四邊形輔助線專題訓(xùn)練資料講解

1、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)0是平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCD是平行四邊形 求證:0E與AD互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形2 利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2,在厶ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF, ED/AC, FG/AC交BC分別為 D, G. 求證：ED+FG=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題3 利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知 AD

2、是 ABQ的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求證BF=AC.圖說明：本題通過利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行 四邊形當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題例4如圖5,在厶ABC中，/ ACB=90，/ BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC EF/BC交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形 CDEF是菱形.例5 如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證EF+BF 的最小值等于DE長(zhǎng).Ti圖6說明：菱形

3、是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多,常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種： （1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股 定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問 題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少 例6 如圖7,已知矩形 ABCC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5求PD的長(zhǎng).GAIF/1 、1/ 1L.1二C圖7四、與正方形有關(guān)輔助線的作法又是中心對(duì)稱圖形， 有關(guān)正方形的試對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔正方形是一種完美

4、的幾何圖形， 它既是軸對(duì)稱圖形, 題較多解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形 助線例7如圖8,過正方形 ABCD勺頂點(diǎn)B作BE/AC，且AE=AC又CF/AE.求證：/ BCF=2 /AEB.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)通過連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形 AHBQ進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法、有中線時(shí)可倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形.例1已知：如圖，AD為 ABC中線，求證： AB AC 2AD.類題1已知：如圖，AD為 ABC的中線，AE=EF.求證：BF=AC.C二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍此線段，構(gòu)造全

5、等三角形或平行四邊形例2.已知：如圖，在 ABC中，C 90 ,皿為AB中點(diǎn)，P、Q分別在AGBC上，且PM QM 于 M.求證：PQ2 AP2 BQ2.類題2已知： ABC的邊BC的中點(diǎn)為N,過A的任一直線 AD BD于D, CE AD于 E.求證：NE=ND.三、有中點(diǎn)時(shí)，可連結(jié)中位線.例3.如圖， ABC中，D E分別為AB AC上點(diǎn)，且 BD=CE M N為BE、CD中點(diǎn)，連 MN交 AB AC于 P、Q 求證：AP=AQ類題3已知：如圖，E、F分別為四邊形 ABCD勺對(duì)角線中點(diǎn)，AB>CD求證：EF - AB CD2類題4.如圖， ABC中，AD是高，CE為中線，DG CE，G

6、為垂足，DC=BE求證：（1） G是 CE的中點(diǎn)；（2） B 2 BCE.AC四、有底邊中點(diǎn)，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題例4.已知：如圖，在 Rt ABC中， BAC 90 , AB=AC D為BC邊中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，PF AB 于 F, PE AC 于 E.求證：DF=DE.類題5.已知：如圖，矩形ABCDE為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CEF為AE中點(diǎn)，求證：BF FD A六、與梯形中點(diǎn)有關(guān)的輔助線：有腰中點(diǎn)時(shí)，常見以下三種引輔助線法ABCD中, AD/ BC, ABBC , M為CD的中點(diǎn)求證：AM=MB.類題6.已知：梯形 ABCD中, AB/ CD E為BC中點(diǎn)，E

7、F AD于F.求證:S梯形ABCDEF AD .【作業(yè)】1、已知 ABCn DBE為等腰直角三角形，/ ABC* DBE=90 , A B、D在同一直線上， M N P分別是AD AC DE邊上的中點(diǎn)，試說明 MP與MN的關(guān)系并證明。2、如果上題中 A、B、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論是否發(fā)生變化？證明結(jié) 論。3、平行四邊形 ABCD對(duì)角線相交于點(diǎn) Q P、E、F分別是AD OB 0C的中點(diǎn)，AC=2AB 求證：PE=EF4、等腰梯形ABCD中,OA BC的中點(diǎn)。BC求證： EFM是等邊三角形。B5、如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD MN與 PQ互相垂直平分。M N、P、Q

8、分別是AD BCBD AC的中點(diǎn)。求證:C6、如圖，在厶ABC中，E是AB的中點(diǎn),CD平分/ ACB AD丄CD垂足為點(diǎn) D,求證：2DE=BC-ACBC7、BD CE分別為 ABC外角平分線, 關(guān)系。附加題:(1) 若將上題中BD改為/ ABC的平分線，其它條件不變，則上題結(jié)論是否成立。(2) 若BD CE分別為/ ABC和/ ACB的平分線，其它條件不變，以上結(jié)論是否成立？(畫圖、 證明)8、A ABC中，AB=AC / BAC=，在 AB AC上截取 AD AE,且AD=AE連結(jié) D呂如圖1所 示，則易證BD=CE如圖2所示，將 ADE逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD C呂(1) 判

9、斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系及BD CE延長(zhǎng)線所夾銳角的度數(shù)。A(2 )點(diǎn)G F分別是等腰的中點(diǎn)，試探索/ GPF與BABG等腰 ADE底邊的中點(diǎn),的關(guān)系，并加以證明。BEBAC=/ DAE=，點(diǎn) P 是線段 CDB G請(qǐng)解答下列問題:9、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.(1) 寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2) 如圖1,在厶ABC中，AB=AC點(diǎn)D在BC上，且CD=CA點(diǎn)E、F分別為BC AD的中點(diǎn), 連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形；(3) 如圖2,若點(diǎn)D在厶ABC的內(nèi)部，(2)中的其他條件不變， EF與

10、CD交于點(diǎn)H.圖中是 否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖1順次連結(jié) EF, FG, GH HE,C1、在四邊形 ABCD中, E,F,G,H分別是AB, BC CD DA的中點(diǎn),)C. / HEF = / EFGD. / HGF = / HEF(1)請(qǐng)判斷四邊形 EFGH的形狀，并給予證明；(2 )試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形，并說明理由。2、如圖,在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD點(diǎn)M,N,P,Q分別是 AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證：四邊形MNPQ!矩形.小結(jié)：中點(diǎn)四邊形：對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)

11、四邊形是矩形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形(1)順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(2) 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 (3) 順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 (4) 順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 練習(xí)題：1、順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形一定是( A.矩形B.直角梯形C菱形D.正方形2、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會(huì)計(jì)劃在空地上建一個(gè)四邊形的水池， 使水池的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在梯形各邊的中點(diǎn)上，則水池的形狀一定是A、等腰梯形 B、矩形

12、C、菱形 D、正方形3、 .順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)， 得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形滿足條件的是 ()平行四邊形菱形等腰梯形對(duì)角線互相垂直的四邊形A.B.C.D.4、 順次連接四邊形 ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD-定是A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形5. 如圖，在梯形 ABCD中, AB/ CD AD=BC點(diǎn)E,F,G,H分別是 AB,BC, CD DA的中點(diǎn)，則 F列結(jié)論一定正確的是().B. / GHE = / HEFA. / HGF = / GHE6、如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1,則第n個(gè)矩形的面積7、我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形若一個(gè)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，則四邊形ABCD可以是8、 如圖，點(diǎn)E、F、G H分別是任意四邊形 ABCD中 AD BD BC CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形 ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形 EFGH是菱形.第9題圖9、如圖，四邊形ABCD中 ,AC=a,BD=b,且ACLBD,順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A Bi Ci D ,再順次連接四邊形 AB1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四