極值存在定理

1、極小點(diǎn)的判定條件 （一） 內(nèi)點(diǎn)為極小值點(diǎn)的判定條件（求，）一、一般條件定理1（一階必要條件）設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的內(nèi)點(diǎn)，若是的局部極小點(diǎn)，則定理2（二階必要條件）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若是的內(nèi)點(diǎn)且為的局部極小點(diǎn)，則是半正定的。 定理3（二階充分條件）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為的內(nèi)點(diǎn)，且，若正定，則為的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。定理4（二階充分條件）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，若存在的鄰域使對，都有半正定，則為的局部極小點(diǎn)。二、凸規(guī)劃極值判定條件凸規(guī)劃問題：非空凸集上的凸函數(shù)的極小化問題。定理5 設(shè)為凸集上的凸函數(shù)，則（1）的任一局部極小點(diǎn)為全局極小點(diǎn)；（2）若可微，且存在，使，則為在上的全局極小點(diǎn)；（3

2、）若為嚴(yán)格凸函數(shù)，且全局極小點(diǎn)存在，則必唯一。定理6 考慮如下特殊的凸規(guī)劃問題：正定二次函數(shù)，則為唯一的全局極小點(diǎn)。（二） 邊界點(diǎn)為極小值點(diǎn)的判定條件 考慮一般的非線性規(guī)劃(NP)： （1）一、一般條件定理1（KT條件）（或一階必要條件）：設(shè)是（NP）的局部極小點(diǎn)，在點(diǎn)處可微，且點(diǎn)處的全部起作用約束的梯度線性無關(guān)（即是正則點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)，使下述條件成立 （*）二、凸規(guī)劃極值判定條件考慮凸規(guī)劃問題： s.t. （2）其中，是可微凸函數(shù)，是可微凹函數(shù)，是線性函數(shù)。定理2（凸規(guī)劃的極值）：若是凸規(guī)劃（2）的KT點(diǎn)，則為全局極小點(diǎn)。注：線性函數(shù)既可視為凸函數(shù)，又可視為凹函數(shù)。三、等式約束極值判定條件

3、 （3）定理3：（一階必要條件）假設(shè)（1）為等式約束(3)的局部極小點(diǎn)；（2）在的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微；（3）線性無關(guān)。則存在使得 （*）定理4（二階充分條件）假設(shè)（1）是二階連續(xù)可微函數(shù)；（2）存在與使得式（*）成立；（3）關(guān)于的海色矩陣在切子空間上正定。則點(diǎn)是問題(3)的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。四、線性約束的（NP）問題極值判定條件考慮如下線性約束的（NP）問題 （4）定理5：在約束問題（4）中，假設(shè)i）是容許點(diǎn)；ii），使得，； iii）和的行向量線性無關(guān)（即起作用約束的梯度線性無關(guān)）；iv）是如下線性規(guī)劃的最優(yōu)解：s.t. （*）其中，。則點(diǎn)為KT點(diǎn)的充要條件是。五、幾何最優(yōu)性條件考慮不等式約束問

4、題 （5）定理6（幾何最優(yōu)性條件）：設(shè)是問題（2）的一個局部極小點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)在處可微，且1°（）在處可微；2°（）在處連續(xù)。則在處不存在容許下降方向，即不存在方向滿足 （*）六、線性規(guī)劃問題的極值條件最優(yōu)性檢驗(yàn)判別數(shù)：用非基變量表示的目標(biāo)函數(shù)式中，各非基變量的負(fù)系數(shù)，即稱為各非基變量的判別數(shù)。1º最優(yōu)解判別定理：若在極小化問題中，對于某個基本容許解，所有判別數(shù)，且人工變量為0，則該基本容許解是最優(yōu)解。2º無窮多最優(yōu)解判別定理：若在極小化問題中，對于某個基本容許解，所有判別數(shù)，又存在某個非基變量的判別數(shù)為0，且人工變量為0，則該線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。3º無容許解判別定理：若在極小化問題中，對于某個基本容許解，所有判別數(shù)，但人工變量不為0，則該線性規(guī)劃問題無容許解。4º無有限最優(yōu)解判