經(jīng)典力學(xué):習(xí)題課6-力矩與角動(dòng)量_第1頁(yè)
經(jīng)典力學(xué):習(xí)題課6-力矩與角動(dòng)量_第2頁(yè)
經(jīng)典力學(xué):習(xí)題課6-力矩與角動(dòng)量_第3頁(yè)
經(jīng)典力學(xué):習(xí)題課6-力矩與角動(dòng)量_第4頁(yè)
經(jīng)典力學(xué):習(xí)題課6-力矩與角動(dòng)量_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩30頁(yè)未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、力學(xué)力學(xué)習(xí)題課習(xí)題課六、力矩與角動(dòng)量六、力矩與角動(dòng)量例6.1 在半角為的圓錐面內(nèi)壁距頂角H的高處,有一個(gè)小球以初速度V0沿內(nèi)壁水平方向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。(1)為使小球在高H處的水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng),V0?;(2)若V1=2V0,求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高度和最小高度。v0hmgN【解解】(1 1)小球受力:重力)小球受力:重力mgmg,約束反力,約束反力N N。小球的運(yùn)動(dòng)方程小球的運(yùn)動(dòng)方程sin1Nmg ( )20ghtgtgv 2200cos2vvNmmhtgr ( ) 0vgh (1 1)(2 2)式得)式得(2) (2) 當(dāng)初速度當(dāng)初速度v v1 12v2v0 0時(shí),平衡不成立。小

2、球作螺旋運(yùn)動(dòng)。時(shí),平衡不成立。小球作螺旋運(yùn)動(dòng)。設(shè)上升到最大高度設(shè)上升到最大高度x x,其速度為,其速度為v v2 2。因系統(tǒng)機(jī)械能守恒。因系統(tǒng)機(jī)械能守恒。222111()22mvmg hxmvmgh(3 3)對(duì)于圓錐軸線,系統(tǒng)力矩為零,角動(dòng)量為恒量。應(yīng)有對(duì)于圓錐軸線,系統(tǒng)力矩為零,角動(dòng)量為恒量。應(yīng)有12()htg mvhx tg mv (4 4)21022hhvvvhxhhghhxx整理(整理(4 4)式可得)式可得(5 5)舍去不合理的負(fù)值。舍去不合理的負(fù)值。3xh代入(代入(3 3)式得到)式得到2230 xxh解得:解得:10 x2 33xh,例6.2 從地球表面沿著與豎直方向成角的方向

3、發(fā)射一物體,其初速度為忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響,求該物體能上升的最大高度。0/eevGMR6060o ov vo or r o o o o【解解】 拋體在運(yùn)動(dòng)過程中所受力不能視為恒力。系統(tǒng)機(jī)械能守拋體在運(yùn)動(dòng)過程中所受力不能視為恒力。系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取拋體在無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零,則有恒。取拋體在無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零,則有02221122eeeM mM mmvGmrGRr (1)(1)在最高點(diǎn)在最高點(diǎn)0r ,即有,即有0222 201122eeeM mM mEmvGEm rrGRr (1)(1)代入代入0/eevGMR,得到,得到22122eeeMMGrGRr (2)(2)拋體在在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),

4、對(duì)地球中心角動(dòng)量守恒,即拋體在在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),對(duì)地球中心角動(dòng)量守恒,即20sin 60eR mvmr (3)(3)可得可得212eeGM Rr 或或22eeGM Rr (4)(4)代入代入(2)(2)式式2221222eeeeeMGM RMGrGRrr(5)(5)經(jīng)整理得到經(jīng)整理得到24830eerR rR解得解得(6)(6)1231 , ()22eerRrR舍去最大高度最大高度11 2eehrRR例6.3 一質(zhì)量為MA、半徑為A的圓筒A,被另一質(zhì)量為MB、半徑為B的圓筒B同軸套在其外,均可自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓筒A的內(nèi)表面上散布了薄薄的一層質(zhì)量為MO的沙子,并在壁上開了許多小孔。在T0時(shí),圓筒A以

5、角速度0繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),而圓筒B靜止。打開小孔,沙子向外飛出并附著于B筒的內(nèi)壁上。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)噴出的沙子質(zhì)量為K,若忽略沙子從A筒飛到B筒的時(shí)間,求T時(shí)刻兩筒旋轉(zhuǎn)的角速度?!窘饨狻繉A筒將圓筒A A、沙子看作一個(gè)系統(tǒng)。由于對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩、沙子看作一個(gè)系統(tǒng)。由于對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零,對(duì)于軸的角動(dòng)量不變。為零,對(duì)于軸的角動(dòng)量不變。 20aaJ tMMkt a 在在t t時(shí),角動(dòng)量時(shí),角動(dòng)量 在在t+dtt+dt時(shí),角動(dòng)量時(shí),角動(dòng)量220aaaaJ tdtMMktkdt adkdta 2202220aaaaaaaMMkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2202220aaaaaaaM

6、Mkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2200aaaaMMkt aMMkt a d 對(duì)于軸的角動(dòng)量不變,則有對(duì)于軸的角動(dòng)量不變,則有 J tJ tdt對(duì)照上兩式則有對(duì)照上兩式則有0ad 這說(shuō)明這說(shuō)明A A筒的角速度不變筒的角速度不變0a 將內(nèi)筒將內(nèi)筒B B與附著的沙(包括即將附著的沙)視為一個(gè)系統(tǒng),與附著的沙(包括即將附著的沙)視為一個(gè)系統(tǒng),對(duì)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零,對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒。于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零,對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒。在在t t時(shí),角動(dòng)量:時(shí),角動(dòng)量: 220bbJ tktMbkdta 在在t+dtt+dt時(shí),角動(dòng)量:時(shí),角動(dòng)量:22222bbbbbbbbbJ tdtk

7、tkdtMbdktMbkdtbktMb dkdtb d 對(duì)于軸的角動(dòng)量不變,則有對(duì)于軸的角動(dòng)量不變,則有 J tJ tdt即得即得2220bbbkdtakdtbktMb d 或或2220bbbabkdtktMb d 2220bbbkdtb dktMab 兩邊積分,并代入初始條件:兩邊積分,并代入初始條件:0,0bt 可得:可得:202bbaktbktM 例6.4 兩個(gè)質(zhì)量均為M的質(zhì)點(diǎn),用一根長(zhǎng)為2L的輕桿相連。兩質(zhì)點(diǎn)以角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng),軸線通過桿的中點(diǎn)O與桿的夾角為。試求以O(shè)為參考點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量和所受的外力矩。xOyLLJv1v211121,=rvvvvrL,【解解】以以O(shè) O為參考點(diǎn),兩小

8、球的位矢分別是:為參考點(diǎn),兩小球的位矢分別是:r r1 1,r r2 2。系統(tǒng)的角動(dòng)量為:系統(tǒng)的角動(dòng)量為:1122112Jrm vrm vrm v222sinJJm L vm L 注意:注意:J J 不是常矢量,其大小不變,但方向變化,繞豎直軸以不是常矢量,其大小不變,但方向變化,繞豎直軸以恒定角速度恒定角速度旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。據(jù)角動(dòng)量定理?yè)?jù)角動(dòng)量定理odJdMJJdtdtoJ是是J J的單位矢量的單位矢量=oodJJd t =oooddMJJJJJJJdtdt 22cos2sincosMMJmL 注意:注意:M M不是常矢量,其大小不變,但方向變化,繞豎直軸以不是常矢量,其大小不變,但方向變化,繞

9、豎直軸以恒定角速度恒定角速度旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。例6.5 小滑塊A位于光滑的水平桌面上,小滑塊B位于桌面上的小槽中,兩滑塊的質(zhì)量均為M,并用長(zhǎng)為L(zhǎng)、不可伸長(zhǎng)、無(wú)彈性的輕繩相連。開始時(shí),A、B之間的距離為L(zhǎng)/2, A、B間的連線與小槽垂直。突然給滑塊A一個(gè)沖擊,使其獲得平行與槽的速度V0,求滑塊B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度vABLL/2vAvB【解解】設(shè)繩拉緊時(shí),設(shè)繩拉緊時(shí),A A,B B的速度分別為的速度分別為V VA A,V VB B。此時(shí),。此時(shí),A A相對(duì)于相對(duì)于B B作以作以B B為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)。其相對(duì)速度為為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)。其相對(duì)速度為vv,方向與繩垂直。,方向與繩垂直。A A的速度的速度ABvvv

10、分量式為分量式為sinAxxvvv cosAyyBBvvvvv 上幾式上幾式聯(lián)立,并代入聯(lián)立,并代入60 滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中,在滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中,在y y方向系統(tǒng)不受力,方向系統(tǒng)不受力,y y方向動(dòng)量為恒量方向動(dòng)量為恒量。即。即0AyBmvmvmv滑塊滑塊A A相對(duì)于相對(duì)于B B(此時(shí)(此時(shí)B B尚未運(yùn)動(dòng)),角動(dòng)量守恒。即尚未運(yùn)動(dòng)),角動(dòng)量守恒。即0sincos2AxAyLmvmvLmvL 得到得到037Bvv例6.6 質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)A在光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)。該質(zhì)點(diǎn)上系有一輕繩,繩穿過桌面上開有的一小孔O,另一端掛著一相同質(zhì)量的物體B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離O點(diǎn)為A之處,沿垂直于OA的方向以速度 射

11、出,求質(zhì)點(diǎn)A在以后的運(yùn)動(dòng)中離O點(diǎn)的最大和最小距離。1292ga驏桫【解解】采用極坐標(biāo)系,則質(zhì)點(diǎn)采用極坐標(biāo)系,則質(zhì)點(diǎn)A A、B B的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為2()(1)m rrT 聯(lián)立(聯(lián)立(1 1),(),(2 2)得)得22(3)rrg 又由題所給條件,知又由題所給條件,知129()2hr raga 故故9(5)2haga (2)Tmgmr 32(6)hrgr利用(利用(3 3), ,(4 4)式中)式中 消去消去 ,得到,得到 2221(7)2hrgrcr 積分得到積分得到2(4)mrmh A A點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)O O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒代入(代入(7 7)式,得)式,得22

12、1,0,2hra rcgar 22222222223322222332211221(22)21392(8)222hhrgrgaarh rh agarga rargaararar 令令 0r =&,得,得 32313920(9 )22rara 即即 3()(3)(2)0(10)2rarara 由此得由此得 1233,3,4rarara 最后一解不合解,舍去最后一解不合解,舍去 。 例6.7 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)剛性桿,其兩端連著兩個(gè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn),將此桿放在光滑的桌面上,用一個(gè)質(zhì)量為M,速度為V0的質(zhì)點(diǎn)與桿的一端相碰。已知V0的方向與桿的夾角為45O,并設(shè)為彈性碰撞。碰后,質(zhì)點(diǎn)沿原直線返回。

13、求碰后桿的運(yùn)動(dòng)。mmmcv0L45o【解解】設(shè)碰撞時(shí)間為設(shè)碰撞時(shí)間為tt,碰撞時(shí)平均作用力為,碰撞時(shí)平均作用力為F F,碰后小球返回,碰后小球返回的速度為的速度為V V,桿作平面平行運(yùn)動(dòng),其質(zhì)心,桿作平面平行運(yùn)動(dòng),其質(zhì)心C C點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為V Vc c,桿的,桿的角速度為角速度為 。對(duì)小球,由動(dòng)量定理,有對(duì)小球,由動(dòng)量定理,有00()() (1)F tmvmvm vv 對(duì)桿系統(tǒng),有對(duì)桿系統(tǒng),有2 (2)cFtmv 對(duì)于桿系統(tǒng),相對(duì)質(zhì)心對(duì)于桿系統(tǒng),相對(duì)質(zhì)心C C,由角動(dòng)量定理,有,由角動(dòng)量定理,有2sin 45222LLFtm 即有即有2 (3)FtmL 代入代入(1)(1)式得式得0=2

14、 (4)vvL 代入代入(2)(2)式得式得2=2 (5)cvL 22222011 222cLmvmvmvm 球、桿合系統(tǒng)機(jī)械能守恒,有球、桿合系統(tǒng)機(jī)械能守恒,有即即2222201+ 2+ (6)2cvvvL 聯(lián)立解得聯(lián)立解得0427vL 代入代入(5)式,得式,得047cvv而而00127cvvvv =小球失去的動(dòng)能為小球失去的動(dòng)能為E Ek k02220004841148 1()224299kkkkEEEmvmvmvE例6.8 半徑為R、質(zhì)量為M的水平勻質(zhì)圓盤可繞通過其中心的鉛直軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。(1)若圓盤繞該軸以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),求該圓盤對(duì)該軸的角動(dòng)量。(2)質(zhì)量為m的甲蟲按 (a為常量)的

15、規(guī)律沿圓盤邊沿爬行,開始時(shí)兩者都靜止,求甲蟲爬行后圓盤的角速度。(3)質(zhì)量為m的甲蟲從邊緣上一點(diǎn)突然以對(duì)圓盤恒定的角速度作半徑為R/2的圓周運(yùn)動(dòng),開始時(shí)兩者都靜止。求甲蟲突然爬行后圓盤的角速度。212sat【解解】(1 1)取)取 rr+dr rr+dr 的圓環(huán)為質(zhì)元,對(duì)通過圓心的垂直軸的角的圓環(huán)為質(zhì)元,對(duì)通過圓心的垂直軸的角動(dòng)量為動(dòng)量為32222MMdJrdr rrr drRR (2 2)設(shè))設(shè) 是圓盤的角速度,規(guī)定與甲蟲爬行方向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)角是圓盤的角速度,規(guī)定與甲蟲爬行方向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為正。由角動(dòng)量守恒,因開始甲蟲、圓盤靜止,系統(tǒng)總角速度為正。由角動(dòng)量守恒,因開始甲蟲、圓盤靜止,系統(tǒng)總角動(dòng)量為零動(dòng)量為零3202122RMJdJr drRMR2102dsMRmRRdt 即有即有2212MRmRmatR 22matMm R (3 3)當(dāng)甲蟲相對(duì)于圓盤轉(zhuǎn)過)當(dāng)甲蟲相對(duì)于圓盤轉(zhuǎn)過 角時(shí),設(shè)此時(shí)圓盤的角速度為角時(shí),設(shè)此時(shí)圓盤的角速度為 (其正號(hào)規(guī)定與上相同),(其正號(hào)規(guī)定與上相同),211111coscoscos2222Jm RmRR 甲蟲的相對(duì)速度甲蟲的相對(duì)速度12vR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)系統(tǒng)牽連速度系統(tǒng)牽連速度1cos2evR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)甲蟲的速度甲蟲的速度evvv即有即

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論