旋轉(zhuǎn)全章復(fù)習(xí)與鞏固知識講解基礎(chǔ)

1、3.31旋轉(zhuǎn)全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 通過具體實例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、通過具體實例認(rèn)識中心對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點所連線段被對稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形；3、 能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用；4、探索圖形之間的變化關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、旋轉(zhuǎn)1. 旋轉(zhuǎn)的概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心

2、，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如AO A),如果圖形上的點A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cA，那么，這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點. 要點詮釋：旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì): (1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA= OA）；(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； (3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(ABC).要點詮釋：圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).3. 旋轉(zhuǎn)的作圖: 在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形要點詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；

3、(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；(4)連接所得到的各對應(yīng)點.要點二、特殊的旋轉(zhuǎn)中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點要點詮釋：（1）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同； （2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個圖形重合 (全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等

4、的) .2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.要點三、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)之間的對比平移軸對稱旋轉(zhuǎn)相同點都是全等變換（合同變換），即變換前后的圖形全等不同點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換把一個圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換圖形要素平移方向平移距離對稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共

5、線）且相等任意一對對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角對應(yīng)線段平行（或共線）且相等任意一對對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分*對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角， 即：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)1.數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心O旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學(xué)說：45°；乙同學(xué)說：60°；丙同學(xué)說：90°；丁同學(xué)說：135°. 以上四位同學(xué)的回答中，錯誤的是（ ）.A甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【

6、答案】B.【解析】因為圓被平分為8部分,所以旋轉(zhuǎn)45°,90°,135°均能與原圖形重合.【總結(jié)升華】同一圖形的旋轉(zhuǎn)角可以是多個.舉一反三：【變式】以圖1的邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折180°后，再按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，所得到圖形是（ ）.【答案】A.類型二、中心對稱2. 如圖，ABC是ABC旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，請確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角.【答案與解析】對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即OA=OA O點在AA的垂直平分線上 同理O點也在BB的垂直平分線上 兩條垂直平分線的交點O就是旋轉(zhuǎn)中心，AOA的度數(shù)就是旋轉(zhuǎn)角【總結(jié)升華】中心對稱的對應(yīng)點到對稱

7、中心的距離相等，所以對稱中心在對應(yīng)點的垂直平分線上. 舉一反三：【變式】下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）. A B C D【答案】A.類型三、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)3. 如圖，設(shè)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PB=3，PA=4，PC=5，求APB的度數(shù).【思路點撥】因為是等邊三角形ABC，所以有等線段，又因為已知的三邊的長度是3,4,5，是一組勾股數(shù)，所以應(yīng)該想到運用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形.【答案與解析】ABC為等邊三角形，AB=AC，BAC=60°.將PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到DAC，PABDAC PA=AD=4，PB=CD=3，APB=ADC在RtPCD

8、中，PC=5， . PDC=90° PA=AD，PAD=60°， PAD為等邊三角形 PDA=60° ADC=PDA+PDC=150°， APB=150°【總結(jié)升華】要將題目條件中的三條線段盡可能集中在一個三角形中，而且出現(xiàn)等腰（或等邊）三角形就可以利用旋轉(zhuǎn)思想來構(gòu)造全等三角形.舉一反三：【變式】 已知D是等邊ABC外一點,BDC=120º.求證：AD=BD+DC.【答案】ABC為等邊三角形，AB=AC，BAC=60°.將ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EAC，DABEAC,即ABD=ACE,四邊形ABCD中,B

9、DC=120º, BAC=60°,DBA+DCA=180°,即ACE+DCA=180°,點D,C,E三點共線.BD+DC=CE+DC=DE.又DBE=60°. ADE是等邊三角形, 即DE=AD. BD+DC=AD.4如圖，在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，AD=CD. 求證：BD2=AB2+BC2. 【思路點撥】利用AD=CD可以將BCD繞點D逆時針 旋轉(zhuǎn)60°，從而把條件集中到一個三角形中. 【答案與解析】證明：AD=CD，ADC=60°，BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EA

10、D，BDE=CDA=60°，BCDEADBC=AE， BD=DE，DAE=DCB,BDE為等邊三角形BE=BD在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，DCB+DAB=270°，即DAE+DAB=270°BAE=90°在RtBAE中，【總結(jié)升華】由求證可知應(yīng)該建立一個直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等線段，可以構(gòu)想通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)建直角三角形.5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上（1）如圖連結(jié)DF、BF，試問：當(dāng)正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)時，DF、BF的長

11、度是否始終相等？若相等請證明；若不相等請舉出反例.（2）若將正方形AEFG繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)DG，在旋轉(zhuǎn)過程中，能否找到一條線段的長度與線段DG的長度相等，并畫圖加以說明. 【答案與解析】(1)如圖， DF、BF的長度不是始終相等，當(dāng)點F旋轉(zhuǎn)到AB邊上時，DF>AD>BF.（2）線段BE=DG 如圖: 正方形ABCD和正方形AEFGAD=AB,AG=AE,1+2=2+3DAG=BAE ADGABE DG=BE【總結(jié)升華】利用旋轉(zhuǎn)圖形的不變性確定全等三角形.舉一反三：【變式】.如圖，把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形ABCD，則它們的公共部分

12、的面積等于_【答案】不妨設(shè)CD與BC交點為P，則兩個正方形關(guān)于AP所在的直線對稱，因此只需算出三角形ADP的面積即可. 又BAD=60°，所以DAP=30°，因此三角形ADP的面積可算， ，所以公共部分面積為6. 如圖，已知ABC為等腰直角三角形，BAC=900，E、F是BC邊上點且EAF=45°.求證：【思路點撥】通過求證可以猜測要證得直角三角形，所以可以考慮旋轉(zhuǎn).【答案與解析】 ABC為等腰直角三角形且BAC=90° AB=AC， 將CAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖，得到 ，, , 連結(jié)，則在中， , , 又 , . 又 , 在與中, .

13、 , 由得：.【總結(jié)升華】旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前，后的圖形全等.一、選擇題1將葉片圖案旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖形是( ).2.如圖，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到ABC,則等于（ ）.A.60° B.105° C.120°D.135°3. 如圖，如果一個四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與另一個正方形重合，那以該圖形所在的平面可以作旋轉(zhuǎn)中心的點有（ ）個A、1 B、2 C、3 D、4 第2題 第3題 第4題4如圖，矩形OABC的頂點O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為（2，1）如果將矩形0ABC

14、繞點O旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)后的圖形為矩形OA1B1C1，那么點B1的坐標(biāo)為（）.A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，l）5. 如圖，邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到正方形，圖中陰影部分的面積為( ).A. B. C. D.6右圖可以看作是一個等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)若干次而生成的則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是（）.A90° B60°C45°D30°第5題 第6題7軸對稱與平移、旋轉(zhuǎn)的關(guān)系不正確的是( ).A經(jīng)過兩次翻折(對稱軸平行)后的圖形可以看作是原圖形經(jīng)過次平移得到的B經(jīng)過兩次翻折(對稱軸不平行)后的圖形可以看作是原圖形經(jīng)過次平移得到的C經(jīng)過兩

15、次翻折(對稱軸不平行)后的圖形可以看作是原圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的D經(jīng)過幾次翻折(對稱軸有偶數(shù)條且平行)后的圖形可以看作是經(jīng)過次平移得到的8在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為(3，4)，將OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA，則點A的坐標(biāo)是( ).A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3)二. 填空題9. 正三角形繞中心旋轉(zhuǎn)度的整倍數(shù)之后能和自己重合.10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線，直線與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為A(a，3)，則反比例函數(shù)的解析式是_.11在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形五種圖形中

16、，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是_.12如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊CD上一點，點F是CB延長線上一點，且DEBF，連結(jié)FE,此時AEF是如果FB1，EC2，則正方形ABCD的面積是13如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接AE、DE，ADE的面積為3，則BC的長為_ 第12題 第13題 第14題14. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE=1以點A為中心，把ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得ABE'，連接EE'，則EE'的長等于_15. 如圖，在平面直

17、角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)是（1，0），若點A的坐標(biāo)為（a，b），將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BA，則點A的坐標(biāo)是_ 第15題 第16題16如圖所示，將ABC沿AB翻折后形成ABE，再將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，使點E與點C重合，若1:2:328:5:3則此次旋轉(zhuǎn)過程中的旋轉(zhuǎn)角是_三 綜合題 17如圖，在RtABC中ACB=90°，AC=BC，點 D、E是斜邊AB上的兩點，且DCE=45°求證：AD2+BE2=DE2 18. 如圖，在ABC中，AB=AC，點P是ABC內(nèi)一點，且APB=APC求證：BP=CP19.已知：如圖在ABC中，AB=AC，若

18、將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到FEC(1)試猜想AE與BF有何關(guān)系？說明理由(2)若ABC的面積為3cm2，求四邊形ABFE的面積；(3)當(dāng)ACB為多少度時，四邊形ABFE為矩形？說明理由20. 已知，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連PA、PB、PC.（1）將PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到PCB的位置（如圖1）. 設(shè)AB的長為a，PB的長為b（b<a），求PAB旋轉(zhuǎn)到PCB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖 1中陰影部分）的面積； 若PA=2，PB=4，APB=135°，求PC的長.（2）如圖2，若PA2+PC2=2PB2，請說明點P必在對角線AC上. 【答

19、案與解析】一、選擇題1【答案】 D.2【答案】 B.【解析】BAC=BAB+BAC=60°+45°=105°. 2題圖 5題圖3【答案】C.【解析】旋轉(zhuǎn)中心的點分別是點D,點C,和線段DC的中點.4【答案】C.5【答案】C.【解析】，= .6【答案】 C.【解析】旋轉(zhuǎn)的角度應(yīng)該是45°的倍數(shù).7【答案】 B.8.【答案】 A.【解析】逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A在第二象限，利用三角形全等可得.二、填空題9.【答案】12O.10.【答案】. 【解析】直線y=-x繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線,即，因為交點為A（a，3），所以a=3， 即.11

20、【答案】矩形，菱形，正方形.【解析】所有的平行四邊形都是中心對稱圖形，但不一定是軸對稱圖形;等腰梯形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.12【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由ABFADE，得到AF=AE,BAF=DAE,即AEF是等腰直角三角形. 12題圖 13題圖13【答案】5.【解析】做DFBC,EGAD,交AD的延長線于點G ,則AD=BF, 可證得DEGDCF,即EG=FC,又因為，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14【答案】.【解析】AE=AE，EE=.15【答案】(b+1,1-a).【解析】因為AC=b，BC=a-1,所以BD=b，AD=a-1,又因為點B(1,0),所以O(shè)D=b+1,AD=a-1,因為點A在第四象限，所以點A（b+1，a-1）.16【答案】80°.三.解答題17.【解析】證明：將ACD沿順時針方向繞點C旋轉(zhuǎn) 90°至BCF的位置則有ACDBCFCD=CF，A