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1、橢圓的定值問題齊志華 （遼寧省本溪市機電工程學校 117022）【摘要】在長期的教學中，筆者經常會遇到或想到圓錐曲線的一些定值問題，學生們也需要教師給予解答和總結，筆者精選了橢圓9個定值問題，供師生們參考。 【關鍵詞】橢圓；定值；斜率。1. 橢圓上的一點到兩焦點的距離等于長軸的長。（橢圓的定義可得）2. 橢圓上的一點與兩焦點為三角形的頂點所圍成的三角形的周長等于長軸的長與焦距的長的和。（由1易得）3. 過橢圓焦點的直線與橢圓的交點與另一焦點為三角形的頂點所圍成的三角形的周長為長軸的2倍。（由1易得）4. 橢圓上的一點（除長軸的端點）到兩焦點的連線斜率的積是定值。證明：設分別為橢圓上的點和兩焦點

2、，則，又。所以=。5. 橢圓（上的點（除、）與長軸的端點、的連線、的斜率的積為證明：設P(,(-,0),(,0),有，得則=6. 若為橢圓（的任意一條不平行坐標軸且不過橢圓中心的弦，為的中點，則直線與的斜率之積為。證明:設，則。所以，又，兩式相減，得，所以，即。7. 過橢圓（焦點F的直線(不是長軸)交橢圓于P、Q,與焦點對應的頂點A和點P、Q的連線的斜率、滿足：·=。（其中為離心率）。證明：不妨設右焦點F(0),右頂點A(0),直線P、Q的斜率為。（I）當不存在時，可得點P、Q的坐標分別是（），于是·=，（其中=為離心率）。（II）當存在時，方程組 （1）代人（2）整理得（設P（）、Q（，則，,所以=+=所以·=8.過橢圓（的右焦點F的直線交橢圓于A、B,交軸于M點，若，則。證明：（I）當與軸重合時，不妨設A(-,0),B(,0),則F(,M(0,0). 由，得,.所以=（II）當與軸不重合時，設M(,0),聯立方程(2)代入（1）整理得則，。由，得，。=。9在中心為O的橢圓上任取兩點P、Q，使，則證明：設直線的斜率為（I）當存在時，且設P（）、Q（，則的方程分別為：，由方程組得，同理；，所以。（II）當不存在時，。（III）當時。所以成立?！緟⒖嘉墨I】1李遠敬。拋物線的定值問題，數學學習與研究， 20

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