數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個位置的叫第2項(xiàng)，序號為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)

2、特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項(xiàng)

3、起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或例：等差數(shù)列， (二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列，則為 為 （填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）(三)、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 ，成等差數(shù)列 即： （）例：1（全國I）設(shè)是公

4、差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 （ ）A B C D(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；(五)、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（全國卷） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 4.若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的

5、和為390，則這個數(shù)列有（ ）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 6.（全國卷）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則 7.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和，則其公差等于( ) C. D.8.（陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 9（全國）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。(六).對于一個等差數(shù)列：（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則偶奇； ；（2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則奇偶；。 1.一個等差數(shù)列共2011項(xiàng)，求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比_2.一個等差數(shù)列前20項(xiàng)和為75，其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比

6、1：2，求公差d3.一個等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是15，奇數(shù)項(xiàng)之和是，則它的首項(xiàng)與公差分別是_(七).對與一個等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一個等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為 。3已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為 4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，= 5（全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則A B C D(八)判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：是

7、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷4.已知一個數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.已知一個數(shù)列滿足，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷

8、6.數(shù)列滿足=8， （） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7（天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列(九).數(shù)列最值（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 例：1等差數(shù)列中，則前 項(xiàng)的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 求出公差的范圍， 指出中哪一個值最大，并說明理由。3（上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是

9、其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項(xiàng)（），則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是 5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？（2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng)的值(十).利用求通項(xiàng)1.數(shù)列的前項(xiàng)和（1）試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？ 2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.（安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）644、北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S

10、n，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：(一)、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式1 在等比數(shù)列中,，則 2 在等比數(shù)列中,則 3.（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中，則= 5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中項(xiàng)：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比

11、中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為( ) 2.（重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（ ） A B CD(三)、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根,則( ) 2. 在等比數(shù)列，已知，則= 3.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 4.（廣東卷）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， （ ） A. B. C. D. (四)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比，則其前

12、n項(xiàng)和 2（北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D3（全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q； (五). 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列.例：1.（遼寧卷）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.32.一個等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D633.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 (六)、等比數(shù)列的判定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。例：

13、1.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求；2.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.已知數(shù)列滿足 （），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5.數(shù)列已知數(shù)列滿足

14、則數(shù)列的通項(xiàng)公式= （2）累加法1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（3）累乘法適用于： 若，則兩邊分別相乘得，例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求。3.已知， ，求。（4） 待定系數(shù)法 適用于例：1. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. （重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_3.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（5）遞推公式中既有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。1. （北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式 2.（山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列(6)取倒數(shù)法。五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時一