二倍角的正弦

1、二倍角的正弦、余弦、正切”教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)理念： 根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，在個(gè)體從出生到成熟的發(fā)展過程中，智力發(fā)展 可以分為具有不同的質(zhì)的四個(gè)主要階段： 激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、 構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、 嘗試新的 認(rèn)知結(jié)構(gòu)、 發(fā)展新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 發(fā)展的各個(gè)階段順序是一致的， 前一階段總是達(dá)到后一階段 的前提。階段的發(fā)展不是間斷性的跳躍， 而是逐漸、持續(xù)的變化。 皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論 為發(fā)展性輔導(dǎo)中學(xué)生智力發(fā)展水平的評估和診斷，提供了重要的理論依據(jù)。教學(xué)內(nèi)容： 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)）必修4（人教 A 版），第三章、第一節(jié)、第 145148 頁?！岸督堑恼?、余弦、正切”是在研究了兩角和與差的

2、三角函數(shù)的基礎(chǔ)上研究具有 “二倍角” 關(guān)系的正弦、 余弦、正切公式， 它既是兩角和的正弦、 余弦、正切公式的特殊化， 又為以后求三角函數(shù)值、 化簡和證明提供了非常有用的理論工具， 通過對二倍角公式的推導(dǎo) 知道： 二倍角公式的內(nèi)涵是“揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律”，通過推導(dǎo)還讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)中由“一般”到“特殊”的化歸數(shù)學(xué)思想，因此這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué) 生運(yùn)算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。教學(xué)目標(biāo)： 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、本節(jié)教材的特點(diǎn)和學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)知特點(diǎn)，我 們把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1、能從兩角和的正弦、余弦、正切公式出發(fā)推導(dǎo)出二

3、倍角的正弦、余弦、正切公式， 理解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從中體會數(shù)學(xué)的化歸思想和數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程。2 、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通過對二倍角公式的正用、逆用、變形使 用，提高三角變形的能力，以及應(yīng)用轉(zhuǎn)化、化歸、換元等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。3 、通過一題多解、一題多變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新 意識和數(shù)學(xué)情感，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析：我們的學(xué)生從認(rèn)知角度上看，已經(jīng)比較熟練的掌握了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上。從學(xué)習(xí)情感方面看，大部分學(xué)生愿意主動學(xué)習(xí)。從能力上看，學(xué)生主動學(xué)習(xí)能力、 探究的能力、較弱。教材分析：對公式的引入改變了教材中直接填結(jié)果的做法，而是通過提出

4、問題，設(shè)置情景對和角公式中的角 二、.的關(guān)系特殊情形二 時(shí)的簡化，讓學(xué)生探討發(fā)現(xiàn)、推證得出二倍角公式，這樣學(xué)生會感到自然， 好接受，并可清晰知道和角的三角函數(shù)與二倍角公式的 聯(lián)系，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并體會到化歸（這里是將一般化歸到特殊）這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，對教材的例題則有所增減，處理方式也有適當(dāng)改變。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：使學(xué)生在掌握了和角、差角公式后如何將和角公式化為二倍角公式，以及公式的兩種變形和公式成立的條件；如何學(xué)會去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并體會化歸、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，能正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角化簡、求值、證明等。難點(diǎn)：靈活應(yīng)用二倍角公式變形的態(tài)

5、式，熟練解三角綜合題。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)啟發(fā)、設(shè)置情景、引出正題1、（復(fù)習(xí)性提問）：請同學(xué)回顧兩角和的公式（學(xué)生回答，教師板書）sin（ct + sin a cos + c c*s a sin ,5cos（a += coscos/9- sinsin 0y 皿 tan« + tantan （cr -b =二'1 - tan a tan2、（探索性提問）當(dāng)上述公式中角 匸、具有特殊化關(guān)系二時(shí)，公式變?yōu)槭裁葱?式？請一名學(xué)生到黑板上演示簡化，其他同學(xué)在座位上做。學(xué)生板書:皆in（切 + =sin 已ex e + 亡g& n 當(dāng)in 2a- 2占慌 a c os ac<i

6、s（£T+ cr） = cos acos<r- sin ctsin ex cos2cr = cos cc- sin a、 tan ec 十 tan U小2 tan Gtan（0f+ 民）n tan 2a=1- tan detail cr1- tanJ a3、集體訂正后，引導(dǎo)學(xué)生觀察其結(jié)構(gòu)，并指名回答觀察結(jié)果（學(xué)生回答：左邊角均為】二，右邊角均為二，具有“二倍”關(guān)系）4、引入正題師：肯定學(xué)生觀察結(jié)論準(zhǔn)確，并加以說明公式中蘊(yùn)含著“對稱”、“和諧”之美教師板書（放幻燈片）sin 2zf= 2sin二倍角公式簡記為cos 2a -匚os cr - sin a2 tan erten 2c

7、e=r；1 - tan Jb.即為我們今天要學(xué)習(xí)的二倍角公式【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)公式，對其特殊化。讓學(xué)生學(xué)會從“一般”到“特殊”的化歸方 法，從而達(dá)到“溫故知新”的教學(xué)目的】二、引導(dǎo)探究、深化認(rèn)識1、回憶推導(dǎo)過程，讓學(xué)生明確二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之間的聯(lián)2、（探索性提問）對：cos 2盤=閔/ a-sm 2心中的平方聯(lián)想到s山圧+皿岸 心=1 , G口有無其他變式?（學(xué)生探索、總結(jié)得出兩種變式：I. -： - I - $）3、（深化性提問）：有了這組二倍角公式，我們是否可以放心大膽的應(yīng)用呢?（學(xué)生：不能，要注意公式成立的條件）引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和角公式的條件，禾U用類比的方法，探索

8、出二倍角公式的條件C2sjt . cosZn - cos or - sin 盤（盤 亡尺）:tan =2 tan a z 天& 口憑卞 仝 m h且盤h 十上打，七e7n l-tana:4 22指出：尤其注意 匚-成立的條件【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用聯(lián)想、類比的教學(xué)思想、得出公式成立的條件】4、（探索性提問）在匚中，當(dāng)左邊的7T（7 = -h 匕（上 E Z）時(shí)，雖然右邊的存在，但左邊的 二二二工存在，能否用'一求t二；二？該怎樣求?引導(dǎo)學(xué)生：改用誘導(dǎo)公式:tan 2a = tan+此打）=1311（加 + 七殲=tan 7T= 0【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對特殊情形，另辟蹊徑，尋找求

9、解依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致、靈活 的探索習(xí)慣】5、二倍角公式中的倍數(shù)關(guān)系是相對的，為深化對二倍角公式的理解，出示一組填空題（放幻燈片）（1）填角sin 4T= 2sin coscos3_- sin1_ - 2cos3_-1 三 1 - Ssin 32tan_1 - tan2(2)(填-二 L 號)般情況下:sin 2住_ 2;in a, cos 2揺_ 2 匚加 e,tan 2fl?_ 2tan 分【設(shè)計(jì)意圖：通過填空，讓學(xué)生靈活理解“二倍角”的含義，根據(jù)學(xué)生易混點(diǎn)，類比公式，展開訓(xùn)練，達(dá)到“跨越障礙、突破難點(diǎn)”之目的】三、鞏固公式，學(xué)習(xí)應(yīng)用出示四道例題，學(xué)生分組訓(xùn)練，每組一題，做完后組內(nèi)交流，訂正

10、答案，最后教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方法、技巧、要點(diǎn)、解題規(guī)范等。放幻燈片（第一組學(xué)生做）例 1、不查表，求下列函數(shù)值 sin 6730 cos 673(2) cos5-sin1-83 2tan 22.5e '1 tar? 22 亍(4)15-cos 15_ l-2sia3 【設(shè)計(jì)意圖：通過直接應(yīng)用公式、間接應(yīng)用公式、一題多解，鞏固二倍角公式】（第二組學(xué)生做）例2、已知：-，求讓丄二 V：皿件二丄1的值。講評：此題目中對角 二有范圍限制，做題中應(yīng)注意什么？僅知道：工二值,欲求二倍角正 弦、余弦、正切，先需要知道什么？ 在求值時(shí)，要靈活應(yīng)用亠三種等價(jià)形式 并注意在求解過程中要盡量使用已知的原始數(shù)據(jù)

11、，減少錯(cuò)誤的可能性【設(shè)計(jì)意圖：由淺入深，鞏固公式，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范、科學(xué)解題的能力 ，教給學(xué)生小結(jié)解題 經(jīng)驗(yàn)，做后反思】1- tan2 61 + sin 4-cos 4& 1+sin 43+ cos4（第三組學(xué)生做）例3、證明講評：證法1等價(jià)證:2 tan 日1 + sincos 4 _ 2 tan證法2：等價(jià)證：丄一一 id /證法3:巧妙應(yīng)用“ 1”，即用“-丄代換，后略?！驹O(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會等價(jià)證明、轉(zhuǎn)化證題及一題多證，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、散發(fā)性及創(chuàng)造性思維，加深鞏固二倍角公式和綜合應(yīng)用已學(xué)過的技巧證題】（第四組學(xué)生做）例4、利用三角公式化簡講評：此題技巧是：先將“切化弦”

12、，然后用已學(xué)過的知識和二倍角公式化簡【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)應(yīng)用所學(xué)知識解簡單三角綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題應(yīng)用能力】四、提煉總結(jié)放幻燈片（1）在兩角和的三角函數(shù)公式 “廠' -'-"中，當(dāng)*時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式'J '丄。說明：后者是前者的特例。（2 ）-'兒中角耳沒有條件限制，而“中，只有JT fc?r 口7T -, 3斤 a 否 一+ 且口杏一-ZJ時(shí)才成立。a a（3）二倍角公式不僅限于二4是耳的二倍形式，其他如上門是-門的二倍，；是的3a二倍，三二是的二倍等等都適用，要熟悉這些多形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地 應(yīng)用好二倍角公式

13、，這是靈活應(yīng)用公式的關(guān)鍵。匚8 2口有三種形式： cow 2二eq捫 銳一曲血 耳二2匚尿 a- 1二1一 2sin a。要依據(jù)條件靈活應(yīng)用公式，另外逆用此公式時(shí)更要注重結(jié)構(gòu)形式?！驹O(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識，抓住重點(diǎn)、難點(diǎn), 關(guān)鍵進(jìn)行課后復(fù)習(xí)鞏固 】五、作業(yè)布置：必做：教科書 P150習(xí)題3.1A組14、15【設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，檢查學(xué)習(xí)效果，及時(shí)反饋，插漏補(bǔ)缺】選做：（1 ）用十 二表示口匸匕、：門二二（即推導(dǎo)三倍角公式）C ,求的值4國 cost（2）已知：-。【設(shè)計(jì)意圖：對學(xué)有余力的學(xué)生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新】設(shè)計(jì)思路：1、本節(jié)

14、公式比較多，首先要搞清楚各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，也就是要很好地理解上面的知識結(jié)構(gòu)圖，其次理解如何由和角公式推導(dǎo)倍角公式，然后明確倍角的含義， 熟練地運(yùn)用倍角公式進(jìn)行求值、化簡等三角運(yùn)算及恒等變形。2、在三角式的運(yùn)算及恒等變形過程中，除了倍角公式外，也離不開前面所學(xué)的同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角公式等，它們是一個(gè)有機(jī)整體。在解題過程中要求學(xué)生先分 析條件與求解目標(biāo)之間的差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行轉(zhuǎn)化溝通，然后明確解題思路， 設(shè)計(jì)解題步驟，完善解答過程，培養(yǎng)邏輯思維能力。3、我們通過一題多解，使我們學(xué)會數(shù)學(xué)思考與推理，訓(xùn)練發(fā)散性思維，培養(yǎng)創(chuàng)造新意 識，提咼數(shù)學(xué)素養(yǎng)。4、以公式特殊情形-：；化簡為切入點(diǎn)以學(xué)生探索、推導(dǎo)、應(yīng)用為主線 以學(xué)生發(fā)展能力為目的板書設(shè)計(jì):1、探索袴殊情形”引岀課題廣1L 2aT &