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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立:小車由電機(jī)通過(guò)同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來(lái)回運(yùn)動(dòng),保持?jǐn)[桿平衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車和擺桿位置(線位移和角位移)。導(dǎo)軌截面成H型,小車在軌道上可以自由滑動(dòng),其在軌道上的有效運(yùn)行長(zhǎng)度為1米。軌道兩端裝有電氣限位開(kāi)關(guān),以防止因意外失控而撞壞機(jī)構(gòu)。圖1 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型倒立擺系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M 小車質(zhì)量 1.096Kg; m 擺桿質(zhì)量 0.109Kgb 小車摩擦系數(shù) 0.1N/m /sec I 擺桿質(zhì)量 0.0034kg*m*m 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25m T 采樣頻率 0.005s下面N和P為小車與擺桿相互作用力
2、的水平和垂直方向的分量。分析小車水平方向所受的合力,可得到方程為: (1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式: (2)把這個(gè)等式代入(1)式中,得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程: (3) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程,對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析,得到下面的方程: (4)力矩平衡方程如下: (5)方程中力矩的方向,由于,故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程,約去P和N,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程: (6)假設(shè)與1(單位是弧度)相比很小,即,則可進(jìn)行近似處理:用代表被控對(duì)象的輸入力,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下: (7)對(duì)方程(7)進(jìn)行拉普拉斯變換,得到: (8)(推到時(shí)假設(shè)初始條件為0)則,擺桿角度和小車位
3、移的傳遞函數(shù)為: 將上述參數(shù)代入,擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為: 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為: 將上述參數(shù)代入,擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為: 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù):將上述參數(shù)代入,擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù): 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:將上述參數(shù)代入,以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為: 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式: 將上述參數(shù)代入,以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式:2系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng): 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為:當(dāng)且僅當(dāng)向量組是線性無(wú)關(guān)的,或n×n維
4、矩陣的秩為n。系統(tǒng)的輸出可控條件為:當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩等于輸出向量y的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對(duì)輸入為加速度輸出為擺桿與豎直方向的角度的夾角時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析: 帶入上式,計(jì)算得: 帶入數(shù)值得:令得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)特征方程為(0,0,5.42,-5.42)系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣的秩=4=系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù),系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩=2=系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù),所以系統(tǒng)可控??捎^測(cè)性矩陣的秩=4=矩陣A的維數(shù),所以系統(tǒng)可觀測(cè)。系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)位于s又半平面上,有兩個(gè)極點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),使系統(tǒng)穩(wěn)定。2.3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程,先對(duì)其進(jìn)行階躍性分析,在Matlab中鍵入以下指令:>> clear;A=0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0; B=0 1 0 3'C=1 0 0 0; 0 1 0 0; D=0 0'>> step(
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