經(jīng)典力學(xué)：習(xí)題課6－力矩與角動(dòng)量

1、力學(xué)力學(xué)習(xí)題課習(xí)題課六、力矩與角動(dòng)量六、力矩與角動(dòng)量例6.1 在半角為的圓錐面內(nèi)壁距頂角H的高處，有一個(gè)小球以初速度V0沿內(nèi)壁水平方向射出。設(shè)錐面內(nèi)壁光滑。（1）為使小球在高H處的水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，V0？；（2）若V1=2V0，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高度和最小高度。v0hmgN【解解】（1 1）小球受力：重力）小球受力：重力mgmg，約束反力，約束反力N N。小球的運(yùn)動(dòng)方程小球的運(yùn)動(dòng)方程sin1Nmg （ ）20ghtgtgv 2200cos2vvNmmhtgr （ ） 0vgh （1 1）（2 2）式得）式得(2) (2) 當(dāng)初速度當(dāng)初速度v v1 12v2v0 0時(shí)，平衡不成立。小

2、球作螺旋運(yùn)動(dòng)。時(shí)，平衡不成立。小球作螺旋運(yùn)動(dòng)。設(shè)上升到最大高度設(shè)上升到最大高度x x，其速度為，其速度為v v2 2。因系統(tǒng)機(jī)械能守恒。因系統(tǒng)機(jī)械能守恒。222111()22mvmg hxmvmgh（3 3）對(duì)于圓錐軸線，系統(tǒng)力矩為零，角動(dòng)量為恒量。應(yīng)有對(duì)于圓錐軸線，系統(tǒng)力矩為零，角動(dòng)量為恒量。應(yīng)有12()htg mvhx tg mv （4 4）21022hhvvvhxhhghhxx整理（整理（4 4）式可得）式可得（5 5）舍去不合理的負(fù)值。舍去不合理的負(fù)值。3xh代入（代入（3 3）式得到）式得到2230 xxh解得：解得：10 x2 33xh，例6.2 從地球表面沿著與豎直方向成角的方向

3、發(fā)射一物體，其初速度為忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響，求該物體能上升的最大高度。0/eevGMR6060o ov vo or r o o o o【解解】 拋體在運(yùn)動(dòng)過程中所受力不能視為恒力。系統(tǒng)機(jī)械能守拋體在運(yùn)動(dòng)過程中所受力不能視為恒力。系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取拋體在無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，則有恒。取拋體在無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，則有02221122eeeM mM mmvGmrGRr (1)(1)在最高點(diǎn)在最高點(diǎn)0r ，即有，即有0222 201122eeeM mM mEmvGEm rrGRr (1)(1)代入代入0/eevGMR，得到，得到22122eeeMMGrGRr (2)(2)拋體在在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，

4、對(duì)地球中心角動(dòng)量守恒，即拋體在在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，對(duì)地球中心角動(dòng)量守恒，即20sin 60eR mvmr (3)(3)可得可得212eeGM Rr 或或22eeGM Rr (4)(4)代入代入(2)(2)式式2221222eeeeeMGM RMGrGRrr(5)(5)經(jīng)整理得到經(jīng)整理得到24830eerR rR解得解得(6)(6)1231 , ()22eerRrR舍去最大高度最大高度11 2eehrRR例6.3 一質(zhì)量為MA、半徑為A的圓筒A，被另一質(zhì)量為MB、半徑為B的圓筒B同軸套在其外，均可自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在圓筒A的內(nèi)表面上散布了薄薄的一層質(zhì)量為MO的沙子，并在壁上開了許多小孔。在T0時(shí)，圓筒A以

5、角速度0繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而圓筒B靜止。打開小孔，沙子向外飛出并附著于B筒的內(nèi)壁上。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)噴出的沙子質(zhì)量為K，若忽略沙子從A筒飛到B筒的時(shí)間，求T時(shí)刻兩筒旋轉(zhuǎn)的角速度?！窘饨狻繉A筒將圓筒A A、沙子看作一個(gè)系統(tǒng)。由于對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩、沙子看作一個(gè)系統(tǒng)。由于對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零，對(duì)于軸的角動(dòng)量不變。為零，對(duì)于軸的角動(dòng)量不變。 20aaJ tMMkt a 在在t t時(shí)，角動(dòng)量時(shí)，角動(dòng)量 在在t+dtt+dt時(shí)，角動(dòng)量時(shí)，角動(dòng)量220aaaaJ tdtMMktkdt adkdta 2202220aaaaaaaMMkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2202220aaaaaaaM

6、Mkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2200aaaaMMkt aMMkt a d 對(duì)于軸的角動(dòng)量不變，則有對(duì)于軸的角動(dòng)量不變，則有 J tJ tdt對(duì)照上兩式則有對(duì)照上兩式則有0ad 這說(shuō)明這說(shuō)明A A筒的角速度不變筒的角速度不變0a 將內(nèi)筒將內(nèi)筒B B與附著的沙（包括即將附著的沙）視為一個(gè)系統(tǒng)，與附著的沙（包括即將附著的沙）視為一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)對(duì)于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零，對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒。于轉(zhuǎn)軸的外力矩為零，對(duì)于軸的角動(dòng)量守恒。在在t t時(shí)，角動(dòng)量：時(shí)，角動(dòng)量： 220bbJ tktMbkdta 在在t+dtt+dt時(shí)，角動(dòng)量：時(shí)，角動(dòng)量：22222bbbbbbbbbJ tdtk

7、tkdtMbdktMbkdtbktMb dkdtb d 對(duì)于軸的角動(dòng)量不變，則有對(duì)于軸的角動(dòng)量不變，則有 J tJ tdt即得即得2220bbbkdtakdtbktMb d 或或2220bbbabkdtktMb d 2220bbbkdtb dktMab 兩邊積分，并代入初始條件：兩邊積分，并代入初始條件：0,0bt 可得：可得：202bbaktbktM 例6.4 兩個(gè)質(zhì)量均為M的質(zhì)點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為2L的輕桿相連。兩質(zhì)點(diǎn)以角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線通過桿的中點(diǎn)O與桿的夾角為。試求以O(shè)為參考點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量和所受的外力矩。xOyLLJv1v211121,=rvvvvrL，【解解】以以O(shè) O為參考點(diǎn)，兩小

8、球的位矢分別是：為參考點(diǎn)，兩小球的位矢分別是：r r1 1，r r2 2。系統(tǒng)的角動(dòng)量為：系統(tǒng)的角動(dòng)量為：1122112Jrm vrm vrm v222sinJJm L vm L 注意：注意：J J 不是常矢量，其大小不變，但方向變化，繞豎直軸以不是常矢量，其大小不變，但方向變化，繞豎直軸以恒定角速度恒定角速度旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。據(jù)角動(dòng)量定理?yè)?jù)角動(dòng)量定理odJdMJJdtdtoJ是是J J的單位矢量的單位矢量=oodJJd t =oooddMJJJJJJJdtdt 22cos2sincosMMJmL 注意：注意：M M不是常矢量，其大小不變，但方向變化，繞豎直軸以不是常矢量，其大小不變，但方向變化，繞

9、豎直軸以恒定角速度恒定角速度旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。例6.5 小滑塊A位于光滑的水平桌面上，小滑塊B位于桌面上的小槽中，兩滑塊的質(zhì)量均為M，并用長(zhǎng)為L(zhǎng)、不可伸長(zhǎng)、無(wú)彈性的輕繩相連。開始時(shí)，A、B之間的距離為L(zhǎng)/2， A、B間的連線與小槽垂直。突然給滑塊A一個(gè)沖擊，使其獲得平行與槽的速度V0，求滑塊B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度vABLL/2vAvB【解解】設(shè)繩拉緊時(shí)，設(shè)繩拉緊時(shí)，A A，B B的速度分別為的速度分別為V VA A，V VB B。此時(shí)，。此時(shí)，A A相對(duì)于相對(duì)于B B作以作以B B為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)。其相對(duì)速度為為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)。其相對(duì)速度為vv，方向與繩垂直。，方向與繩垂直。A A的速度的速度ABvvv

10、分量式為分量式為sinAxxvvv cosAyyBBvvvvv 上幾式上幾式聯(lián)立，并代入聯(lián)立，并代入60 滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中，在滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中，在y y方向系統(tǒng)不受力，方向系統(tǒng)不受力，y y方向動(dòng)量為恒量方向動(dòng)量為恒量。即。即0AyBmvmvmv滑塊滑塊A A相對(duì)于相對(duì)于B B（此時(shí)（此時(shí)B B尚未運(yùn)動(dòng)），角動(dòng)量守恒。即尚未運(yùn)動(dòng)），角動(dòng)量守恒。即0sincos2AxAyLmvmvLmvL 得到得到037Bvv例6.6 質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)A在光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)。該質(zhì)點(diǎn)上系有一輕繩，繩穿過桌面上開有的一小孔O，另一端掛著一相同質(zhì)量的物體B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離O點(diǎn)為A之處，沿垂直于OA的方向以速度 射

11、出，求質(zhì)點(diǎn)A在以后的運(yùn)動(dòng)中離O點(diǎn)的最大和最小距離。1292ga驏桫【解解】采用極坐標(biāo)系，則質(zhì)點(diǎn)采用極坐標(biāo)系，則質(zhì)點(diǎn)A A、B B的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為2()(1)m rrT 聯(lián)立（聯(lián)立（1 1），（），（2 2）得）得22(3)rrg 又由題所給條件，知又由題所給條件，知129()2hr raga 故故9(5)2haga (2)Tmgmr 32(6)hrgr利用（利用（3 3）, ,（4 4）式中）式中 消去消去 ，得到，得到 2221(7)2hrgrcr 積分得到積分得到2(4)mrmh A A點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)O O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒代入（代入（7 7）式，得）式，得22

12、1,0,2hra rcgar 22222222223322222332211221(22)21392(8)222hhrgrgaarh rh agarga rargaararar 令令 0r =&，得，得 32313920(9 )22rara 即即 3()(3)(2)0(10)2rarara 由此得由此得 1233,3,4rarara 最后一解不合解，舍去最后一解不合解，舍去 。 例6.7 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)剛性桿，其兩端連著兩個(gè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)，將此桿放在光滑的桌面上，用一個(gè)質(zhì)量為M，速度為V0的質(zhì)點(diǎn)與桿的一端相碰。已知V0的方向與桿的夾角為45O，并設(shè)為彈性碰撞。碰后，質(zhì)點(diǎn)沿原直線返回。

13、求碰后桿的運(yùn)動(dòng)。mmmcv0L45o【解解】設(shè)碰撞時(shí)間為設(shè)碰撞時(shí)間為tt，碰撞時(shí)平均作用力為，碰撞時(shí)平均作用力為F F，碰后小球返回，碰后小球返回的速度為的速度為V V，桿作平面平行運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心，桿作平面平行運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C C點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為V Vc c，桿的，桿的角速度為角速度為 。對(duì)小球，由動(dòng)量定理，有對(duì)小球，由動(dòng)量定理，有00()() (1)F tmvmvm vv 對(duì)桿系統(tǒng)，有對(duì)桿系統(tǒng)，有2 (2)cFtmv 對(duì)于桿系統(tǒng)，相對(duì)質(zhì)心對(duì)于桿系統(tǒng)，相對(duì)質(zhì)心C C，由角動(dòng)量定理，有，由角動(dòng)量定理，有2sin 45222LLFtm 即有即有2 (3)FtmL 代入代入(1)(1)式得式得0=2

14、 (4)vvL 代入代入(2)(2)式得式得2=2 (5)cvL 22222011 222cLmvmvmvm 球、桿合系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有球、桿合系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有即即2222201+ 2+ (6)2cvvvL 聯(lián)立解得聯(lián)立解得0427vL 代入代入(5)式，得式，得047cvv而而00127cvvvv =小球失去的動(dòng)能為小球失去的動(dòng)能為E Ek k02220004841148 1()224299kkkkEEEmvmvmvE例6.8 半徑為R、質(zhì)量為M的水平勻質(zhì)圓盤可繞通過其中心的鉛直軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）若圓盤繞該軸以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求該圓盤對(duì)該軸的角動(dòng)量。（2）質(zhì)量為m的甲蟲按 （a為常量）的

15、規(guī)律沿圓盤邊沿爬行，開始時(shí)兩者都靜止，求甲蟲爬行后圓盤的角速度。（3）質(zhì)量為m的甲蟲從邊緣上一點(diǎn)突然以對(duì)圓盤恒定的角速度作半徑為R/2的圓周運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)兩者都靜止。求甲蟲突然爬行后圓盤的角速度。212sat【解解】（1 1）取）取 rr+dr rr+dr 的圓環(huán)為質(zhì)元，對(duì)通過圓心的垂直軸的角的圓環(huán)為質(zhì)元，對(duì)通過圓心的垂直軸的角動(dòng)量為動(dòng)量為32222MMdJrdr rrr drRR （2 2）設(shè)）設(shè) 是圓盤的角速度，規(guī)定與甲蟲爬行方向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)角是圓盤的角速度，規(guī)定與甲蟲爬行方向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為正。由角動(dòng)量守恒，因開始甲蟲、圓盤靜止，系統(tǒng)總角速度為正。由角動(dòng)量守恒，因開始甲蟲、圓盤靜止，系統(tǒng)總角動(dòng)量為零動(dòng)量為零3202122RMJdJr drRMR2102dsMRmRRdt 即有即有2212MRmRmatR 22matMm R （3 3）當(dāng)甲蟲相對(duì)于圓盤轉(zhuǎn)過）當(dāng)甲蟲相對(duì)于圓盤轉(zhuǎn)過 角時(shí)，設(shè)此時(shí)圓盤的角速度為角時(shí)，設(shè)此時(shí)圓盤的角速度為 （其正號(hào)規(guī)定與上相同），（其正號(hào)規(guī)定與上相同），211111coscoscos2222Jm RmRR 甲蟲的相對(duì)速度甲蟲的相對(duì)速度12vR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)系統(tǒng)牽連速度系統(tǒng)牽連速度1cos2evR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)甲蟲的速度甲蟲的速度evvv即有即