數(shù)列知識點歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列一、等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)1. 等差數(shù)列的定義式：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項公式： ， 首項:，公差:d 推廣： 從而；3等差中項（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，是項數(shù)為2n-1的等差數(shù)列的中間項（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列 （3） 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,

2、（其中A、B是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列等差中項性質(zhì)法：7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）設(shè)項技巧：一般可設(shè)通項奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.（4）若、

3、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列，其中 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k (k)項取出一項()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，則 當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，則（其中是項數(shù)為2n-1的等差數(shù)列的中間項）（8）、的前和分別為、，則.（9）等差數(shù)列的前n項和，前m項和，則前m+n項和則(10) 求的最值法一：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和即當(dāng) 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增

4、等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當(dāng) 由可得達到最小值時的值或求中正負分界項注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量二、等比數(shù)列性質(zhì)總結(jié)1、等比數(shù)列的定義: ，注意：（1）公比一定是由后項比前項（相鄰的兩項）所得，而不能用前項比后項來求；（2）由公比知，等比數(shù)列中的每一項都不為零；（3）. 在等比數(shù)列中， 當(dāng)，q >1時，數(shù)列是遞增數(shù)列； 當(dāng)，數(shù)列是遞增數(shù)列； 當(dāng)，時，數(shù)列是遞減數(shù)列； 當(dāng)，q >1時，數(shù)列是遞減數(shù)列； 當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列； 當(dāng)時，數(shù)列是擺動數(shù)列.

5、（4）若一個數(shù)列既為等差數(shù)列又為等比數(shù)列為非零常數(shù)列.（5）等比數(shù)列的奇數(shù)項的符號相同；偶數(shù)項的符號相同.2、等比數(shù)列的通項公式： 推廣為：注意：(1)等比數(shù)列的計算問題中，首項和公比是基本量；(2) 有以下幾種方法可以計算公比 其中，若公式中的指數(shù)，為偶數(shù)，開方求公比，要根據(jù)題意選取正確的符號。3、等比中項：若,是等比數(shù)列，則叫做與的等比中項. 由等比數(shù)列的定義可知:.注意：（1）同號；也是的等比中項；均為非零常數(shù)；（2）任意兩數(shù)的等比中項不一定存在且不唯一；所以，是,成等比數(shù)列的必要非充分條件；4、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1) 下標(biāo)和性質(zhì)：下標(biāo)和相等，則對應(yīng)項的積相等；使用條件：等式兩邊項的個數(shù)

6、相同，且項數(shù)之和相同.在等比數(shù)列， 若且，則；反之是否成立？No！若,則成立嗎? NO!若,則成立嗎? YES! 從等比數(shù)列中抽取等距離（即下標(biāo)成等差）的項組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，如：；(2) 若是以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列，等也為等比數(shù)列，公比分別為，但不一定是等比數(shù)列. 若數(shù)列、為項數(shù)相同的等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列.5、等比數(shù)列的判定方法： (1) 定義法：對于任意，驗證為同一常數(shù)；(2) 等比中項法：驗證成立；(3) 通項公式法：驗證，其中都為非零常數(shù), .6、等比數(shù)列設(shè)元技巧：（1）三數(shù)成等比：設(shè)三數(shù)為；（2）四個同符號的數(shù)成等比：設(shè)四數(shù)為7、等比數(shù)列前項和公式：注意：（1） 等比數(shù)

7、列前項和公式要注意分和兩種情況；（2） 等比數(shù)列的通項公式與前項和公式共涉及5個量，知道其中任意3個量就可求出另外2個量，注意前提條件是；8、等比數(shù)列前項和的的性質(zhì)：公比不為1的等比數(shù)列的依次項之和構(gòu)成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，如：， .9、等比數(shù)列前項和的函數(shù)特性：當(dāng)時，等比數(shù)列的前項和公式，其中； 數(shù)列為非常值等比數(shù)列的充要條件是.10、等差數(shù)列與等比數(shù)列間的聯(lián)系（1）若是各項為正的等比數(shù)列，則是等差數(shù)列（）；（2）若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列（）11、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比等差數(shù)列等比數(shù)列加法乘法減法除法乘法乘方除法開方01三、遞推數(shù)列求通項類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法求解。

8、類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。類型3 （其中均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。類型4 遞推公式為與的關(guān)系式(或).解法：這種類型一般利用 與消去 或與消去進行求解。四、數(shù)列求和在解數(shù)列求和問題時，要注意觀察所給數(shù)列的通項，由通項形式上的特點來選取合適的方法進行解答，也要注意分類討論思想的運用。第1類：錯位相減法（等差等比）這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項和，其中，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。第2類：裂項相消法裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）裂成兩項（或若干項），使

9、之按某規(guī)律組合后，能消去若干項，最終達到求和的目的，通項一般可分解（裂項）如：1、乘積形式，如： 2、根式形式，如： 第3類：分組求和法（等差等比）有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列通項適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將每組的和合并即可。五、數(shù)列極限定義：一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)（即無限趨近于），那么就說數(shù)列以為極限記作.注：（1）不是所有無窮數(shù)列都有極限，但如果有極限，則必是一個唯一確定的常數(shù)；（2）改變數(shù)列的有限項，不會影響數(shù)列的極限存在性.2、幾個常用的數(shù)列極限：（1）C= （C為常數(shù)）； （2）= ；（3） 3、數(shù)列極限的四則運算法則： 如果，那么； ； 特別地，如果是常數(shù)，那么，注：（1）運算法則使用的前提：1)、每一個已知數(shù)列都存在極限；2)、這些數(shù)列的個數(shù)必須是有限的。（2）上述結(jié)論可推廣到有限個數(shù)列的情形；（3）數(shù)列極限的運算性質(zhì)的實質(zhì)：四則運算與極限運算可交換.4. 常見數(shù)列極限類型及求法：類型1：分式型 ，其中 f(n)，g(n) 都是關(guān)于 n 的多項式方法：分子，分母同除以 n 的最高次冪，再利用 結(jié)論：類型2：指數(shù)型