2020屆河南省天一大聯(lián)考高三上學期期末數(shù)學(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2121 頁2020 屆河南省天一大聯(lián)考高三上學期期末數(shù)學（文）試題一、單選題1 1.已知集合A 1,1,3,5，B 0,1,3,4,6，則AUB()A A.1,3B B.1【答案】D D【解析】 根據(jù)并集的定義可求出集合AUB. .【詳解】故選：D.D.【點睛】2 2.設復數(shù)z 1 iA A .22【答案】A A【解析】利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)z z 表示為一般形式，然后利用復數(shù)的模長公式可計算出Z. .【詳解】故選：A.A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，同時也考查了復數(shù)的四則運算，考查計算能力，屬于基礎題3 3.已知向量m 3,0,n 3,0,qv mv vq n，貝Uv

2、q為（)A A. 7 7B B .5C C .3D D .1【答案】 C CrITrLTrrrLrir【解析】 由題意可知nm，由q mqn得出qqm，可得出q m q m 0，由此可得出|q |m，進而得解. .C C.1,0,1,1,3,4,5,D D.1,0,1,3,4,5,6依題意,AUB1,1,3,5 U 0,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6. .本題考考查計算能力，屬于基礎題B B .,5,5依題意z 1 i 22i 12 2i,1故z - 222222. .第2 2頁共 2121 頁【詳解】rurrirr rrurrir由題意可知nm，由q mq n得出qmqm,r ur

3、 r ur刨r2i2“r ,ir口_2q m q m 0，即qm，因此，q m03. .故選：C.C.【點睛】本題考查向量模長的計算， 同時也考查了向量垂直的等價條件的應用，解題的關鍵就是得出nm，考查計算能力，屬于基礎題. .4 4 近年來，隨著4G網(wǎng)絡的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的app相繼出世，其功能也是五花八門 某大學為了調(diào)查在校大學生使用aPP的主要用途，隨機抽取了56290名大學生進行調(diào)查，各主要用途與對應人數(shù)的結果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法:app主要聽音樂的大學生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數(shù);2可以估計不足10%的大學生使用app主要玩游戲；13可以估計使

4、用app主要找人聊天的大學生超過總數(shù)的. .4其中正確的個數(shù)為（）一戰(zhàn)人H天4眼）1看*山、UiM*族Hr-1玩囹嚨r注礦r 5啪丄1聽幵航L7_ m旳址的人匚授闈同興尊的人A A 0 0B B.1C C 2D D 3【答案】C C【解析】根據(jù)利用app主要聽音樂的人數(shù)和使用app主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷的正誤；計算使用app主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷的正誤；計算使用app主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷的正誤 綜合得出結論 【詳解】可以估計使用第3 3頁共 2121 頁使用app主要聽音樂的人數(shù)為5380，使用app主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450

5、,所以正確；8130使用app主要玩游戲的人數(shù)為8130，而調(diào)查的總人數(shù)為56290,0.14，故56290超過10%的大學生使用app主要玩游戲，所以 錯誤；165401使用app主要找人聊天的大學生人數(shù)為16540，因為，所以正確. .56290 4，故選：C.C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數(shù)與頻率是關鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題5 5.記正項等比數(shù)列a滿足2a25a33a4，則公比q( () )11亠1A .-B B. -或2C C. 2 2D D .339【答案】A A【解析】 根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及條件列方程解得公比【詳解】2 2依題意，2a25a

6、?q 3a2q，即3q 5q 20，故3q 1 q 21或q2，而an0，故q . .3故選：A A【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題A A .8.3B B. 8 8C C.4.3D D . 4 4【答案】B B【解析】 先根據(jù)同角三角函數(shù)關系得sinC上，再根據(jù)正弦定理求結果60，解得q -36 6 .已知ABC中,ABAB 2 2 ,si nA則BC因為tanC，所以sinC第4 4頁共 2121 頁【詳解】第5 5頁共 2121 頁【答案】B B出正確選項 【詳解】函數(shù), 當X 2時,X 1,X 1,X 1,X 1XlgdlgdlgdlgdX 1X 1X 1

7、X 1f X，該函數(shù)為偶U 1,，關于原點對稱,AB在ABC中，由正弦定理，可得丄ABsin C2/3BC-BC，故62. 2sin A6，解得BC 8. .故選：B B【點本題考查同角屬基礎題7 7 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在2,上單調(diào)遞減的是lg2X2X4X,X04X,X0In【解析】 分析每個選項中函數(shù)的奇偶性及各函數(shù)在區(qū)間2,上的單調(diào)性，由此可得對于 A A 選項，函數(shù)XeXe1-的定義域為R,1對于Xe1Xe1eX1B B 選項，解不等式X1 eX1 ef X，該函數(shù)為奇函數(shù),-，該函數(shù)在區(qū)間2,上單調(diào)遞增;，該函數(shù)的定義域為1，則f內(nèi)層函數(shù)U2,上為減外層函數(shù)lgu為增函數(shù),所以，

8、函數(shù)fig2,上單調(diào)遞減;第6 6頁共 2121 頁故選：B.B.【點睛】范圍，解得結果 【詳解】x24x x 0的圖象如下圖所對于 D D 選項,函數(shù)f x Inx2定義域為,1 U 1,x InIn該函數(shù)為偶函數(shù) 內(nèi)層函數(shù)u1、x21上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y In u也為增函數(shù),所以，函數(shù)f x In 1x212,上單調(diào)遞增 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷,熟悉函數(shù)奇偶性的定義以及單調(diào)性的一些判斷方法是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題2 28 8 .記雙曲線C1:2 1(a 0,0）與雙曲線2 2C2:16 T1無交點，則雙曲線Ci的離心率的取值范圍是（C C.3,【答案】D D【解C

9、2漸近線方程，再結合圖象確定雙曲線Ci確定漸近線漸近線斜率對于 C C 選項，作出函數(shù)f x第7 7頁共 2121 頁雙曲線C2:2 2W；1的漸近線方程為2 2x，由題意可知-2、2，則e -.1baa Y a故選：D D【點睛】 本題考查雙曲線漸近線與離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎題9 9 .已知長方體ABCD AB1C1D1的表面積為208,AB BC AA118，則該長方體的外接球的表面積為【答案】A A【詳解】所以,故選：A.A.【點睛】則 m m 的取值范圍為A A 116B B.106C C 56D D 53【解析】由題意得出ABABBC AA 18，由這兩個等式計算出BC

10、 BC AA AB AA 104AB2BC2AA2,可求出長方體外接球的半徑，再利用球體表面積公式可計算出結依題意，ABBCAA,18,AB BC BC AA,AB AA,104,AB2BC2AA22AB BC AA2 AB BC BC AA AB AA116,故外接球半徑AB2BC2AA12r、29，因此，所求長方體的外接球表面積r2116本題考查長方體外接球表面積的計算,解題的關鍵就是利用長方體的棱長來表示外接球的半徑，考查計算能力, 屬于中等題1010.已知函數(shù)f xx,x2x4x,xm，且p m,q m，使得f pB B.,0,0第8 8頁共 2121 頁【答案】C C【解析】先將條件

11、轉化為對應函數(shù)值域包含關系, 后根據(jù)集合包含關系列不等式，解得結果 故選：C【點睛】【答案】D D由f x f x可知函數(shù)y f x的一條對稱軸方程為x ,可得出 的表達36式，再結合條件ff0可求出的值 2【詳解】依題意f x si n2 xcos cos2 xs insi n 2 x依題意，f qfp，即函數(shù)yf x在,m上的值域是函數(shù)m,上的值域的子集 因為yf x在m,上的值域為4,(2m 2)或m 4m,(m2),y fx在，m上的值域為m,m故2m或2,2，解得m 0. .【詳解】mmm再根據(jù)分段函數(shù)求對應區(qū)間值域，最本題考查分段函數(shù)性質以及函數(shù)值域,考查等價轉化思想方法以及分析求

12、解能力,屬中檔題 1111.已知函數(shù)f x 2sin xcos xcos22cos x 1 sin若f-x f x，f25A A .B.B.- -1230，則()C C. 一D .-46 6【解析】利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)y f x的解析式為f x sin 2 x第9 9頁共 2121 頁因為ff x，所以x為函數(shù)y6x圖象的一條對稱軸,第1010頁共 2121 頁不妨設 M M,N N 分別在第一、三象限，焦點F c,0bx聯(lián)立x2ay2y_解得M-2a-2b,N、2a在MNF中，由余弦定理可得MNMFNF2 MF NF cos MFN,而tan MFN 2 . 2，則cosMF2N13

13、，代入化簡得310c413a2c24a40，其中k,k Z，所以23 6k 6. .? Jn或一（舍去）62故選：D.D.【點睛】 本題考查利用正弦型函數(shù)的對稱性求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題2 21212 已知橢圓 C C:二占1（a b 0）的焦點 F F，直線 I I: bxbx ayay 0 0 與橢圓 C Ca2b2交于 M M、 N N 兩點，若tanMFN2遷，則橢圓C C 的離心率為（) )A A 邁B B.C C.1或乜D D 遼或空5 55 525 525 5【答案】B B【解析】先解得 M,NM,N坐標，利用兩點間距離公式得MNF三邊長，再根據(jù)余弦定理列方程，解得離心率

14、【詳解】因為f一20，所以sin sin 2sinsin 5，又02,得,，結合可得5或52，解得第1111頁共 2121 頁3c22a2，解得5c24a2或2c2a2(舍去)，故e -.a 5故選：B B【點睛】本題考查余弦定理、橢圓離心率以及直線與橢圓交點，考查綜合分析求解能力，屬中檔題 、填空題1313 .已知tan,tan4-，貝U tan _4【答1613【解析】根據(jù) ()以及兩角差正切公式求解第1212頁共 2121 頁【點睛】 本題考查兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算可得出結果【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所

15、示y2x 11414 .設實數(shù)x、y滿足3x2 3y，則zx 3y4 02x y的最大值為【答案】【詳tan tan(tan( ) tan1 tan( ) tan-3N 216111316故答案為:1613173【解析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線z 2x y，觀察直線在y軸上截距第1313頁共 2121 頁z z 取得最大值,解，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題 1515. .已知長方體ABCD AiB1C1D1的棱長為 2 2,點 E E 是線段AiBi的中點，貝UCDiE在平面BDD1B1上的正投影的面積為 _【答案】土22【解析】 根據(jù)條件作出CD1E在平面BDD13上的正投

16、影，確定正投影位置與形狀, 最后根據(jù)三角形面積公式求解 【詳解】作出圖形如圖所示，可知CD1E在平面BDD1B1上的正投影仍然為一個三角形，點C C在平面BDD1B1上的正投影為線段BD的中點C，點 E E 在平面BDD1B1上的正投影為線段B1D1的靠近B1的四等分點E，正投影的面積SC ED1觀察可知，當直線z 2xy過點C時，直線z 2x y在y軸上的截距最大，此時,聯(lián)立y2x 1，53，故 Z Z 的最大值為Zmax3故答案為:【點睛】173本題考查線性規(guī)劃問題,考查線性目標函數(shù)的最值問題,般利用平移直線法找出最優(yōu)第1414頁共 2121 頁故答案為：2【點睛】本題考查正投影及其相關計

17、算，考查空間想象與分析求解能力，屬基礎題1616 已知函數(shù)f x的定義域為 R R,導函數(shù)為f x，若f x cosxsinx小T0，則滿足f xx 0的 x x 的取值范圍為【答案】【詳解】cosx02依題意,cosx2cos xcosx，則g xx，故函數(shù)為奇函數(shù)cosx2sin x20，故函數(shù)在R上單調(diào)遞減，x，即xx，故x -,則 x x 的取值范圍為x，且【解構造函數(shù)g x f xcosx，再根據(jù)條件確定g x為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結果cos x第1515頁共 2121 頁故答案為：，2【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質解不等式

18、，考查綜合分析求解能力，屬中檔題 三、解答題(1)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)(2)直接利用裂項相消法求和【詳解】(1)(1)當n 1時，a a14 4因為 a ai4 4 也適合上式,4所以迷3【點睛】1717 已知數(shù)列an滿足ai4a27a3L 3n 2 an4n求數(shù)列an 1an 2的前n項和為Sn. .4I 答案】(1)an齊；53n4n4【解析】(1)(1)利用作差相減法求數(shù)列an的通項公式，注意驗證n 1的情況是否滿足;當n 2時，a14a27a33n2 an4n,a-i4a27a3L3n 5an 1兩式相減，可得3n2an4,故an43n依題意，an163n 1 3n3n

19、1 3n 4 故Sna2a3a3a4L an 1an 21丄L1010133n 113n+413n 44n3n 4第1616頁共 2121 頁本題考查求數(shù)列通項以及裂項相消法求和, 考查綜合分析求解能力，屬中檔題第1717頁共 2121 頁1818 .某品牌奶茶公司計劃在 A A 地開設若干個連鎖加盟店，經(jīng)調(diào)查研究，加盟店的個數(shù) x x與平均每個店的月營業(yè)額 y y( (萬元) )具有如下表所示的數(shù)據(jù)關系：X X2 24 46 68 81010y y20.920.920.220.2191917.817.817.117.1(1)(1)求 y y 關于 x x 的線性回歸方程；根據(jù)中的結果分析，為

20、了保證平均每個加盟店的月營業(yè)額不少于地開設加盟店的個數(shù)不能超過幾個？$ bxa中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為X Xix xy yiy yy29 2219 178門1 219. .55_xix yiy 41.921.2 21.241.97.6 2.4 2.4 7.6i 15 2Xix 16 4 4 16 40，i 15_XiX% y所以$20.5，X xi 1X Xi2 1【答案】(1)(1)$0.5x22；(2)14(2)14 個. .【解析】(1)(1)先求均值，再代入公式求，即得結果;(2)(2)根據(jù)線性回歸方程列不等式，解得結果 【詳解】(1)(1)依題意，x2 4 6 8 10

21、514.614.6 萬元，則 A A參考公式：線性回歸方程20n第1818頁共 2121 頁所以$ y $X 19 0.5 622，第1919頁共 2121 頁故所求的線性回歸方程為$ o.5x 22- -依題意，令0.5x2214.6，解得x 14.8. .因為x N，所以 A A 地開設加盟店的個數(shù)不能超過1414 個. .【點睛】 本題考查線性回歸方程及其應用，考查基本分析求解能力，屬基礎題11919 如圖，在四棱錐 S S ABCDABCD 中，AB AD SD SB SC 2,2DSC BSC DAB 90. .SF 1(1)(1)若點 F F 在棱SC上且，證明：SA/平面BDF;

22、FC 3(2)(2)求三棱錐A SBC的體積. .1616【答案】(1)(1)證明見解析；(2)(2)16. .9 9SA/OF,再根據(jù)線面平行判定定理得結果;(2)(2)先利用線面垂直判定定理證明SC平面SBD，再證明BD平面 SACSAC，最后根據(jù) 錐體體積公式求結果. .【詳解】(1)(1)如圖，連接AC,記AC與BD的交點為 0 0,連接 OFOF . .由題易知BD 2.2，BC CD 2、5. .所以可得ADC也ABC，所以ADO如ABO，所以AO BO .2. .而CO 2 5彳23、2，易知AOOC1，故叢3 OC匪1，故SA/OF. .FC 3因為SA平面BDF, OFOF平

23、面BDF，所以SA/平面BDF第2020頁共 2121 頁(2)(2)因為SC SB,SC SD，又SBI SD S，故SC平面SBD. .所以SC BD如圖，連接SO,則SC SO,可知OSC為直角三角形，os OC2SC2, 2，4易知點 S S 到直線AC的距離為一，3由(1)(1)易知AC BD，又因為SC1故VASBCVBSAC3SSACOB【點睛】本題考查線面平行判定定理、線面垂直判定定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題 2020 .已知拋物線 C C:y22px(p 0)的焦點 F F 到準線 I I 的距離為 2 2,直線li過點 F F 且與拋物線交于

24、M M、N N 兩點，直線I2過坐標原點 O O 及點 M M 且與 I I 交于點 P P,點 Q Q 在線 段MN上. .(1)(1) 求直線NP的斜率；1 1 1(2)(2) 若“2,2,T成等差數(shù)列，求點 Q Q 的軌跡方程. .FM FQ FN2o【答案】(1)0(1)0 ； (2)(2)2 x 1y24(y 0). .【解析】(1)(1)先求拋物線方程，再設直線 h h 方程以及 M,NM,N 坐標，解得 P P 點坐標，根據(jù)斜 率公式化簡直線NP的斜率，最后聯(lián)立直線方程與拋物線方程， 利用韋達定理代入化簡 即得結果；小211(2)(2)設Q X0,y0，根據(jù)等差中項性質以及弦長公

25、式化簡條件得222，再根據(jù)y。y1y2(1(1)中韋達定理化簡右邊式子，最后根據(jù)mX0_1代入化簡得點 Q Q 的軌跡方程y。【詳解】00 3BD,AC I SC C，故BD平面 SACSAC . .339第2121頁共 2121 頁2依題意，可得p3，所以拋物線 C C：y 4x. .x my 1,2my 1，聯(lián)立2，得y 4my 40. .y 4x,設M Xi,%,N X2,y2,易知人0,x39故點 Q Q 的軌跡方程為2x1 y 4(y【點睛】本題考查拋物線方程、直線與拋物線位置關系以及動點軌跡方程，考查綜合分析求解能力，屬中檔題 2121 .已知函數(shù) (1)(1)討論函數(shù)f x的單調(diào)

26、性;設直線li:x1，則yiy24m,y24,直線12:yyixxi第2222頁共 2121 頁因為準線 I I :x 1，故P 1,上Xi設Q xo,yo（yo0）211得222YoYiY2Q12Yi1YIY2222yiy216m821 m -22Y22Yi2Y21612因為mXo所以2Xo11Yo2Yo朮22o化簡可得2 xo1yo4（yoo）若yf x的圖象與直線ymx交于M XMVM,NXN, YN兩點，且丄Y2_Yi故直線NP的斜率為xiY2X1YiX21x1x21m% y? %y?x1x21ox1x21由(1)(1)可得FQm22FMm2yi，2FN1 m2y|. .由題可知22F

27、Q11FM2FN2,In x. .2yo，第2323頁共 2121 頁XMXN1，求實數(shù) m m 的取值范圍【答案】當m 0時,x在0,上單調(diào)遞減；當m 0時，x在0,2m上單調(diào)遞減，在2m上單調(diào)遞增；當m 0時,x在0,2m上單調(diào)遞減,在2m上單調(diào)遞增；(2)(2). .2e4【解析】(1)(1)先求導數(shù), 根據(jù)m0,m 0以及m0三種情況討論導函數(shù)符號，進而確定對應單調(diào)性;(2)(2)先構造函數(shù)F x2 2m x In x mx，再求導數(shù),根據(jù)m0以及m 0兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性，結合單調(diào)性確定滿足條件的不等式, 解得的取值范圍，最后利用零點存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個零點【詳解

28、】(1)(1)依題意，x 0,c2x 2m x2 22m x 1一2mx 1一2mx 1若m0，則f10，故f xx0,上單調(diào)遞減若m0,令f0，解得x2或x2mJ2m(i(i)若0，則22m二0，則當x2m調(diào)遞減,22m,時,單調(diào)遞增;(ii(ii )若m2m0，2m則當x0,于時，f調(diào)遞減，當J2m,時，f0，f x單調(diào)遞增. .綜上所述,0時，fx在0,上單調(diào)遞減；當m 0時，fx在0汶2m第2424頁共 2121 頁0,第2525頁共 2121 頁顯然m 0. .上單調(diào)遞減，在2m上單調(diào)遞增；當m 0時,x在0,22m上單調(diào)遞減,2m上單調(diào)遞增令m2x2In x mx，則由題意可知m2

29、x2Inxmx0有兩個大于 1 1 的實數(shù)根,2 2 .令F x m x In x mx，貝 y yFx x1若m 0,則當x 0,時，F(xiàn) xm212mx 1 mx 12m x mxx0,當x -,時，F(xiàn) x 0,m11要滿足已知條件， 必有F Inmm11,m若m 0，則當x 0,時，F(xiàn) x2m0,0,此時無解；10，當x,時，F(xiàn) x 0,2m13要滿足已知條件，必有F2m411,2m1c當3m 0時，F(xiàn)x在1,12e42mF x在1,1上有 -個零點 2m卄111 11勿知2且F22m2mmmm令g x xIn x，則gx 11一，當x當x 1時，g x0，故g xg 10,In 2m 0

30、,解得13m0. .2e4上單調(diào)遞減，F(xiàn) 1F12m0，故函數(shù)11In2 2m mIn2，下證：mx In x 0. .0 x 1時，g x 0,1 In1 0，即x Inx 0,F 1 m2mF 1 m2m0,第2626頁共 2121 頁丄F丄22m m0,故F第2727頁共 2121 頁11又F x在，上單調(diào)遞增，故F x在，2m2m上有一個零點 1綜上所述，實數(shù) m m 的取值范圍為3,0. .2e刁【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及利用導數(shù)研究函數(shù)零點，考查分類討論思想方法以及綜合分析求解能力，屬難題 xa 3t2222 已知平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)） 以原點y1 4tO為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1 1）求實數(shù)a的取值范圍；1 1（2 2）若a 2，點A 2,1，求喬的值. .【答案】（1 1）；（2 2）佰.4435【解析】（1 1）將曲線C的極坐標方程化為普通方程， 將直線I的參數(shù)方程化為普通方程，可知曲線C為圓，利用圓心到直線I的距離小于半徑，列出關于實數(shù)a的不等式，解出即可；-t1 1方程聯(lián)立，列出韋達定理