數(shù)值分析作業(yè)答案（第5章）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上5.6.證明：(1).如果是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣(2).如果是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則可以唯一地寫(xiě)成，其中是具有正對(duì)角元的下三角矩陣。證明：(1).因是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，故其特征值皆大于，因此的特征值也皆大于。因此也皆大于，故是可逆的。又則也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣。(2).由是對(duì)稱(chēng)正定，故它的所有順序主子陣均不為零，從而有唯一的杜利特爾分解。又其中為對(duì)角矩陣，為上三角矩陣，于是由的對(duì)稱(chēng)性，得由分解的唯一性得從而由的對(duì)稱(chēng)正定性，如果設(shè)表示的各階順序主子式，則有，故因此，其中為對(duì)角元素為正的下三角矩陣。5.7.用列主元消去法解線(xiàn)性方程組并求出系數(shù)矩陣的行列式(即)的值。解所以解為

2、，。5.9.用追趕法解三對(duì)角方程組，其中，。解 設(shè)有分解，由公式其中，分別是系數(shù)矩陣的主對(duì)角元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線(xiàn)元素。具體計(jì)算，可得，。由，得，；再由，得，。5.11.下述矩陣能否分解為(其中為單位下三角矩陣，為上三角矩陣)？若能分解，那么分解是否唯一？，。解 中，故不能分解。但由于，所以若交換的第1行與第3行，則可以分解且分解是唯一的。在中，故不能分解。但可以分解為，其中，為任意常數(shù)，且奇異，故分解不唯一。對(duì)于，故可以分解且分解唯一。5.13.求證：(1).；(2).。證明 (1).由定義知故。(2).由范數(shù)定義，有又所以。5.14.設(shè)且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義試證明是上向量的一種范數(shù)。證明 只需證明滿(mǎn)足向量范數(shù)的三個(gè)條件。(1).因非奇異，故對(duì)任意，有，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有。(2).對(duì)任意，有。(3).對(duì)任意，有，故是上的向量范數(shù)。5.15.設(shè)為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，定義，試證明是上向量的一種范數(shù)。證明 只需證明滿(mǎn)足向量范數(shù)的三個(gè)條件。(1).因正定對(duì)稱(chēng)，故當(dāng)， ；而當(dāng)時(shí)，。(2).對(duì)任意，有。(3).因