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1、 極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題1.在直角坐標(biāo)系 中,直線,圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(I)求的極坐標(biāo)方程.(II)若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)的交點(diǎn)為,求 的面積.解:()因?yàn)?,的極坐標(biāo)方程為,的極坐標(biāo)方程為. ()將代入,得,解得=,=,|MN|=,因?yàn)榈陌霃綖?,則的面積=.2.已知曲線,直線(為參數(shù))(1) 寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(2) 過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線,交于點(diǎn),求的最大值與最小值.解:(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ,3sin )到l的距離為d=|4
2、cos +3sin -6|,則|PA|=|5sin(+)-6|,其中為銳角,且tan =.當(dāng)sin(+)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為.當(dāng)sin(+)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為.3.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的參數(shù)方程為: (0).(2)設(shè)D(1+cos,sin).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上
3、半圓.因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan= ,= .故D的直角坐標(biāo)為.4.將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,得曲線C.(1)寫(xiě)出C的參數(shù)方程;(2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解:(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),經(jīng)變換為C上點(diǎn)(x,y),由=1得x2+=1,即曲線C的方程為4x2+=4.故C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所求直線斜率為k=
4、,于是所求直線方程為y-1=(x-),化為極坐標(biāo)方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.5.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1,M、N分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn)(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程,并求M、N的極坐標(biāo);(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程解:(1)由cos1得1.從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1,即xy2,當(dāng)0時(shí),2,所以M(2,0)當(dāng)時(shí),所以N.(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,)所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為,所以直線OP的極坐標(biāo)方程為,(,)6.在極坐標(biāo)系下,已知圓O:cos sin
5、和直線l:sin(),(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)(0,)時(shí),求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo) 解:(1)圓O:cos sin ,即2cos sin ,圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy,即x2y2xy0.直線l:sin(),即sin cos 1,則直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1,即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1,)7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,求過(guò)橢圓(為參數(shù))的右焦點(diǎn),且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程解:由題設(shè)知,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a5,短半軸長(zhǎng)b3,從而c4,所以右焦點(diǎn)為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程:x2y20.故所求直線的斜率為
6、,因此其方程為y(x4),即x2y40.8.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,),求|PA|PB|.解:(1)2sin ,得x2y22y0,即x2(y)25.(4分)(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得(3t)2(t)25,即t23t40.由于(3)24×42>0,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩實(shí)根,所以又直線l過(guò)點(diǎn)P(3,),故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.9.在直角坐標(biāo)版權(quán)法呂,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極
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