大學(xué)物理：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1、1第三章第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：剛體：物體上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變物體上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變受力不發(fā)生形變受力不發(fā)生形變23.1 3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述3.1.1 3.1.1 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 剛體的基本運(yùn)動(dòng)可以分為剛體的基本運(yùn)動(dòng)可以分為平動(dòng)平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的各，剛體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。 剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng)是指剛體在是指剛體在運(yùn)動(dòng)過程中其中任意兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中其中任意兩點(diǎn)的連線始終保持原來的方向連線始終保持原來的方向（或者說，在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)（或者說，在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)刻始終保

2、持彼此平行）?？淌冀K保持彼此平行）。平動(dòng)的剛體可看作質(zhì)點(diǎn)模型。平動(dòng)的剛體可看作質(zhì)點(diǎn)模型。3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)比較復(fù)雜，我們只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是指是指剛體上各點(diǎn)都繞同一直線剛體上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身作圓周運(yùn)動(dòng)，而直線本身在空間的位置保持不動(dòng)的在空間的位置保持不動(dòng)的一種轉(zhuǎn)動(dòng)。一種轉(zhuǎn)動(dòng)。 這條直線稱為這條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。43.1.2 3.1.2 剛體的角量描述剛體的角量描述 1.1.角坐標(biāo)角坐標(biāo) o 描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位置的物理量。Px在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，過O O點(diǎn)作一點(diǎn)作一極軸

3、，設(shè)極軸的正方向是水極軸，設(shè)極軸的正方向是水平向右。平向右。 過過P P作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動(dòng)平面），轉(zhuǎn)動(dòng)平面與（轉(zhuǎn)動(dòng)平面），轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為O O。 角稱為角稱為角坐標(biāo)（或角位置）角坐標(biāo)（或角位置）。連接連接OPOP，OPOP與極軸之間的夾角為與極軸之間的夾角為 。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。角坐標(biāo)為標(biāo)量。但可有正負(fù)。單位：?jiǎn)挝唬夯《?，弧度，rad5在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，角坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，角坐標(biāo)是時(shí)間的函數(shù)： = = （t t），叫做），叫做轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程。描寫剛體位置變化的物理量。描寫剛體位置變化的物理量。t+tt+t時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)

4、時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)PP，角坐標(biāo)為，角坐標(biāo)為 。t t時(shí)刻時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在P P點(diǎn)，角坐標(biāo)為點(diǎn)，角坐標(biāo)為 ，角坐標(biāo)的增量為角坐標(biāo)的增量為：稱為剛體的稱為剛體的角位移角位移xyP p2v1vR2.2.角位移角位移 角位移的大小表示了剛體在角位移的大小表示了剛體在tt時(shí)間內(nèi)角位置變化的多少。時(shí)間內(nèi)角位置變化的多少。單位：?jiǎn)挝唬夯《?，弧度，rad6描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量。平均角速度平均角速度t單位：?jiǎn)挝唬夯《然《? /秒，秒，rad/s3.3.角速度角速度 ( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )角速度角速度tt0limdtd( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )角速度是矢量，但對(duì)于剛體定角速度是矢量

5、，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有兩個(gè)，在表軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向只有兩個(gè)，在表示角速度時(shí)角速度的正負(fù)數(shù)值就顯示示角速度時(shí)角速度的正負(fù)數(shù)值就顯示角速度的方向，不必用矢量表示。角速度的方向，不必用矢量表示。( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )角速度角速度方向：方向：滿足右手定則，滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。沿剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向右旋大拇指指向。74.4.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )角加速度角加速度描寫角速度變化快慢和方向的物理量。描寫角速度變化快慢和方向的物理量。t t到到t+tt+t時(shí)刻，剛體角速度的增量為：時(shí)刻，剛體角速度的增量為：ttt0limdtd22dtd單位：

6、單位：弧度弧度/ /秒秒2，rad/s2 方向：方向：角速度變化的方向。角速度變化的方向。008 角加速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度角加速度是矢量，但對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的方向只有兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的的方向只有兩個(gè)，在表示角加速度時(shí)只用角加速度的正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。正負(fù)數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。 總結(jié)總結(jié): : 對(duì)于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，我們可用角坐標(biāo)、對(duì)于剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，我們可用角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度來描述。角位移、角速度和角加速度來描述。5.5.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度

7、和加速度 路程與角位移的關(guān)系路程與角位移的關(guān)系rsxosrpp線速度與角速度的關(guān)系線速度與角速度的關(guān)系rv 9加速度與角加速度的關(guān)系加速度與角加速度的關(guān)系 可將作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的加速度沿圓可將作圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的加速度沿圓周軌道的切向和法向分解為兩個(gè)分量。周軌道的切向和法向分解為兩個(gè)分量。ora ana aa adtdvat切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：rvan2nntteaeaa圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度與角量的關(guān)系圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度與角量的關(guān)系dtdvatrvan2rdtdrrr2)(2r103.2 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2.1 3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定

8、軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 1.1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩 力對(duì)固定點(diǎn)的矩力對(duì)固定點(diǎn)的矩FrM對(duì)軸的矩就等于力對(duì)固定點(diǎn)對(duì)軸的矩就等于力對(duì)固定點(diǎn)O O的矩。的矩。力對(duì)固定軸的矩力對(duì)固定軸的矩（1）力垂直轉(zhuǎn)軸）力垂直轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果，對(duì)軸的矩為零。即對(duì)軸的矩為零。即FrM大小大小:sinrFM11a)a)力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)該轉(zhuǎn)軸的矩為零力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時(shí)力對(duì)

9、該轉(zhuǎn)軸的矩為零；b)b)同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；同一個(gè)力對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；c)c)當(dāng)所給的力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與力當(dāng)所給的力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與力對(duì)交點(diǎn)對(duì)交點(diǎn)O O的矩等值。但不能說完全相同的矩等值。但不能說完全相同。d)d)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體，如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，它們的作用可以與某一個(gè)力矩相當(dāng)，這個(gè)力矩上，它們的作用可以與某一個(gè)力矩相當(dāng)，這個(gè)力矩叫做這幾個(gè)力的叫做這幾個(gè)力的合力矩合力矩。合力矩與合力的矩是不同。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。的概念，不要混淆。說明：說明：力矩的計(jì)算力矩的計(jì)算 計(jì)算力對(duì)某一轉(zhuǎn)

10、軸的力矩，若力的作用點(diǎn)不固定計(jì)算力對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點(diǎn)不固定在同一處在同一處( (如例如例1 1），則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計(jì)），則應(yīng)當(dāng)采取分小段的辦法，先計(jì)算每一小段上的作用力（分力）產(chǎn)生的矩，再求和。算每一小段上的作用力（分力）產(chǎn)生的矩，再求和。12例例1 1：一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m ，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同擦阻力矩因離軸的具體不同而不同mlodmdx

11、xx細(xì)桿的質(zhì)量密度細(xì)桿的質(zhì)量密度lm質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量dxdm質(zhì)元受阻力矩：質(zhì)元受阻力矩：dmgxdM阻細(xì)桿受的阻力矩細(xì)桿受的阻力矩阻阻dMM221gllmmgl21lgxdx0132. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 考慮剛體上某一質(zhì)元考慮剛體上某一質(zhì)元 ，imiiiiamfF剛體外其他物體對(duì)它的合作用剛體外其他物體對(duì)它的合作用力力(外力外力)為為 ，剛體上其它質(zhì)，剛體上其它質(zhì)元對(duì)它的作用力為元對(duì)它的作用力為 ，iFifim對(duì)對(duì) 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF:法向 法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。itiititamfF:切向14

12、itiititamfF:切向兩邊乘以兩邊乘以r ri i , ,有：有：iitiiitiitramrfrF)(2iiiitiiitiitrmramrfrF對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：對(duì)所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：左邊第二項(xiàng)左邊第二項(xiàng) 表示表示內(nèi)力矩之和內(nèi)力矩之和，等于，等于零零iitrf左邊第一項(xiàng)左邊第一項(xiàng) 表示表示合外力矩合外力矩，記作，記作iitrFM右邊右邊 只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)分布有關(guān)表示，稱為剛體對(duì)軸的表示，稱為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記作，記作)(2iirmJ則上式可簡(jiǎn)寫成則上式可簡(jiǎn)寫成JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

13、15JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體所受的對(duì)于剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等的合外力矩等于剛體于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩此合外力矩作作用下所獲得的角加速度的乘積。用下所獲得的角加速度的乘積。注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn): :1. . 上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩只有兩個(gè)方向）。2. . MM、J、 是對(duì)同一軸而言的。是對(duì)同一軸而言的。4. . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。5. .剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛頓第二定律相當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位與牛

14、頓第二定律相當(dāng)。3. . 具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。163.2.2 3.2.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 iiiJ)rm(J2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至剛體對(duì)固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： VVVrmrJdd22SSSrmrJdd22（面質(zhì)量分布）（面質(zhì)量分布）L

15、LlrmrJdd22（線質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）在（在（SISI）中，）中，J J的單位：的單位：kgmkgm2 2 量綱：量綱：MLML2 217例：例：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。RMo解：解：dmMdmRJ02分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，MdmR022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2MRJ 例：例：在無質(zhì)輕桿的在無質(zhì)輕桿的 b 處處 3b 處各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的的質(zhì)點(diǎn)，可繞質(zhì)點(diǎn)，可

16、繞 o 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。解：解：212iiirmJ22)3(2bmmb211mb18oR例例 : 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求對(duì)通過盤的均勻圓盤，求對(duì)通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRrdr19例：例： 如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均質(zhì)空心圓柱體的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為R1和和R2。試求對(duì)。試求對(duì)幾何軸幾何軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。1R

17、2Rrdrozll )rdr(dVdm,drrl,)RrR( r221則該質(zhì)元的質(zhì)量為厚度為半徑為其長(zhǎng)為柱殼形狀的質(zhì)元取一薄圓處在半徑為解：lRRm)(2122圓筒的體密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(212221RRmJ221221,21, 0mRJRRRmRJRRR若若20例例 求長(zhǎng)度為求長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）對(duì)于通過棒的一端與棒垂直的軸。）對(duì)于通過棒的一端與棒垂直的軸。（2）對(duì)于通過棒的中心與棒垂直的軸。）對(duì)于通過棒的中心與棒垂直的軸。xoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCmAdmxJ232mL

18、Ldxx02解解（1）細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：細(xì)桿為線質(zhì)量分布，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為：lm331L（2）對(duì)于通過棒的中心的軸對(duì)于通過棒的中心的軸2/2/2LLcdmxJ2121mL3121L2/2/2LLdxx2)2(LmJJCA21平行軸定理平行軸定理上例中上例中J JC C表示相對(duì)通過表示相對(duì)通過質(zhì)心質(zhì)心的軸的的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， J JA A表示相對(duì)通過棒端表示相對(duì)通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2L/2。222231411212mLmLmLLmJJCA定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J

19、J，等于繞質(zhì)心軸的，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J JC C 加上剛體質(zhì)量與兩加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。軸間的距離平方的乘積。JmCJdC2mdJJC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。22)Lm(JJCA22例例 計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為計(jì)算鐘擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為2r。）。）rO擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22134231mrrmJ擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：擺錘轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ23例例 一個(gè)質(zhì)量為一

20、個(gè)質(zhì)量為m m1 1、半徑為的定滑輪、半徑為的定滑輪( (當(dāng)當(dāng)作均勻圓盤作均勻圓盤) )上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為2 2的物體的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體2 2由靜止由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：解：R aamTgm22222,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定軸定軸0Rhm2繩繩Tm2g對(duì)對(duì)m1：對(duì)對(duì)m2：3.2.3 3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用剛體定軸

21、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 24例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m, ,長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)細(xì)棒的均質(zhì)細(xì)棒, ,轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)軸在O O點(diǎn)點(diǎn), ,今使今使棒從靜止開始由水平位置繞棒從靜止開始由水平位置繞O O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), ,求求: :（1 1）下擺到）下擺到角角時(shí)，細(xì)棒所受的重力矩時(shí)，細(xì)棒所受的重力矩; ;（2 2）水平位置的角速度）水平位置的角速度和角加速度和角加速度; ;（2 2）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。OxdmgdmCmg解：解： （1）在棒上取質(zhì)元）在棒上取質(zhì)元dm，設(shè)其，設(shè)其距距O點(diǎn)的水平距離為點(diǎn)的水平距離為x，則，則dm受到受到的重力矩為的重力矩為xxgdmdMG棒受到總的

22、重力矩棒受到總的重力矩xdmgxgdmMGcGmgxM據(jù)據(jù)質(zhì)心定義質(zhì)心定義mxdmxC即即cos2lmgMG得得25(2)(2)水平位置水平位置02LmgMG231mRJ LgJMG23(3)(3)任意角度任意角度cos2LmgMGLgJMG2cos3Lgdddddtddtd2cos3又又垂直位置垂直位置dLgd2002cos3解得解得Lg3026例例 兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓盤兩個(gè)勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)組合輪。小圓盤的半徑為的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2m。組合輪。組合輪可以繞通過其中心且垂直于

23、盤面的光滑水平固定軸可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)o軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9mr2/2 。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩下端各懸掛質(zhì)量為懸掛質(zhì)量為m的物體的物體A和和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無相繩與盤無相對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。已知對(duì)滑動(dòng)且長(zhǎng)度不變。已知r =10cm 。 求：求：（1）組合輪的角加速度；組合輪的角加速度；（2）當(dāng)物體上升當(dāng)物體上升h=0.4m時(shí)，組合輪的角速度。時(shí)，組合輪的角速度。ra 2srad310192.)r(g:解得rh:,)2(則為組合輪轉(zhuǎn)過的角度設(shè)121

24、208. 9)2(2sradrh解：解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo29)2(2mrTrrT)2( ra amTmgmamgT273.3 3.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功與能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功與能1.1.力矩的功力矩的功 oPFddsrz力矩的功為時(shí)轉(zhuǎn)到使剛體由力,0F0MdA 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。相應(yīng)力矩和角位移的乘積。剛體在力剛體在力 作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移 d，F(xiàn)力力 作功為：作功為：FrdFdA| )2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA

25、 28注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種表達(dá)方式。表達(dá)方式。2)2)內(nèi)力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功為零。內(nèi)力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功為零。2.2.剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 zmiiriv第第i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能：個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能： 222k2121iiiiirmmEv整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：22kk21iiirmEE22)(21iirm2k21JE 293.3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 設(shè)在外力矩設(shè)在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：ddMA由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定

26、律tJMdddddddJtJW有有21dJW21222121JJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ：合外力矩對(duì)剛體所合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 30mocmgNA0vh.sin2.,:lmgONN重力矩為其力矩為零點(diǎn)過軸對(duì)桿的支承力作用于桿的力有重力及解dlmgdAsin2)cos1 (2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1 (代入上式得將220202121021lvJJmgh由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理得gvh320解得例題例題 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)長(zhǎng)桿的均勻細(xì)長(zhǎng)桿O A ，可繞通過其一端點(diǎn)，可繞

27、通過其一端點(diǎn)O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)，已知另一端點(diǎn)的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動(dòng)，已知另一端點(diǎn)A過最低點(diǎn)時(shí)的過最低點(diǎn)時(shí)的速率為速率為v0，桿對(duì)通過端點(diǎn)，桿對(duì)通過端點(diǎn)O而垂直于桿長(zhǎng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量而垂直于桿長(zhǎng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=ml2/3 ，若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計(jì)，求桿擺動(dòng)時(shí)若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計(jì)，求桿擺動(dòng)時(shí)A點(diǎn)升點(diǎn)升高的最大高度。高的最大高度。314.4.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 iighmEp hc-質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度剛體仍是個(gè)質(zhì)點(diǎn)系剛體仍是個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：cmgh mhmmgii mimchihc若若 dA外外+dA

28、內(nèi)非內(nèi)非=o，則，則 Ek+Ep=常量常量.- 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律A外外+A內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）5.5.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功能定理 323.4 3.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3.4.1 3.4.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量iiiimRLviiiiRmLv沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸Oz的投影為的投影為iL)2cos(iizLLsiniiiRmv質(zhì)元質(zhì)元 對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為 imziLOxyiriRivimiiirm v2iirm33剛體對(duì)剛體對(duì)OZ

29、軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量iiiizrmLv2iirm剛體對(duì)剛體對(duì)Oz軸的角動(dòng)量為軸的角動(dòng)量為 iiiiiiiizzrmrmLL)(22得得zzJL 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上式可簡(jiǎn)寫為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上式可簡(jiǎn)寫為 JL 34定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定理微分形式定理微分形式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合外力矩等于剛體的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。對(duì)時(shí)間的變化率。000LLdLMdtLLtt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量定理積分形式定

30、理積分形式作用在剛體上的沖量矩等于在作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于在作用時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。353.4.2 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理守恒定律 恒量 JL0M當(dāng)當(dāng)時(shí)，則時(shí)，則1221dLLtMtt剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理dtdLM 剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。 注意：注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

31、的任意物體系統(tǒng)。 36說明：說明：1. 物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積不變。的乘積不變。3. 3. 幾個(gè)物體（或質(zhì)點(diǎn)）組成的系幾個(gè)物體（或質(zhì)點(diǎn)）組成的系統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果各個(gè)統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果各個(gè)物體（或質(zhì)點(diǎn)）相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的距物體（或質(zhì)點(diǎn)）相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的距離可以發(fā)生變化，則對(duì)該公共轉(zhuǎn)離可以發(fā)生變化，則對(duì)該公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)軸的合外力矩為零時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)此軸的總角動(dòng)量守恒此軸的總角動(dòng)量守恒iiiJ恒量2.2.對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單個(gè)剛體，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單個(gè)剛體，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J是常量，當(dāng)合是常量，當(dāng)合外

32、力矩外力矩M M為零時(shí)，角速度為零時(shí)，角速度將保持不變，剛體勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。將保持不變，剛體勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。 37例：例：在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為桌面上有細(xì)桌面上有細(xì)桿，質(zhì)量為桿，質(zhì)量為 m、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為 l，以初，以初始角速度始角速度 0 繞垂直于桿的質(zhì)心繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問細(xì)桿經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問細(xì)桿經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)。停止轉(zhuǎn)動(dòng)。olm,0解：解：以細(xì)桿為研究對(duì)象，受力分析，重力及桌面的以細(xì)桿為研究對(duì)象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。確定細(xì)桿受的摩擦力矩確定細(xì)桿受的摩擦力矩分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元dm細(xì)桿的質(zhì)量密度為：細(xì)桿

33、的質(zhì)量密度為：lm/dxdm質(zhì)元受的摩擦力矩質(zhì)元受的摩擦力矩dmgxdM細(xì)桿受的摩擦力矩細(xì)桿受的摩擦力矩/202lMdMmgl4138始末兩態(tài)的角動(dòng)量為：始末兩態(tài)的角動(dòng)量為： 00IL 由角動(dòng)量定理：由角動(dòng)量定理：00LLMdttt00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本題也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解，由本題也可用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解，由 M=JM=J , , 和和 = = 0 0+ + t t, , 求出求出 t t = = 0 0/ / 。0 ,Lolm,0dmxdxx2/l2/l39o1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0= =60kg m2, ,伸伸臂時(shí)臂長(zhǎng)為

34、臂時(shí)臂長(zhǎng)為 1m，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為，收臂時(shí)臂長(zhǎng)為 0.2m。人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心人站在摩擦可不計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量上，每只手抓有質(zhì)量 m= =5kg的啞鈴。伸的啞鈴。伸臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度臂時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收臂時(shí)的角求收臂時(shí)的角速度速度 2 。解：解：整個(gè)過程合外力矩為零，角動(dòng)量守恒整個(gè)過程合外力矩為零，角動(dòng)量守恒2211JJ21012mlJJ21526022022mlJJ22 .052602mkg702mkg4 .602112JJ4 .607031 -s5 .3由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的減小，角速度增加。角速度增加。40例例 有一

35、長(zhǎng)為有一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1的均勻細(xì)棒，靜止平放在光的均勻細(xì)棒，靜止平放在光滑水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)滑水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O，且與桌面垂直，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為m2 、水平運(yùn)動(dòng)的、水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時(shí)間極短。已知小相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊與細(xì)棒碰撞前后的速率分別為滑塊與細(xì)棒碰撞前后的速率分別為v和和u，則碰撞后棒，則碰撞后棒繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 為多大？為多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角動(dòng)量守恒矩作用則系統(tǒng)不受外力間摩擦阻力矩對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)不考慮軸解ulmJvlm222131lmJO轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為細(xì)棒繞lmmuv12)(3代入上式求得41lm uvmo 桿的角速度桿的角速度 肯定如圖，肯定如圖， 假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的速假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的速 度度 向上，如圖所示。向上，如圖所示。v例：例：質(zhì)量質(zhì)量m長(zhǎng)長(zhǎng)l的均勻細(xì)桿可繞過其中點(diǎn)處的水平光滑固的均勻細(xì)桿可繞過其中點(diǎn)處的水