化為導(dǎo)數(shù)定義的形式即可.解.2 設(shè)在處連續(xù),且,求.分析 本題只能用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求,并且利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).解 為此,先求出.3 設(shè),求.請(qǐng)指出下面解題中的錯(cuò)誤,并寫(xiě)出正確的解法.分析 本題是要考查對(duì)的定義的理解.解 ,上面的解法是把錯(cuò)誤理解為,實(shí)際上,應(yīng)該是導(dǎo)函數(shù)在的值.正確的解法是:,.4 單項(xiàng)選擇題: 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo),而在點(diǎn)處不可導(dǎo),則在點(diǎn)處( ).(A)必不可導(dǎo),而未必不可導(dǎo)；(B)和都可導(dǎo)；(C)可導(dǎo),且不可導(dǎo)；(D)與都不可導(dǎo).分析 本題是要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則解 因?yàn)?如果可導(dǎo),則由上式可推出可導(dǎo),與已知矛盾.所以必不可導(dǎo),又如果

2、在可導(dǎo),在不可導(dǎo),而在也可導(dǎo).故未必不可導(dǎo).所以答案為(A).5 單項(xiàng)選擇題: 如果存在時(shí),.(A)；(B)；(C)；(D).分析 可以用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)考慮.解 因?yàn)?.所以答案為(B).6 設(shè),用幾種不同的方法求.分析 可以用幾種不同的求導(dǎo)法則來(lái)進(jìn)行比較,以后可以選擇一種好的方法.解法一 用商的求導(dǎo)法則.解法二 用乘積的求導(dǎo)法則.解法三 先化簡(jiǎn)再用和的求導(dǎo)法則.觀察上述三種方法可知方法三最簡(jiǎn)單.7 用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)；(2).分析 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則看起來(lái)不難,但實(shí)際上很容易犯錯(cuò)誤,必須注意乘上中間變量的導(dǎo)數(shù).解 (1) . (2) .8 設(shè),求.分析 本題是冪指

3、函數(shù),用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.解 由兩邊求對(duì)數(shù),得到:，再兩邊對(duì)求導(dǎo),得到，9 設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求它的導(dǎo)數(shù)分析 由于本題是多個(gè)因式作乘除,因此可以采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.解 當(dāng)時(shí),由兩邊求對(duì)數(shù),得到:,再兩邊對(duì)求導(dǎo),得到.所以 .如果此題求的不是,而是求,則可以用下例的方法比較簡(jiǎn)便.10 設(shè)函數(shù),求它的導(dǎo)數(shù).分析 由于,且含有的因子,所以可以采用定義的方法.解 .由此可以看出,求導(dǎo)的方法可以多種多樣,應(yīng)該根據(jù)具體的題目,選擇一種比較簡(jiǎn)便的方法.11 設(shè)處處可導(dǎo)，求的值.分析 本題是分段函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,只需考慮分界點(diǎn)的連續(xù)性及可導(dǎo)性.解 由于在處,顯然是可導(dǎo)的,所以只需考慮在處的可導(dǎo)性.因?yàn)樵谔庍B續(xù)，.又,，而在處

4、可導(dǎo)，于是.12 單項(xiàng)選擇題: 設(shè),則在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是( ).(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D存在.分析 注意:由于本題并沒(méi)有在點(diǎn)處可導(dǎo)作為已知條件,所以在考慮充分條件時(shí)應(yīng)該特別注意.解 (A)由于, (1)如果在點(diǎn)可導(dǎo),說(shuō)明存在,因?yàn)?所以存在.如果存在,因?yàn)?所以,由(1)式可知存在,因?yàn)?即只能表示在點(diǎn)的右導(dǎo)存在,并不能說(shuō)明在點(diǎn)可導(dǎo).因此,在點(diǎn)可導(dǎo)只是存在的充分條件.(B)由于, (2)如果在點(diǎn)可導(dǎo),說(shuō)明存在,因?yàn)?由(2)式可知,所以存在.如果存在,因?yàn)?所以存在,所以在點(diǎn)可導(dǎo).因此,在點(diǎn)可導(dǎo)是存在的充分必要條件.(C)用同樣的方法可以說(shuō)明在點(diǎn)可導(dǎo)是存在的充分條件,而不

5、是必要條件.(D)同樣,在點(diǎn)可導(dǎo)只是存在的充分條件而不是必要條件.綜上所述,本題的答案是(B).13 設(shè)，求.分析 這是一個(gè)分段函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,當(dāng)不是分界點(diǎn)時(shí),采用公式求導(dǎo). 當(dāng)是分界點(diǎn)時(shí),往往采用定義的方法或采用求左、右導(dǎo)的方法.解 當(dāng)時(shí),.又,因此, .14 函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）.(A) 3 (B)2 (C)1 (D) 0分析 本題技巧性較強(qiáng),關(guān)鍵是,由導(dǎo)數(shù)定義可知,在點(diǎn)不可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo).故對(duì)進(jìn)行因式分解,并考察使的點(diǎn).解，故在不可導(dǎo).在可導(dǎo),所以,函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩個(gè).答案是(B).注:本題如果用定義來(lái)求的話,雖然也可以得到正確的結(jié)果,但太麻煩.15 設(shè)可導(dǎo),.問(wèn)在的可導(dǎo)

6、性如何?分析 本題只需要用定義來(lái)分析.解.所以, 在點(diǎn)可導(dǎo).16 設(shè),其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求.分析 抽象函數(shù)的求導(dǎo)往往采用定義求導(dǎo).解一階可導(dǎo),從而連續(xù).,得到.而以下的方法是錯(cuò)誤的:.故 .上述方法錯(cuò)誤的原因是:并不知道是否二階可導(dǎo),而這種錯(cuò)誤,初學(xué)的同學(xué)是經(jīng)常犯的.17 已知曲線與在原點(diǎn)相切,求分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的定義.解 因?yàn)榍€與在原點(diǎn)相切,所以它們的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)相同,從而推出,又 故.18 單項(xiàng)選擇題: 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,且，則在處( ).（A）極限不存在.（B）極限存在但不連續(xù).（C）連續(xù)但不可導(dǎo).（D）可導(dǎo).分析 本題主要是從連續(xù)及可導(dǎo)的定義來(lái)考慮解，令

7、，得，即，又 ，所以，可導(dǎo).答案為(D).19 單項(xiàng)選擇題: 設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處( ).（A）極限不存在. （B）極限存在但不連續(xù).（C）連續(xù)但不可導(dǎo). （D）可導(dǎo).分析 本題主要是分析分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性及可導(dǎo)性.解 先考慮在處的連續(xù)性.因?yàn)樗栽谔庍B續(xù).又 ，故 ，可導(dǎo).答案為(D).20 設(shè)在時(shí)有定義,且有二階導(dǎo)數(shù),試確定常數(shù),使函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù).分析 要使在處有二階導(dǎo)數(shù),則應(yīng)滿足如下條件:(1)在處連續(xù)；(2)在處的左、右導(dǎo)存在并且相等；(3)在處的左、右二階導(dǎo)存在并且相等.下面分別討論.解 (1), ,.因?yàn)樵谔庍B續(xù),得到.(2).因?yàn)樵谔幍淖?、右?dǎo)存在并且相等,得到.

8、(3).因?yàn)樵谔幍淖?、右二階導(dǎo)存在并且相等,所以.綜上所述,當(dāng),時(shí),在處有二階導(dǎo)數(shù).21 已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，且在的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義,無(wú)窮小量的概念,關(guān)鍵是要求出及.解 由，得；又 另一方面，令，有.，由于的周期為5，故， 所求切線方程為 .22 單項(xiàng)選擇題: 設(shè)，則在處可求導(dǎo)的最高階數(shù)為( ).(A)0 （B）1 （C）2 （D）3分析 本題只要考慮的階可導(dǎo)性,因?yàn)榈娜魏坞A導(dǎo)數(shù)都存在.為此,用分段函數(shù)來(lái)考慮在處的階可導(dǎo)性.解 令,則分段考慮函數(shù)的可導(dǎo)性.得到,(注意:求分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí),先考慮連續(xù)性,

9、然后用公式求出左、右導(dǎo)數(shù).再判別左、右導(dǎo)數(shù)是否相等.)由于在處的左、右導(dǎo)數(shù)分別為6和-6，故不可導(dǎo)，故在處可求導(dǎo)的最高階數(shù)為2階.答案為(C).23 設(shè)，求.分析 此題可以先將表達(dá)式化簡(jiǎn),然后求導(dǎo).如果直接求導(dǎo)就比較麻煩.解 先化簡(jiǎn)，所以 .24 設(shè)，求.分析 本題若直接計(jì)算,不僅麻煩,而且看不出規(guī)律來(lái),為此我們可以先將表達(dá)式化為最簡(jiǎn)分式,然后用階的求導(dǎo)公式.解 先化簡(jiǎn)，因?yàn)?，.25 設(shè)，求,.分析 對(duì)于求乘積的階導(dǎo)數(shù),當(dāng)其中一項(xiàng)求若干階導(dǎo)數(shù)后為零時(shí),可以用公式.解 由于的三階導(dǎo)數(shù)為零,所以我們用公式:.及 ，得所以 26 求在點(diǎn)的階導(dǎo)數(shù).分析 本題的階導(dǎo)數(shù)沒(méi)有現(xiàn)成的公式,但是我們要求的是.

10、因此,我們采用一定的技巧來(lái)解決.解 由于,從而.兩邊對(duì)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí),.從而有.對(duì)上式求階導(dǎo)數(shù),并利用公式得到:.用代入得到:,即有.因?yàn)?.所以,.27 設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求.分析 本題用隱函數(shù)求導(dǎo)解 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)， (1)用代入原方程,得到，代入(1)式，(1)式兩邊再對(duì)求導(dǎo)：，用,，代入得:.28 求過(guò)點(diǎn)且與曲線上一點(diǎn)的切線相垂直的直線方程.分析 本題用隱函數(shù)求導(dǎo),并且要知道切線的斜率.解 兩邊關(guān)于求導(dǎo)，切線斜率，故所求直線方程為：.29 已知函數(shù)的參數(shù)形式為:，求，.分析 本題用參數(shù)方程求導(dǎo)解，.30 設(shè)函數(shù)由方程確定，求.分析 本題用參數(shù)方程及隱函數(shù)求導(dǎo)的方法解，對(duì)方程兩邊關(guān)

11、于求導(dǎo)：，所以 31 設(shè),滿足,且二階可導(dǎo),求.分析 本題是抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)以及隱函數(shù)的混合求導(dǎo)問(wèn)題,比較復(fù)雜,需要概念特別清楚.解,上式兩邊再對(duì)求導(dǎo),得到(1)方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得到(2)(2)式兩邊再對(duì)求導(dǎo),得到(3)由(2)式可得(4)將(4)式代入(3)式得到(5)將(4)式和(5)式代入(1)式得到32 設(shè)一圓錐形容器,底面朝上,它的頂角為,現(xiàn)均勻地以每秒的流量注入水,當(dāng)水深時(shí),求:水面上升的變化率；(2)水面半徑的變化率.分析 本題是關(guān)于相關(guān)變化率的應(yīng)用問(wèn)題.應(yīng)該先分別建立體積與水面高度以及與水面半徑的關(guān)系,然后在等式兩邊 H R對(duì)求導(dǎo).解 作草圖如上圖:(1)因?yàn)轫斀?所以水深與水面半徑的關(guān)系為,體積,即得到.將其兩邊對(duì)求導(dǎo): .當(dāng)時(shí), ,代入上式得到:(2)由(1)可知,將其兩邊對(duì)求導(dǎo)得到:.當(dāng)時(shí), ,代入上式得到:.所以當(dāng)水深為時(shí),(1)水面上升的變化率為；(2)水面半徑的變化率為.33 設(shè),試計(jì)算在處當(dāng)時(shí)的函數(shù)的增量以及函數(shù)的微分.分析 本題是利用定義來(lái)求增量及微分.解,故 .而 .34 單項(xiàng)選擇題: 如果對(duì)于函數(shù)有.則當(dāng)時(shí),在點(diǎn)處的微分是( ).(A)與等價(jià)無(wú)窮小.(B)與同階無(wú)窮小,但不是等價(jià)無(wú)窮小.(C)比高價(jià)無(wú)