數(shù)列通項、求和方法經(jīng)典總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求an；求Sn；第二次課數(shù)列通項公式的求法一、定義法 直接利用等差或等比數(shù)列的定義求通項。特征：適應(yīng)于已知數(shù)列類型（等差or等比）的題目例等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：， 二、公式法求數(shù)列的通項可用公式求解。特征：已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系例已知數(shù)列的前項和滿足求數(shù)列的通項公式。解：由當(dāng)時，有， 三、由遞推式求數(shù)列通項法類型1 特征：遞推公式為對策：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求。 解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即 所以，類型2 特征：遞推公式為 對策

2、：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例2. 已知數(shù)列滿足，求。 解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即 又，類型3 特征：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）對策：（利用構(gòu)造法消去q）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為由得兩式相減并整理得構(gòu)成數(shù)列以為首項，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型1（累加法）便可求出例3. 已知數(shù)列中，求. 解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.類型4特征：遞推公式為（其中p為常數(shù)） 對策：（利用構(gòu)造法消去p）兩邊同時除以可得到，令，則，再轉(zhuǎn)化為類型1（累加法），求出之后得例4設(shè)數(shù)列的前n項和.已知首項a1

3、=3,且+=2,試求此數(shù)列的通項公式及前n項和.解：a1=3, S1=a1=3.在Sn+1Sn=2an+1中,設(shè)n=1,有S2S1=2a2.而S2=a1a2.即a1a2a1=2a2.a2=6. 由Sn+1Sn=2an+1,(1) Sn+2Sn+1=2an+2,(2)(2)(1),得Sn+2Sn+1=2an+22an+1，an+1an+2=2an+22an+1即 an+2=3an+1此數(shù)列從第2項開始成等比數(shù)列,公比q=3.an的通項公式an=此數(shù)列的前n項和為Sn=32×32×322×3n 1=3=3n.類型5 特征：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。對策：先把原

4、遞推公式轉(zhuǎn)化為 其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例5. 已知數(shù)列中，,，求。 解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。鞏固：例8. 數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項公式。 解：由得設(shè)a，比較系數(shù)得解得是以為公比，以為首項的等比數(shù)列例9. 已知數(shù)列滿足，且，求解：設(shè)，則，是以為首項,以3為公比的等比數(shù)列例10已知數(shù)列滿足， ，求 解：將兩邊同除，得設(shè)，則令條件可化成，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列因,例11. 已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）

5、求數(shù)列的通項公式；例12. 數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項公式。解：由得即，且是以2為公比，3為首項的等比數(shù)列利用逐差法 例13已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)或則條件可以化為是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得求的四種方法：錯位相減法若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.將數(shù)列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列的前項和.例： 裂項相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項 時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項：設(shè)，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得，從而可得分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組.倒序相加法如果一個數(shù)列，與首末兩項