2020屆安徽省江南十校高三第二次聯(lián)考數學(理)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2222 頁2020 屆安徽省江南十校高三第二次聯(lián)考數學(理)試題、單選題1 1.已知全集Uy y ex，集合Ax In x 10，則eUA=()A A .-,02,B B.2,C C .-,12,D D.0,1 U 2,【答案】D D【解析】 分別求兩個集合，再求CuA. .【詳解】解得U y|y 0，0 x111x2A x|1 x 2，euA0,12,故選：D D【點睛】 本題考查指對函數表示集合，集合的補集，意在考查基本計算，屬于基礎題型x 6,x ,若角 的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合,2x,x 0終邊經過P( 5,12)，則f f cos()B B. 2 2【

2、答案】B B【詳解】根據三角函數的定義可知OP13, ,所以cos513，5故f cosf136 1,1313貝y f f cosf 12.故選：B B【點睛】2 2.函數f(X)【解析】 首先根據三角函數的定義，先求cos，再代入分段函數求值第2 2頁共 2222 頁本題考查三角函數的定義，分段函數求值，屬于基礎題型3x 2y 03 3.已知點P x, y滿足不等式x y 5 0，點Q x, y是函數f（x）x2的圖x 5 0像上任意一點，則兩點P P,Q Q 之間距離的最小值為（)A A .匚！12B B.1313 1 1C C. 4 4D D.5三2【答案】A A【解析】首先畫出不等式表

3、示的可行域和函數f x的圖象，根據數形結合表示兩點間距離的最小值 【詳解】如圖所示，點 P P 在平面區(qū)域陰影內任一點 P P,y .1 x2y21 x2y 0,2 2即x y 1 y 0點 Q Q 在半圓x2y21（0 y 1）上，如圖，過點 O O 作直線x y 50的垂線，垂足為 P P,交半圓于 Q Q，此時|PQ取最小值,【點睛】本題考查不等式表示的平面區(qū)域，函數圖象的做法，意在考查數形結合解決問題的能力,第3 3頁共 2222 頁屬于中檔題型logbSinlogbcoslogb si4 4.已知b 1,0,x (cos ),y (cos ),z (sin )4則 x x,y y,z

4、 z 的大小關系為()A A .xyzB.zxyC.zyxD.yzx【答案】B B【解析】 首先比較sin與cos的大小，再根據指對函數的單調性比較x, y的大小,根據幕函數的單調性比較x, z的大小. .【詳解】解：f t logbt為增函數，0 sin cos 1為減函數得logbsin logbcos 0，g(t) (cos亍為減函數，則x y.a當 a a O O 時，h t t在第一象限單調遞減,的值域，求sin的值，再解實數x的值. .【詳解】x 1解：由題得x 0不是方程的解，sinx x，由X1X1a logbSin且cos sin，貝U x z. 故z x y.故選：B B【

5、點睛】本題考查根據指對幕函數的單調性比較大小， 性的應用，屬于中檔題型 5 5.如果關于實數的方程2xsinx21A A .x| x1或x 1C C .x |x 0或x 1【答案】D Dx【解析】首先參變分離為sin212x以及三角函數的大小，重點考查函數單調0有解，那么實數x的取值范圍是()B B .x |x 0或x1D D .1,1,利用基本不等式求sin的范圍，再結合sin第4 4頁共 2222 頁2X1且1 sin1得sin1，故X1.故選： D D【點睛】本題考查根據函數零點求參數的取值范圍，意在考查轉化與化歸的思想，屬于中檔題型6 6要得到函數y、2COS2X的圖像，只需將函數 y

6、 y sin2xsin2x cos2xcos2x 的圖像()A A .向左平移一個單位B B 向右平移個單位8833C C.向左平移 個單位D D 向右平移個單位8 8【答案】D D【解析】 首先將兩個函數化簡為同名三角函數，再判斷圖象平移過程【詳解】解：y sin2x cos2x、2sin(2x ). 2sin2(x )48y 2cos2x、“2sin(2x) 2sin 2(x),3故向右移個單位.8故選：D D【點睛】本題考查三角恒等變換，和函數平移變換，本題的關鍵是兩個函數一定要化為同名三角函數，熟練應用誘導公式和輔助角公式 7 7 在公差不為 0 0 的等差數列an中取三項32,34,

7、38，這三個數恰好成等比數列，則此等比數列的公比為(1A .-3)1B B. 一2C C. 2 2D D . 3 3【答案】C C【解析】根據題意a：3238，解得322d2d，再代入求公比. .【詳解】解：34322d,a8a26d,因為a4a2a8，且d 0，求得 a a22d2d ,所以公比q- 2；a2qa8a4a8a44d2或解：q2.a4a2a4a22d故選：C【點睛】本題考查等比數列和等差數列的基本量的計算，重點考查計算，屬于基礎題型8 8 .設 m m、n n 是兩條不同直線，aB是兩個不同的平面.命題p: m / / n，且p是命題 q q的必要條件，則 q q 可以是（）A

8、 A.m/,n/ ,/B B.m,n,/C C.m丄,n丄,/D D.m,n/,/【答案】C C【解析】由題意可知，若p p 是命題 q q 的必要條件， 則qP,逐一分析選項，判斷直線m,n的位置關系. .【詳解】由題意可知，若 p p 是命題q q 的必要條件，則qP,A.A.若滿足m/,n/,/，則m,n平行，相交，異面都有可能，所以不正確；B.B.若滿足m,n,/，則m, n平行或異面，所以不正確；C.C.若滿足m丄,n丄,/，只能推出兩直線平行，故正確；D.D.若滿足m,n/,/，則m,n平行，相交，異面都有可能，故不正確 故選：C C【點睛】本題考查線線， 線面， 面面的位置關系，

9、以及必要條件的判斷， 意在考查空間想象能力,定理的靈活應用，屬于基礎題型9 9.設函數f (x) e exa(x0), 若存在b0,1使得f f bb成立,則實數a的取值范圍是（)c1A A.2,eB B.2,e1C C.e, e -D D.2,eee第 5 5頁 共 2222頁第6 6頁共 2222 頁【答案】A A【解析】 首先利用導數可知函數f x單調遞增，由題意可知f b b有解，參變分0,1，再換元設ebt，t 1,e，利用基本不等式求a的取值范圍【詳解】解：f (x) exex10(x0)，故f x在0,上單調遞增.b 0,1時，f f b b成立，即f b b有解，則ebebb

10、a b-故a ebeb，b (0,1.令ebt，則t 1,e,e e t 2,e ，即a 2,e tee故選：A A【點睛】本題考查利用導數求函數的單調性，最值，和參數的取值范圍，意在考查函數與方程的思想，本題的關鍵是根據函數的單調性，確定f b b. .1010 長度為 1 1 的線段 MNMN 的正視圖，側視圖和俯視圖的投影長分別為a a、b b、c,c,則a b c的最大值為（）A A 2 2B B.2 2C C D D 3 3【答案】C C【解析】由已知條件構造長方體，使 MNMN 與BD1重合，設長方體長、寬、高分別為x x,y y,z z,2 2 2 2則x y z 1，然后利用基

11、本不等求a b c的最大值. .【詳解】 解：構造長方體ABCD A1B1G1GD1，使 MNMN 與BD1重合.設長方體長、寬、高分別為x x,y y,z z,離后可得a ebeb，b2【詳解】第 7 7 頁共 2222 頁由題知：廠2za，:y22zb，x2y2c，a2b2c22，22.222ab2bc 2ac,a b cabc3(a2b2c2)6, 故abc . 6.故選：C C【點睛】本題考查三視圖， 幾何體的結構特征， 考查空間想象能力， 基本不等式的應用， 本題的 關鍵是構造幾何體，將使 MNMN 與幾何體的體對角線重合. .2x1111.如圖所示，點 P P 為橢圓一4SVIF1

12、F2的內心為 I I，貝y(【答案】1上任一點，F,F2為其左右兩焦點,PF,F2B. 22【詳解】第 7 7 頁共 2222 頁得到面積比值【解首先連 PIPI 延長 x x 軸于 D D,連IF,IF2，利用角平分線定理得到IDIP|DFi1PF,I，再利用和比定理和橢圓的性質，得到ID 2cI7IIa1，從而第9 9頁共 2222 頁解：連 PIPI 延長 x x 軸于 D D,連IFi,IF2.IDDF1，在VPF2D中有IDIPPFjIP在VPFQ中有PF2DF2故帥器館竊2cIP|ID I 11F1F2【點睛】故S2a本題考查橢圓的性質和角平分線定理解決三角形面積比值，意在考查轉化

13、與化歸的思想，數形結合分析問題，屬于中檔題型，本題的難點是角平分線定理的應用1212 偶函數y f x滿足 f f 2 22 2 x x，當X2,0時有f x 2x.若存在實數冷X2,X，滿足0為X2L Xn，且f X1f x2A A . 198198【答案】B Bf X2f X3B B. 199199【解析】首先由條件分析函數的周期為取得最小值，需盡可能多的最小值. .【詳解】解：f x 2f 2 x，推得f故f x最小正周期為 4 4.f Xn 1C C.1984 4,并且f Xif Xi 1xn299，則Xn的最小值為log23D D.199 log234 13,所以要Xn3，根據函數的

14、周期和解析式得到Xn的第1010頁共 2222 頁f Xif Xi 14 1 3,Xn取得最小值,則需盡可能多的Xi取到最高(低)點，【點睛】本題考查函數的周期，最值，圖象，解析式的綜合應用，意在考查轉化與化歸的思想,函數性質的靈活應用，屬于中高檔題型 、填空題2【答案】-5【解析】由誘導公式變形求tan 2，再根據三角恒等變形化簡求值【詳解】解：sin2cos可得tan 22sin (2cos 1) sin cossin cos.2 2sin costan 2tan2152故答案為：蘭5【點睛】 本題考查三角恒等變形，意在考查轉化與化歸的思想，屬于基礎題型 1414 已知三棱錐A BCD所有

15、頂點都在半徑為 2 2 的球面上，AD面 ABCABC,BAC 90,AD 2，則三棱錐A BCD的體積最大值為 _1313 .已知sin2cos， 則sin1)第1111頁共 2222 頁【解析】由條件可知三棱錐可補成長方體，并且求得AE BC2：3，底面AB2AC2BC212，根據基本不等式可求得AB AC的最大值和體積的最值【詳解】因為AB,AC,AD兩兩垂直，所以三棱錐可補成長方體，底面三角形ABC可補成長方形ACEB，連結AE，DE，則DE是長方體的體對角線，也是球的直徑，AE是小圓的直徑,如圖，DE4，AE . DE2DA22 3 2r BCAB2AC22BC 12 2AB AC則

16、AB AC6,【點睛】V - - AB AC AD3 2-2AB AC6【答第1212頁共 2222 頁本題考查三棱錐和球的組合體的綜合問題，意在考查空間想象能力，基本不等式解決最值問題，屬于中檔題型，本題的關鍵是確定三棱錐可補成長方體，利用長方體的性質和基本不等式求底面的最大值1515 函數f X是定義在 R R 上的奇函數，若對任意X!,X2,0且捲X2，都有勺_一X2f X20成立，則不等式xf x x 1 f x 10的解集為X,x21【答案】X | X2【解析】 設函數g x xf x，由條件可知函數g x是偶函數，并且在,0單調遞減，不等式等價于g X g X 1，利用函數的性質解

17、抽象不等式 【詳解】解：令g x xf X，X-1f (x1) x2f(x2) cc由一11220，得g x在-,0為減函數，X1x2且g x為偶函數，故g x在0,上為增函數，g X g X 1即g(|x|) g(|x 1|)1故|x| |x 1|，解得X -,21所以不等式的解集是x|x. .21故答案為：X | X2【點睛】本題考查判斷函數的性質，并且根據函數的奇偶性，單調性，解抽象不等式，意在考查轉化與化歸的思想，本題的關鍵是構造函數g X xf X，并判斷函數的性質 1616 如圖所示，F1, F2為橢圓的左右焦點，過F2的直線交橢圓于 B BD D 兩點且BF2|2F2F2DIDI

18、 , E E 為線段BF1上靠近F1的四等分點若對于線段BR上的任意點 P P,第1313頁共 2222 頁ujuluur uuur uur都有PF1PD EF1ED成立，則橢圓的離心率為 _ 第 i i1414頁共 2222 頁【解析】取FiD的中點 Q Q,連 EQEQ.PQPQ.根據向量的加法和減法轉化uuu uuuUUUL21LturPF1PDPQ -DFi,4UUUULLTuuuu21UUUU uur uuu同理EFiED EQ2DFj，等價于| PQ | |EQ|,由點P的任意性判斷4EQ BFi，得到DFi|DB |，根據幾何關系和橢圓定義得到邊長，根據余弦定理建立方程求橢圓的離

19、心率【詳解】UUU iPD -4uuur(PFiunr2PD)UULT uuur2(PFiPD)ujur4PQ2luuirDFi2UJUUPQ2uuurDFi2,4uur uurEFiEDuurEQ2iU吧UULT UUU-DFi,PFiPDuuurEFiuuurED恒成立等價于umr|PQ|mur|EQ|,解：取FiD的中點 Q Q，連 EQEQ.PQPQ.同理因為點P是線段BFi上的任意一點，故BFi，得到DFi|DB |,EQ設DF2x，貝y BF22x,DFia由2a x 3x，得x ,2在VFiBF2中，cos FiBF2在VDFiB中，又cos FiBD3BFiBF2aDFi2a，

20、2 a24c2212e2a22233a-a-a221332a a22a x,2第1515頁共 2222 頁UUUTPFi42第1616頁共 2222 頁即g x的單調Ik k，k Z.所以12e23，解得e辛.J5K故答案為：J1I3【點睛】 本題考查求橢圓的離心率，平面向量和幾何圖形的應用，意在考查轉化與化歸的思想， 數形結合分析問題的能力，推理能力，屬于中高檔題型，本題的關鍵是把向量的數量積 轉化為邊長關系，再根據點P的任意性，進一步得到幾何關系 三、解答題1717 .已知面數f(x) 2sin(2x)，2 2(1 1)當時，求函數g x f x 2sin2 x的單調遞增區(qū)間;3i答案】(

21、1)3k，-k，k Z(2)區(qū)間;(2(2)若函數x滿足f(6x)f ( x)，求的值6【解析】(1 1)根據三角恒等變形為g x2.3 sin 2x ，直接求函數的單調遞增6(2(2)由題意可知函數【詳解】x關于x$對稱，代入直接求的值. .(1)g(x)2si n(2x ) 2si n2x2 3sin(2x6)，2k2x2kk Z時函數單調遞增,第1717頁共 2222 頁(2)由f ( x) f ( X)得f X圖像關于X對稱6 66k6，k Z- 又 -2得n6【點睛】 本題考查三角恒等變形，求函數的性質，以及根據函數的性質求參數，意在考查轉化與 化歸的思想，基本能力，屬于基礎題型(1

22、)若B-，求ACD的余弦值;uuuT(2(2)點 M M 是線段 CDCD 上一點，且滿足AMuuuu求| AM |的最小值.coscos ACDACD ；或是設ACD,在VACD和VBCD中18如圖在VABC中，BAC3 3,滿足uuuruuurAD 3DB-【答案】(1)cos ACD5.1326UUU(2)|AM |minUULT【解析】(1 1)設DBuuua，則|AD|3a，在VACD和VBCD中利用余弦定理求CD，利用正弦定理，建立等量關系求ACD的余弦值;(2(2)利用 C C、M M、D D 三點共線,求得1 1uuu uuum m - -,再根據三角形的面積求得| AB| |

23、 AC| 8,3 3UUUUU 4根據向量數量積求AM2131UULTAC1UULT2!AB，展開后利用基本不等式求最小值2【詳解】ujurmAC1 uuu_2AB，若VABC的面積為以，再在VACD第1818頁共 2222 頁uur(1)由題意可設DBuuua，則| AD | 3a.在VBCD中有：BC2DB2GD22DB CD cos BDC3可得CD213a2，在VACD中有：AD2AC3CD22AD CD cos ACD，解得cos ACD5-26或解：由題意可設ACD, 在厶 ACDACD中：-ADCDsin sin605/ABCuur|AB|ujur|AC|uur2|AC |216

24、 uur2|AC|2在VACD中有：AC2ADAD2CDCD22AD2AD CDCD coscos ADCADC 在VBCD中:DBCDsi n(60)si n60由，可得3sin60sin解得tan3 3-,故cos5 13526uuuuuuu1uuuuur(2 2)AMmACABmAC2D D 三點共線，所以且 C C、 M M、1 1m m2 uur-AD,3uuu故|AB|uuu|AC|UJUJUAM21uuu-AC31 uuu-AB2uuuuAC2uuuuAB241 ujur uur AC AB3uuu當且僅當| AC|2.3時;所以UULUU| AM|min22、3第1919頁共

25、2222 頁本題考查解三角形，平面向量，基本不等式求最值的綜合應用，主要考查了方程的思想,轉化與化歸的思想，計算能力，本題的難點是結合條件，分析圖形，轉化為數學問題1919 .已知數列an的前 n n 項和記為Sn,4 2且nan 1(n 2)& n N*.(1 1)求數列Sn的前 n n 項和Tn；Sn 1(2 2)數列bn的通項公式bn；n，證明 Jb?n 1 .(n 1)22n 1n 1【答案】(1 1)Tn(n 1) 22(2 2)證明見解析【解析】(1 1 )首先條件變形為n Sn 1Sn(n 2)Sn，變形后可得 色是等比數列,n求Snn 2n，并且利用錯位相減法求和；(2 2)由

26、(1 1)可知bn，證法一，首先 並放縮為2n 1，再求乘積證明不n 12nV 2n 1等式；證法二， 放縮為，n，再求乘積證明不等式；n 1Y n 2【詳解】(1 1)由叫1(n2)Sn, n N可得n :Sn 1Sn(n 2)Sn,即2,n*N,n1n所以SnS12n 12n，故Snn 2nn1Tn11 22 2 23 23Ln 丁第2020頁共 2222 頁證法二（參照給分）【點睛】2020 已知四棱錐P ABCD的底面 ABCDABCD 為菱形，BADBAD 6060，側面 PADPAD 與底面 ABCDABCD3P P 到平面 ABCDABCD 距離為2【答案】（1 1）證明見解析（

27、2 2）7【解析】（1 1）要證明線線垂直，可轉化為證明線面垂直，取2Tn1 222 233242n1- -得:Tn12122232nn 2n 1Tn(nn 11) 2(2(2) b bnSn(n 1)2n2n(n 1)2n證法一：Q紅2n(2n 1)2(2n)2(2n 1)2(2n)22n 12n 1bi baL b2n 12n2n,2n 1L -2n 1bi baL b2n 14L2n 12n2n 112n 1本題考查遞推公式求通項公式,錯位相減法求和，利用不等式放縮證明不等式，意在考查推理證明，轉化與化歸，第二問是本題的難點, 放縮法是證明不等式的常用方法ADAD 中點 E E,即證明A

28、DPBPB 的中點為 G G,由（1 1）2T1nJi2，nn 21335L. 2n 1第2121頁共 2222 頁平面PBE;（2 2）由幾何體的關系，得到如圖所示的空間直角坐標系，設第2222頁共 2222 頁可知AG,BC都與交線垂直，GA與BC的夾角 為所求二面角的平面角【詳解】（1 1）取 ADAD 中點 E E,BEAD則由已知得AD平面PBEAD PBPEADAD平面 PBE(2 2)AD平面ABCD平面 PBEPBE,平面 ABCD又平面PBE平面ABCD BE.過 P P作PO BE交 BEBE 的延長線于 0 0,則PO面 ABCDABCD ,由題可得到PEO 60uuu

29、uuu-GA BC2、7-tuuUUU- |GA|BC| 7【點睛】 本題考查線線垂直的證明，二面角的求解，意在考查推理證明，空間直角坐標系解決空間角，屬于中檔題型，本題的第二問是用空間直角坐標的方法解決二面角，一般都是要 求兩個平面的法向量，但這個題不用，而是有和交線垂直的線，所以連接AGAG,朋 2,0),C(UUU3 巧3uuuPB(0,),BC2,2UUUUUUUUUTUUU于是GAPB 0,BC PBUUUUUUGA與BC的夾角為所求二2,0), GA(1,仝3,24 4則COSULD UUlUGA與BC的夾角建立如圖所示直角坐標系，設PB的中點為 G G,則P（O,O,|）,B（O

30、,苧,o）,PB中點G（O,33/3）第2323頁共 2222 頁表示二面角 2121 如圖，已知橢圓 E E 的右焦點為F21,0, P P.Q Q 為橢圓上的兩個動點,2 2【答案】（1 1）竺乞1（ 2 2）x 143【解析】首先表示VPQF2的周長，并利用定義轉化求周長的最值，求解方程;（2 2）可設直線I : x my 1,與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系表示 面積，并通過換元法和基本不等式求最值【詳解】（1 1）取左焦點F-,0,VPQF2的周長為：PF2QF2|PQ| 2a PF12a QF1|PQ|4a | PF|QFj|PQ|4a（三點 P P,Q Q.F1共線時取等號），2 2由4a 8,a 2，橢圓 E E的方程：1. .43P S-7VPQF2周長求厶F1MNF-!MN的面積取最大值時的