隨機(jī)變量與其分布

1、隨機(jī)變量與其分布 在在 1100 這這 100 個數(shù)中任取一個個數(shù)中任取一個, 用用X表示取得的數(shù)值表示取得的數(shù)值, 則則 X 是一隨機(jī)變量是一隨機(jī)變量, 試用試用X 表示下列事件表示下列事件 ：（1）取得的數(shù)為偶數(shù)）取得的數(shù)為偶數(shù) （ ）（2）取得的數(shù)為奇數(shù)）取得的數(shù)為奇數(shù) （ ）（3）取得的數(shù)為兩位數(shù)）取得的數(shù)為兩位數(shù) （ ）解答返回 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值是是0, 1, 2, 3, 取這些值的概率依次為取這些值的概率依次為0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 試寫出試寫出X的分布函數(shù)的分布函數(shù). 2.3 含含10個次品的某批產(chǎn)品共個次品的某批產(chǎn)品共100

2、個個, 求任意取出的求任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分布布.解答返回解答設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0 ,0s in,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 解答返回 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XPXPX 求求 在下列函數(shù)中在下列函數(shù)中, 哪些函數(shù)是隨機(jī)變哪些函數(shù)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)量的分布函數(shù)(在括號內(nèi)填上在括號內(nèi)填上“是是”或或“否否”, 并簡要說明理由并簡要說明理由) ?e,0(1)( )()0,011(2)( )arctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 解答返回 一匹零件中有一匹零件中有9

3、個正品和個正品和3個次品個次品. 安裝機(jī)器時從這批零件中任取安裝機(jī)器時從這批零件中任取1個使用個使用. 如如果取出的次品不再放回去果取出的次品不再放回去 , 求在取出正品求在取出正品前已取出的次品數(shù)前已取出的次品數(shù)X的分布律的分布律. 對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊, 直至擊中時為止直至擊中時為止. 如果每次射擊的命中率為如果每次射擊的命中率為 p, 求射擊次數(shù)求射擊次數(shù)的概率分布的概率分布. 解答返回解答 進(jìn)行進(jìn)行8次獨(dú)立射擊次獨(dú)立射擊, 設(shè)每次擊中目標(biāo)設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為的概率為 0.3, 問擊中幾次的可能性最大問擊中幾次的可能性最大? 并并求相應(yīng)的概率求相應(yīng)的概率.解答返回解答

4、已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布服從泊松分布 P(0.2) , 試計(jì)算試計(jì)算X的概率分布的概率分布(近似到小數(shù)點(diǎn)后近似到小數(shù)點(diǎn)后4位位) , 并求一頁上印刷錯誤并求一頁上印刷錯誤不多于不多于1個的概率個的概率. 站為站為300個用戶服務(wù)個用戶服務(wù). 設(shè)在設(shè)在1小時小時內(nèi)每一用戶使用內(nèi)每一用戶使用 的概率為的概率為 0.01 , 求在求在1小時小時內(nèi)有內(nèi)有4個用戶使用個用戶使用 的概率的概率 ( 先用二項(xiàng)分布計(jì)先用二項(xiàng)分布計(jì)算算, 再用泊松分布近似計(jì)算再用泊松分布近似計(jì)算, 并求兩次計(jì)算的并求兩次計(jì)算的相對誤差相對誤差) .解答返回解答 設(shè)公共汽車站

5、每隔設(shè)公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通分鐘有一輛汽車通過過, 乘客在任一時刻到達(dá)汽車站都是等可能的乘客在任一時刻到達(dá)汽車站都是等可能的. 求乘客的候車時間不超過求乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率. ( (柯西分布柯西分布) )設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A, B ; (2) X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(-1 , 1) )內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .解答返回 2.14 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 證證明明:

6、 對任意非負(fù)實(shí)數(shù)對任意非負(fù)實(shí)數(shù) s及及t , 有有 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為的分布密度為 f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A ; (2) X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F (x) .( )e 解答返回解答 P Xst XsP Xt 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(1,4), 試?yán)谜龖B(tài)分布函數(shù)的關(guān)系計(jì)算下列事件的概試?yán)谜龖B(tài)分布函數(shù)的關(guān)系計(jì)算下列事件的概率率: (1)2.2 ; (2)11 ; (3)4.56P XP XP X 2.16 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為,

7、 的正態(tài)的正態(tài)分布分布N(, 2), 求求 X 落在區(qū)間落在區(qū)間( -k, +k )內(nèi)的內(nèi)的概率概率( k=1, 2, 3,) .解答返回解答（1）取得的數(shù)為偶數(shù)）取得的數(shù)為偶數(shù) （ ）（2）取得的數(shù)為奇數(shù)）取得的數(shù)為奇數(shù) （ ）（3）取得的數(shù)為兩位數(shù)）取得的數(shù)為兩位數(shù) （ ） 在在1100這這100個數(shù)中任取一個個數(shù)中任取一個, 用用 X表示取得的數(shù)值表示取得的數(shù)值, 則則 X 是一隨機(jī)變量是一隨機(jī)變量, 試用試用X 表示下列事件表示下列事件 ： 211, 2, 50Xkk 21, 2, 50Xk k 10,11, 99Xk k 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值是是0,

8、 1, 2, 3, 取這些值的概率依次為取這些值的概率依次為0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 試寫出試寫出X的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解 由分布函數(shù)的定義可得由分布函數(shù)的定義可得 ()0 ,00.1 ,010.3 ,120.6 ,231 ,3kxF xPXxPXkxxxxx 設(shè)取出的設(shè)取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)為個產(chǎn)品中次品數(shù)為X, 則則X服從超幾何分布服從超幾何分布, 它的所有可能取值是它的所有可能取值是 0, 1, 2, 3, 4, 5. 所求分布律為所求分布律為 含含10個次品的某批產(chǎn)品共個次品的某批產(chǎn)品共100個個, 求求任意取出的任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分布個產(chǎn)品中次品數(shù)的概

9、率分布.5-10905100C C,0,1,2,3,4,5CiiP Xii 解解即即0123450.5838 0.3394 0.0702 0.0064 0.0002 0.0000X 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0 ,0sin,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XP XP X 求求解解 1(1)0.91(1)(10)0.9sin1P XFP XFF 222(2 0)( 2)0.9 00.911012(0) 1(2 0)0 1 0.90.1P XP XP XFFP XP XP XFF e,0(1)( )()0,011(2)( )a

10、rctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 在下列函數(shù)中在下列函數(shù)中, 哪些函數(shù)是隨機(jī)變哪些函數(shù)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)量的分布函數(shù)(在括號內(nèi)填上在括號內(nèi)填上“是是”或或“否否”, 并簡要說明理由并簡要說明理由) ?;0( )xF x 否否時時遞遞減減;( )F xx 否否在在0 0點(diǎn)點(diǎn)非非右右連連續(xù)續(xù);( )F x是滿足3個性質(zhì)是滿足3個性質(zhì) 因取出的次品不再放回因取出的次品不再放回, 所以所以X的所有可能的所有可能取值是取值是0, 1, 2, 3. 設(shè)設(shè) Ai 為為 “第第i次取出的是合格次取出的是合格品品”, i=1, 2, 3, 4, 則則 一匹零件中有一

11、匹零件中有9個正品和個正品和3個次品個次品. 安裝安裝機(jī)器時從這批零件中任取機(jī)器時從這批零件中任取1個使用個使用. 如果取出的次如果取出的次品不再放回去品不再放回去 , 求在取出正品前已取出的次品數(shù)求在取出正品前已取出的次品數(shù)X的分布律的分布律.解解 1930()124P XP A 1212312343991()12114432992()121110220321913()1211109220P XP A AP XP A A AP XP A A A A 于是于是01233991444220220X 用用 Ai 表示表示 “第第i次擊中次擊中” , 則則 P(Ai) = p , i= 1, 2,

12、, 且因各次射擊擊中與否是相互且因各次射擊擊中與否是相互獨(dú)立的獨(dú)立的, 所以所以 A1 , A2 , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊, 直至擊中時為直至擊中時為止止. 如果每次射擊的命中率為如果每次射擊的命中率為 p, 求射擊次數(shù)的求射擊次數(shù)的概率分布概率分布. 解解 設(shè)設(shè) X 為射擊次數(shù)為射擊次數(shù), 則其可能的取值則其可能的取值 1, 2, 且事件且事件 X=k 表示表示 “前前 k-1 次未擊中次未擊中, 第第k次次擊中擊中”.所以所以11111()()() ()(1),1,2,kkkkkP XkP AAAP AP AP Appk 即即X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾

13、何分布的幾何分布.11kkXkAAA 即即 設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X, 則則X 服從二項(xiàng)分服從二項(xiàng)分布布B(8, 0.3), 其分布律為其分布律為 進(jìn)行進(jìn)行8次獨(dú)立射擊次獨(dú)立射擊, 設(shè)每次擊中目標(biāo)的概設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為率為 0.3, 問擊中幾次的可能性最大問擊中幾次的可能性最大? 并求相應(yīng)的并求相應(yīng)的概率概率. 88C 0.3 0.7,0,1, 2, 8kkkP Xkk 解解 8811818C 0.3 0.72.711C0.3 0.70.72 ,1;2 ,111kkkkkkP XkkP XkkP XkP XkkkP XkP Xk 因因所所以以當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時故故 k=2時時P

14、X=k取得最大值取得最大值, 相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率為為228C 0.3 0.76 (0.2965) 已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布服從泊松分布 P(0.2) , 試計(jì)算試計(jì)算X的概率分布的概率分布 (近近似到小數(shù)點(diǎn)后似到小數(shù)點(diǎn)后4位位) , 并求一頁上印刷錯誤不多于并求一頁上印刷錯誤不多于1個的概率個的概率. 0.20.2e,0,1, 2,kP Xkkk ！解解 因參數(shù)為因參數(shù)為0.2, 所以分布律為所以分布律為0123440.8187 0.1638 0.0164 0.0011 0.00010kX 即即故故 一頁上印刷錯誤不多于一頁上印刷錯誤不多

15、于1個的概率為個的概率為101 0.9825P XP XP X 設(shè)設(shè)X為為1小時內(nèi)使用小時內(nèi)使用 的戶數(shù)的戶數(shù). 因各用戶因各用戶使用使用 與否相互獨(dú)立與否相互獨(dú)立, 所以所以XB(300, 0.01) 站為站為300個用戶服務(wù)個用戶服務(wù). 設(shè)在設(shè)在1小時小時內(nèi)每一用戶使用內(nèi)每一用戶使用 的概率為的概率為 0.01 , 求在求在1小時小時內(nèi)有內(nèi)有4個用戶使用個用戶使用 的概率的概率 ( 先用二項(xiàng)分布計(jì)先用二項(xiàng)分布計(jì)算算, 再用泊松分布近似計(jì)算再用泊松分布近似計(jì)算, 并求兩次計(jì)算的并求兩次計(jì)算的相對誤差相對誤差) .442963004C0.01 0.990.1689P X 從從而而4334e0.

16、1680(3)4P X 泊泊松松分分布布近近似似！解解 0.1689 0.16800.530.1689兩兩次次計(jì)計(jì)算算的的相相對對誤誤差差為為： 由題意知乘客的候車時間由題意知乘客的候車時間X在區(qū)間在區(qū)間0,5上服從均勻分布上服從均勻分布, 設(shè)公共汽車站每隔設(shè)公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車分鐘有一輛汽車通過通過, 乘客在任一時刻到達(dá)汽車站都是等可能乘客在任一時刻到達(dá)汽車站都是等可能的的. 求乘客的候車時間不超過求乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率. 0.2,0,5( )0,xf x 其其他他解解 于是于是, 乘客的候車時間不超過乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率30

17、030.2d0.6PXx 故其分布密度為故其分布密度為 ( (柯西分布柯西分布) )設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A, B ; (2) X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(-1 , 1) )內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .11(1)()0,()1,2FFAB 由由可可得得解解 11( )arctan2F xx從而從而1(2) 11(1)( 1)2PXFF 21(3)( )( )(1)Xf xF xx 的的分分布布密密度度 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )設(shè)連續(xù)

18、型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為的分布密度為: f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A ; (2) X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F (x) .0(1)1( )d2e d2xf xxAxA 由由11,( )e22xAf x 得從而得從而001e d ,012( )ed21e de d,021e ,0211e ,02xxxxxxxxxxxF xxxxxxx 解解 (2) X的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為 因?yàn)橐驗(yàn)閄 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 所以其分布所以其分布函數(shù)為函數(shù)為 ( )e 1e,0( )0,0 xxF xx ,1( )exx P XxF x 故故對對任任意意非非負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 證明證明: 對任意非負(fù)實(shí)數(shù)對任意非負(fù)實(shí)數(shù) s及及t , 有有 ( )e P Xst XsP Xt證證 于是于是()eee s ttsP Xs tP XsP Xs t XsP XsP Xs tP XtP Xs 設(shè)設(shè) X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 , 則則 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(1,4) , 試?yán)谜龖B(tài)分布函數(shù)的