2019屆河北省衡水中學高三上學期三調(diào)考試數(shù)學(理)試題(解析版)

1、第頁12019 屆河北省衡水中學高三上學期三調(diào)考試數(shù)學（理）試題（解析版）一、選擇題：本大題共 12 個小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的.1集合. ：!；，r 九 + 2 K，*，若/，則的取值范圍是（）A. : B.、上C.D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合 M、N,再求，再根據(jù)*得到 a 的不等式，即得解.【詳解】由題得-，厶a因為- I -宀，所以-.故答案為：B【點睛】（1）本題主要考查集合的化簡運算，考查集合的關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）解答本題時要注意取等的問題，最好把等號帶進原題檢驗2

2、若直線.:-2 與雙曲線9 422 2 2A. ： B. 、【答案】C【解析】【分析】36，即得的取值范圍.4-9時【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得:八.:1 ：_, 2當- ，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點3,223622當-，解之得:.f: _.34-9k33故答案為：CI 相交，則的取值范圍是（）聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到第頁2【點睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力3.在中，AB=3，AC = 2，麗=扌盤：，則心，血=（）5555A. B. C. D.2244【答案】C【解析】【分析】I 一 1 * * 1*如圖

3、所示，由=工.=，可得-I：-，代入即可得出.【詳解】如圖所示，r 1 r 1 rr= *-竺r 1 r -n,r r r r 電?=3 丄 M :匹:=-故答案為：4已知數(shù)列的前 項和為 =，正項等比數(shù)列中，則)A. :. I B. -： I C. ：廠:D.【答案】D【解析】【分析】2數(shù)列an的前 n 項和 Sn=n - n, ai=Si=0, n2 時，an=Sn- Si，可得 a*.設正項等比數(shù)列bn的公比為 q 0, b2=a3=4. bn+3bn-i=4bn2(n 2, n N+),化為 q2=4，解得 q，可得 bn.【詳解】數(shù)列 an的前 n 項和 Sn=n2- n,-ai=S

4、i=0, n2 時，an=Sn Sn-i=2n 2, n=1 時也成立.一ui=4 上|，化為 q2=4，解得 q=2 .第頁3 an=2 n - 2.設正項等比數(shù)列bn的公比為 q 0, b2=a3=4.2bn+3bn-i=4bn(n 2, n N+),第頁4b1x2=4,解得 b1=2 .二 bn=2n.則 log2bn = n .故答案為：D【點睛】(1)本題主要考查數(shù)列通項的求法， 考查等比數(shù)列通項的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)若在已知數(shù)列中存在：6-輕：龍二-.：的關系，可以利用項和公式如兒衛(wèi)，求數(shù)列的通項.lSirSn-l5已知直線門與圓: :J

5、.-丨相交于，且芒.I- 為等腰直角三角形，則實數(shù)的值為()A.或-1 B. -1 C. I D. 1或-I7【答案】D【解析】【分析】由三角形 ABC 為等腰直角三角形，得到圓心C 到直線的距離 d=rsin45。，禾 U 用點到直線的距離公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值.【詳解】由題意得到 ABC 為等腰直角三角形，la-a - 1Ji圓心 C (1,- a)到直線 ax+y -仁0 的距離 d=rsin45 即了冷,VI + a 2整理得：1+a2=2，即 a2=1,解得：a=- 1 或 1,故答案為：D【點睛】此題考查了直角與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓

6、的標準方程，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關鍵.r r r 2tanA - taTiB分別是角的對邊，若，則A. 1；B. 1 C. 0 D. 2014【答案】A【解析】【分析】6.在中,的值為()第頁5由 a2+b2=2014c2,禾 U 用余弦定理可得 a2+b2- c2=2013c2=2abcosC.禾 U 用三角函數(shù)基本關系式和兩角和的正弦62sinA sinB2tanA - tanB cosA cosB 2sinAsinBco3 2abcosC.=即可得出.tanCftanA + tfuiB) sinCs in A sinB sinCsin(

7、A + B) LcosC cosA cosB【詳解】 a2+b2=2014c2, a2+b2- c2=2013c2=2abcosC.2smA sinBX-2tanA - tanB cosA cosB 2sinAsinBcosC 2abcosC = =2013.tanCftanA + tanB) sinCsinAsinB sinCsin(A + B) ccosC cosA cosB故答案為：A【點睛】本題考查了三角函數(shù)基本關系式和兩角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識與基本技能方法，屬于難題.7已知點忍 J亍丁是圓:.X : / =內(nèi)一點，直線是以 為中點的弦所在的直線，直線的方程為 :

8、，那么()A. I 二且門與圓相切B.I】且門與圓相切C. I 二且門與圓相離D.I】且門與圓相離【答案】C【解析】【分析】求圓心到直線的距離，然后與a2+b2vr2比較，可以判斷直線與圓的位置關系，易得兩直線的關系.*b【詳解】以點 M 為中點的弦所在的直線的斜率是-，直線 m 的斜率為，直線 I 丄 m,ba點 M (a, b)是圓 x2+y2=r2內(nèi)一點，二 a2+b2vr2,22L圓心到 bx - ay=r2的距離是 - r，故相離.J 礦 + b2故答案為：C【點睛】本題主要考查直線的位置關系，考查直線和圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8.若圓.-：i-

9、.I 和圓宀了二.關于直線對稱，過點的圓 與 軸相切，則圓心的軌跡方程是()A. y2lx I 4y I- 8 = 0 B. y2十 2x2y12 = 0C. 4 乂_4y I K = 0 D. y22x-y I 1 =0【答案】C公式、正弦定理可得7第頁第頁8【解析】 【分析】求出兩個圓的圓心坐標，兩個半徑，利用兩個圓關于直線的對稱知識，求出出過點 C （- a, a）的圓 P 與 y 軸相切，就是圓心到 C 的距離等于圓心到 y 軸的距離，即可求出圓心 P 的軌跡方程.x2+y2- ax+2y+仁 0 的圓心（肆-1 ）,因為圓 x2+y2- ax+2y+仁 0 與圓 x2+y2=i 關于

10、直線y=x - 1 對稱，設圓心（）和（0,0）的中點為（）,242a 1所以（）滿足直線 y=x - 1 方程，解得 a=2,42所以, : )，再消參.第頁9【詳解】平行四邊形 ABCD 中，AB=2 , AD=1 ,第頁10昇.I = 1，點M在邊 CD 上， AE1? AD1?COsZ A=- 1, cosA= - -, A=120 ,2以 A 為原點，以 AB 所在的直線為 x 軸，以 AB 的垂線為 y 軸，建立如圖所示的坐標系， A ( 0, 0), B (2, 0),J313設 M (x, 一)，則x b 0)焦點在 x 軸上，四邊形 AFFIB 為長方形根據(jù)橢圓的定義:【詳解

11、】橢圓=1 ( a b 0)焦點在 x 軸上，汕 b2橢圓上點A關于原點的對稱點為點B , F 為其右焦點，設左焦點為 R，連接 AF , AF!, BF ,BFI,四邊形 AFF!B 為長方形.根據(jù)橢圓的定義：|AF|+| AFi|=2a,/ABF=X，則：/AFIF=a. 2a=2ccosa+2csinaIE JEaw ,4 2故答案為：5兀 w12H D兀sin(0+) 1 1? = ?,k? (-) = ? =0,F- F即：丄，第頁i2同理可得：丄，丄/即 0 是垂心，故厶 ABC 是正三角形,OA扯=QB?=oc ? = -1,222兀令外接圓半徑 R,則：R cos(ZAOB )

12、 =R cos () = - 1即：R=.a即：-=.=2R=2 .,siiiA sin-3即：a=,故周長：3a=3.：岸，故答案為：【點睛】本題考查了平面向量的有關知識以及正弦定理解三角形等有關知識，屬于中檔題.7C15.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且：，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 _.【答案】【解析】【分析】設| PFi|千，| PF2| =% | Fl =2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為ei, e2,由余弦定理可得2 2 2 “ 2 24c = (ri) + (2) - 2rir2cos，在橢圓中，化簡為即4c =4a - 3仃2，在雙曲線中，化

13、簡為即 4c2=4ai2+rir2，心匕 r 一,再利用柯西不等式求橢圓和雙曲線的離ele2心率的倒數(shù)之和的最大值 【詳解】設橢圓的長半軸為a,雙曲線的實半軸為 ai, (aaj ,半焦距為 c,由橢圓和雙曲線的定義可知，設| PFi| =ri, | PF2| =2, | FiF2|=2c,橢圓和雙曲線的離心率分別為ei, e2,j-222ZFiPF2=，則.由余弦定理可得4c = (ri) + (r2) -2ri2COS.，在橢圓中，化簡為即4c2=4a2- 3訂2，第頁17在雙曲線中，化簡為即4c2=4ai2+rir2，第頁i2所以-=42 2 ，eLe2I：;I2由柯西不等式得（1+ ）

14、（二一：）（）3 引 匕 26 j十 I I 砧所以一 I 2 時,-嚴，兩式相減得.-:，得- 7又 ，數(shù)列是以 2 為首項，1 為公差的等差數(shù)列,2 2an0,不等式 2n2- n - 33時，-，廠； 5 -入二，即，8 8 8整數(shù)入的最大值為 4.故答案為：4【點睛】本題考查了數(shù)列通項的求法，考查了等差關系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了不等式的恒成立問題，是中檔題.（2）解答本題的關鍵有兩點，其一是根據(jù)y 一 :求數(shù)列的通項:二=了：嚴，其二是求的最大值2三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）17在.中，角的對邊分別是，已知向

15、量,且滿足匚-，產(chǎn)丄丄 丄（1）求角的大小;若/ c ,試判斷、 一的形狀.【答案】（1）（ 2）直角三角形【解析】【分析】（1）直接化簡山門得工:加 匸，.（2）聯(lián)立 一-_ ，：- =.，化簡得或 ，22hc2當 b=2c 時，可以推理得到.為直角三角形，同理，若，則二上：一也為直角三角形.、令=t 卄y t3A3A - A A【詳解】T.、，代入：- ,_；,有AzE 匕3A A3A A. -,222 23A A3AA13AA11.,即卩，.=. 一 厲：22222222-2聯(lián)立有，即 七：, 解得 h 或_ ;!，,又上，若 t： ,則；T.=.g丫，5 匚二為直角三角形，同理，若，則

16、二-二芒也為直角三角形【點睛】（1）本題主要考查三角恒等變換，考查余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）解題的關鍵是推理得到或 .2bc第頁2018.已知圓 經(jīng)過原點且與直線/ -相切于點i.-J-(I)求圓的方程；(n)在圓 上是否存在兩點關于直線丫-1對稱，且以線段匸 A 為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線 的方程；若不存在，請說明理由【答案】(I). _ - I.-(n)見解析.【解析】【分析】(I)由已知得圓心經(jīng)過點P (4, 0)、且與 y=2x - 8 垂直的直線上，它又在線段 OP 的中垂線x=2 上，求得圓心 C( 2, 1),半徑為需，可得

17、圓 C 的方程.(n)假設存在兩點 M, N 關于直線 y=kx - 1 對稱，則 y=kx - 1 通過圓心 C (2, 1),求得 k=1，設直線 MN 為 y= - x+b，代入圓的方程，利用韋達定理及？=0,求得 b 的值，可得結論.【詳解】(I)法一：由已知，得圓心在經(jīng)過點且與垂直的直線上，它又在線段的中垂線 上，所以求得圓心，半徑為所以圓 的方程為.：. -.(細則：法一中圓心 3 分，半徑 1 分，方程 2 分)法二：設圓 的方程為/,?：/22Yo1可得X。- 42(噸-4)十九-(或$解得 =1-，匸=屈所以圓 的方程為產(chǎn)：-=:.(細則：方程組中一個方程1 分)(n)假設存

18、在兩點關于直線廠-對稱，則通過圓心，求得 ，所以設直線為代入圓的方程得jI 2I-. 2設：貝 y ?. j-.-1-.第頁21這時匕、1、,符合題意，所以存在直線I?為 T - ”：.或- -：符合條件(細則：未判斷 的扣 1 分).【點睛】本題主要考查了圓錐曲線的綜合應用問題，其中解答中涉及到圓的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì) 的應用，直線與圓的位置關系的應用，向量的坐標運算等知識點的考查，著重考查了學生分析問題和解答 問題的能力，本題的解答中把直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關系、韋達定理的應 用是解答問題的關鍵19.各項均為正數(shù)的數(shù)列 中， 是數(shù)列 的前 項和，對任意，有?

19、:(1) 求常數(shù)的值；(2) 求數(shù)列的通項公式；4Sn記，求數(shù)列的前項和11n + 3n + 【答案】(1)(2)(3):】丨上 -【解析】【分析】(1)令J：中 n=1 即得 p 的值.(2)利用項和公式求數(shù)列的通項公式.(3)先求出4S.，再利用錯位相減法求數(shù)列的前.項和hEl 3【詳解】解：(1)由 及 2；，得：， .由 I，得匚+如丄十L 由一，得，即：小叮1A 叮由于數(shù)列各項均為正數(shù)，J 即 i 匚：=數(shù)列是首項為 1，公差為 的等差數(shù)列，.I n 十 1數(shù)列的通項公式是n + 1n(n I 3)4%由，得：，二,工4n + 3第頁22pi 二二二 r VJJI .1:J. : J

20、 I-T =2-22+ 25十十-n - 2n+l=x2n_1= - fn - l)2,1+l-2nI-2I ,.1 I1?.【點睛】(1)本題主要考查項和公式求數(shù)列的通項，考查等差數(shù)列的通項和求和公式，考查錯位相減法求 和，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法22j(rr20.已知橢圓的離心率，原點到過點，的直線的距離是，/ IT25(1)求橢圓的方程;如果直線交橢圓 于不同的兩點二三，且二三都在以 為圓心的圓上，求.的值.【答案】(1)( 2)；16 44【解析】【分析】(1)由題得到 a,b 的方程組，解方程組即得橢

21、圓的標準方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓的方程消去y 得到.，可知 ，設啖 6 心，麗仏二的中點是二乜 d 求出 M 的坐標，再根據(jù)XM+21-求出 k 的值.殂k【詳解】解：因為 ，.= /,所以 ，自2x y 此 叭因為原點到直線 十 I 的距離，解得 ，a b曲+b“x2y2故所求橢圓的方程為一一.164.y = kx+ 1FT齊由題意 X y_ 1 消去 y,整理得(I I 4k+ Skx- 2 = 0，可知 A0，(164x十耳設，寶的中點是叱;廠烏，貝y -4k1 4-4k2第頁23所以 ，所以84【點睛】(1)本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和圓的位置關系

22、，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)解答本題的關鍵是利用韋達定理求出點M 的坐標，根據(jù)已知得到U 二=.21.已知定點，定直線：，動圓 過點，且與直線相切(I)求動圓的圓心軌跡 的方程；(n)過點 F 的直線與曲線 相交于，兩點，分別過點，作曲線 的切線，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值.【答案】(I)-廠= .r； (n)當二.時線段.最短，最短長度為 4，此時圓的面積最小，最小面積為.【解析】試題分析：(I)設. ，由I 化簡即可得結論；(n)由題意 注主E的外接圓直徑是線段二土，設沁：丁 -加 I ,與九聯(lián)立得:一 4：；,從而得、： .1 , 時線段最短，

23、最短長度為 4,此時圓的面積最小，最小面積為.試題解析：(I)設點 到直線的距離為，依題意li -i I-.設：，則有- I .化簡得.所以點的軌跡的方程為廠-.(n)設：I代入中，得：!:.設，則- 山，r廣八.所以.計1廣 J：.、! 1/. .2因為：=;:，即 r 一，所以一.4 2所以直線 的斜率為，直線 的斜率為1222KiX,因為.，1-4所以丄I即，即. 為直角三角形.第頁24所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑.因為 | : = ；. -:；所以當 時線段.最短，最短長度為 4,此時圓的面積最小，最小面積為.【方法點晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題求軌跡方程的常見方法有：直接法， 設出動點的坐標 ，根據(jù)題意列出關于的等式即可；定義法， 根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；逆代法，將代入.本題(I)就是利用方法求圓心軌跡方程的22.設函數(shù) (1)當.卜 時，求函數(shù) ii 的最大值;2 令：: