曲線曲面積分單元練習(xí)題答案

1、曲線積分與曲面積分單元練習(xí)題一、 填空題：1設(shè)L為上點(diǎn)到的上半弧段，則= ；2= ，其中是曲線介于到一段；3L為逆時(shí)針?lè)较虻膱A周:,則；4設(shè)C是由軸、軸與直線圍成的區(qū)域的正向邊界，則；5 第一類曲面積分=；6 設(shè)曲面為：，則；7設(shè)：則=； 8格林(Green)公式指出了下列兩類積分：_平面上第二類曲線積分和二重積分之間關(guān)系。高斯(Gauss)公式指出了下列兩類積分：空間上的第二類曲面積分與三重積分_之間關(guān)系。 二、計(jì)算題：1計(jì)算，其中是拋物線上自點(diǎn)（0，0）到（1，1）的一段弧。解 。2計(jì)算，其中為從（0，0）到（2，0）的上半圓?。?。解 3已知平面曲線弧段是圓 上從點(diǎn) 到的有向弧段，試計(jì)算解

2、 4計(jì)算,其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線.解法一：由于，所以積分與路徑無(wú)關(guān)。 = 解法二：根據(jù)第二類曲線積分計(jì)算。5利用格林公式計(jì)算，其中是圓周（按逆時(shí)針?lè)较颍?解：所圍區(qū)域：,由格林公式，可得= =.6利用格林公式計(jì)算，其中是圓周 上從點(diǎn)到的上半圓有向弧段.解 令，令 由格林公式知 其中.又， 所以 7，其中為從點(diǎn)沿拋物線到原點(diǎn)，再沿直線到點(diǎn)。解 。原式 8下列計(jì)算是否正確，若正確，請(qǐng)給出理由，若不正確，請(qǐng)改正錯(cuò)誤，并給出正確計(jì)算結(jié)果。計(jì)算曲線積分，其中L為從A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲線，AC為直線：，CB為直線：，計(jì)算過(guò)程為：因?yàn)?，所以積分與路徑無(wú)關(guān)，從而=0(其中為直線段

3、：)。不正確，因?yàn)?,要求，所以這樣做是錯(cuò)誤的。設(shè)是從A到C'，再到B的半橢圓周：，則=。9計(jì)算積分，其中是上半球面。解 =10 求其中是界于平面之間的圓柱面.解 柱面按對(duì)稱面劃分為兩塊，方程分別為 它們?cè)诿嫔系耐队熬鶠?，且都?于是 = 11計(jì)算,其中是圓錐面的一部分, ,的下側(cè)外表面.解 ， 令 12求曲面積分，其中為錐面的外側(cè).解 由于在面上的投影區(qū)域 ，又取下側(cè)，故由投影法得=注意到關(guān)于軸對(duì)稱，故上式第一項(xiàng)與第二項(xiàng)在上的二重積分為0，于是 = 13 計(jì)算曲面積分其中為柱面及平面，所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。解 由于 利用高斯公式把所給曲面積分化為三重積分，再利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分： 14計(jì)算積分其中的下側(cè)。解 設(shè)的上側(cè),則=(高斯公式), 而 =0, 所以, I=015計(jì)算，其中為曲面被平面所截下的下面部