臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算

1、臨 界 轉(zhuǎn) 速 分 析 的 目 的 臨界轉(zhuǎn)速分析的主要目的在于確定轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速， 并按照經(jīng) 驗(yàn)或有關(guān)的技術(shù)規(guī)定，將這些臨界轉(zhuǎn)速調(diào)整，使其適當(dāng)?shù)倪h(yuǎn)離機(jī)械的工 作轉(zhuǎn)速，以得到可靠的設(shè)計(jì)。 例如設(shè)計(jì)地面旋轉(zhuǎn)機(jī)械時(shí)，如果工作轉(zhuǎn)速低于其一階臨界轉(zhuǎn)速 Nc1Nc1，應(yīng) 使 Nv,Nv, 如果工作轉(zhuǎn)速高于一階臨界轉(zhuǎn)速，應(yīng)使 vNv+1,vNv+1,而對(duì)于航空渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)， 習(xí)慣做法是使其最大工作轉(zhuǎn)速偏離轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速的 1020%1020% 選擇臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算方法 要較為準(zhǔn)確的確定出轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，必須注意以下兩點(diǎn) 1.1. 所選擇的計(jì)算方法的數(shù)學(xué)模型和邊界條件要盡可能的符合系統(tǒng)的實(shí)際 情況

2、。 2.2. 原始數(shù)據(jù)的（系統(tǒng)支撐的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)）準(zhǔn)確度，也是影響計(jì) 算結(jié)果準(zhǔn)確度的重要因素。 3.3. 適當(dāng)?shù)目紤]計(jì)算速度，隨著轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的日益復(fù)雜，臨界轉(zhuǎn)速的計(jì) 算工作量越來越大，因此選擇計(jì)算方法的效率也是需要考慮的重要因 素。 三、常用的計(jì)算方法 名稱 原理 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 矩陣迭代法 （StodolaStodola 斯托多拉） 1.1. 假定一階振型撓曲彈性線并選擇試算速度 2.2. 計(jì)算轉(zhuǎn)子渦動(dòng)慣性載荷，并用此載荷計(jì)算撓性曲線 3.3. 以計(jì)算得到的撓性曲線和適當(dāng)調(diào)整的轉(zhuǎn)速重新循環(huán)計(jì)算 4.4. 當(dāng)計(jì)算曲線和初始曲線吻合的時(shí)的轉(zhuǎn)速即為一臨轉(zhuǎn)速 5.5. 高階臨界轉(zhuǎn)速方法同，但需利

3、用正交條件消除低階彈性線成分， 否則計(jì)算 錯(cuò)誤 收斂較快，一階 臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果 較為準(zhǔn)確 高階臨界轉(zhuǎn)速 精度差，計(jì)算復(fù) 雜 逐段推算法 （傳遞矩陣法） （ProhlProhl- -Myklestad Myklestad ） 1.1. 劃分轉(zhuǎn)軸為若干等截面段，選擇試算轉(zhuǎn)速 2.2. 從轉(zhuǎn)軸的一端算起，計(jì)算另一端的四個(gè)狀態(tài)參數(shù)（撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪 力） 3.3. 根據(jù)與其相鄰軸段在該截面處的約束條件，得到下個(gè)軸段的狀態(tài)參數(shù) 4.4. 換個(gè)轉(zhuǎn)速重復(fù)計(jì)算，直到計(jì)算得到的狀態(tài)參數(shù)滿足邊界條件， 此時(shí)的轉(zhuǎn)速 即為臨界轉(zhuǎn)速 將四個(gè)狀態(tài)參 數(shù)寫成矩陣的 形式，計(jì)算方 便，在各類旋轉(zhuǎn) 機(jī)械制造業(yè)中 是最為通用、

4、發(fā) 展最為完善的 方法 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或有 關(guān)的計(jì)術(shù)資料 選擇計(jì)算轉(zhuǎn)速， 比較盲目 能量法 (RayleighRayleigh- -Ritz Ritz ) 1.1. 以能量守恒原理為理論基礎(chǔ)，根據(jù)軸系中的最大應(yīng)變能等于最大的動(dòng)能， 建立微分方程，據(jù)動(dòng)能是轉(zhuǎn)速的函數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)速 原理簡(jiǎn)單，易于 理解 如果假設(shè)的振 型不準(zhǔn)確會(huì)帶 來誤差 特征方程法 將通用的指數(shù)解帶入微分方程，得到以臨界轉(zhuǎn)速為解的多項(xiàng)式 方程難以求解， 應(yīng)用不多 數(shù)值積分法 （前進(jìn)法） 以數(shù)值積分的方法求解支撐系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，從初始條件開始，以步長很 小的時(shí)間增量時(shí)域積分，逐步推算出軸系的運(yùn)動(dòng) 唯一能模擬非 線性系統(tǒng)的計(jì) 算方法，在校核

5、 其他方法及研 究非線性對(duì)臨 界轉(zhuǎn)速的影響 方面很有價(jià)值 計(jì)算量較大，必 須有足夠的積 分步數(shù) 注：斯托多拉法 莫克來斯塔德法 傳遞矩陣法 基本原理：傳遞矩陣法的基本原理是，去不同的轉(zhuǎn)速值，從轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的 一端開始，循環(huán)進(jìn)行各軸段截面狀態(tài)參數(shù)的逐段推算，直到滿足另一端的邊 界條件。 優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于多支撐多元盤的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，通過其特征值問題或通過建立運(yùn)動(dòng)微 分方程的方法求解系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)， 矩陣的維數(shù)隨著系統(tǒng)的自 由度的增加而增加，計(jì)算量往往較大：采用傳遞矩陣法的優(yōu)點(diǎn)是矩陣的維數(shù) 不隨系統(tǒng)的自由度的增加而增大，且各階臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算方法相同，便于程序 實(shí)現(xiàn)，所需存儲(chǔ)單元少，這就使得傳遞矩陣法

6、成為解決轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問題的一 個(gè)快速而有效的方法。 缺點(diǎn)：求解高速大型轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，有可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。今 年來提出的 RiccatiRiccati 傳遞矩陣法，保留傳遞矩陣的所有優(yōu)點(diǎn)，而且在數(shù)值上 比較穩(wěn)定，計(jì)算精度高，是一種比較理想的方法，但目前還沒有普遍推廣。 軸段劃分：首先根據(jù)支撐系統(tǒng)中剛性支撐（軸承）的個(gè)數(shù)劃分跨度。在整個(gè) 軸段內(nèi)，凡是軸承、集中質(zhì)量、輪盤、聯(lián)軸器等所在位置，以及截面尺寸、 材料有變化的地方都要?jiǎng)澐譃檩S段截面。若存在變截面軸，應(yīng)簡(jiǎn)化為等截面 軸段，這是因?yàn)槌藗€(gè)別具有特殊規(guī)律的變截面軸段外，其他的變截面軸段 的傳遞矩陣特別復(fù)雜。 傳遞矩陣: 4.4. 軸段傳

7、遞矩陣 每段起始狀態(tài)參數(shù)和終端狀態(tài)參數(shù)的轉(zhuǎn)換方程， 根據(jù)是否考慮轉(zhuǎn)軸的分 布質(zhì)量，可以建立兩種軸段傳遞矩陣 當(dāng)考慮軸段的分布質(zhì)量時(shí)：起始和終端的轉(zhuǎn)換方程是均質(zhì)等截面桿的 振動(dòng)彈性方程: 不考慮轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量時(shí)建立的傳遞矩陣 X 1 L 12 12L - 11 0 1 22 22L - 21 M 0 0 1 L Q ki 0 0 0 1 L3 11 3EJ I 2 12 21 ,a11,a11 和 a12a12 是終端的剪力和彎矩在終端引起的撓度, 2EJ L 22 EJ a21a21 和 a22a22 是終端的剪力和彎矩在終端引起的轉(zhuǎn)角M Q 0i 其中，a11,a12,a21,a22a11,

8、a12,a21,a22 為該軸段的影響系數(shù)，根據(jù)材料力學(xué): 4.4.各軸段間的傳遞矩陣 從前一軸段的終端到下一軸段的始端，如果中間沒有獨(dú)立的結(jié)構(gòu)單元， 則狀態(tài)參數(shù)不發(fā)生變化，傳遞矩陣是單位矩陣；兩者之間有獨(dú)立的結(jié)構(gòu) 單元時(shí)，用前一軸段的終端矩陣乘以此單元的矩陣，即的下一單元的始 端矩陣。獨(dú)立的結(jié)構(gòu)單元大概可以分為以下四種： a.a.通過點(diǎn)質(zhì)量時(shí)為: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0其中 0，其， mimi 為點(diǎn)質(zhì)量， p p 為系統(tǒng)的固有頻率 2 mi p 0 0 1 b.b.通過轉(zhuǎn)動(dòng)盤時(shí)為 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 w 1 p 2 IdP2 1 其中 0， mimi

9、盤的質(zhì)量，IpIp 盤的 p Id 2 mi P 0 0 1 極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，IdId 盤的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，w w 盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 c c. .通過彈性鉸鏈時(shí)為 1 0 0 0 0 1 1 0 Ch ，其中，chch 為鉸鏈的力矩剛性系數(shù) 0 0 1 0 0 0 0 1 d.d.通過具有彈性約束的彈性支座時(shí)為 c0 0 0 1 性約束則 ch=0.ch=0.0，其中， coco 彈性支座的剛性系數(shù)，如果沒有彈 4.4.各跨度間的傳遞矩陣 a.a.通過剛性支座的傳遞 剛性支座是一個(gè)跨度的結(jié)束，在支座處的橫向位移為 0 0,所以: X 0( i 1) X ki 0 0(i 1) ki其中，RiRi 為支

10、座的反作用力，在以后整個(gè)跨度 M 0(k 1) M ki Q0(i 1) Qki Ri 的計(jì)算中，此反作用力代替前一跨度中被消除的參數(shù)(撓度): 而未知參數(shù)的個(gè)數(shù)不變。 b.b.通過球頭聯(lián)軸器的傳遞 球頭聯(lián)軸器也是一個(gè)跨度的結(jié)束，在此處的彎矩為 0.0.所以: 跨度的計(jì)算中，用B代替上個(gè)跨度中消除的參數(shù)，從而使未知 變量的個(gè)數(shù)不變。 4.4.初始條件：第一跨度 0 0 截面的初始條件根據(jù)約束條件和軸的載荷分析來確 定，在所有四個(gè)狀態(tài)參數(shù)中，或有兩個(gè)為零， 兩個(gè)是未知的，或只有兩個(gè) 是獨(dú)立的，其他的參數(shù)可以用這兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示。 這就意味著在計(jì)算過 程中所有各段的起始端和末端的狀態(tài)參數(shù)都是兩個(gè)未

11、知數(shù)的線性函數(shù)。 最 主要的是末端的狀態(tài)參數(shù)也總是或兩個(gè)為 0 0,或可以用兩個(gè)參數(shù)來表示， 因此末端的四個(gè)參數(shù)方程可以簡(jiǎn)化為兩個(gè)具有兩個(gè)未知數(shù)的齊次方程。 5.5. 臨界轉(zhuǎn)速的確定：轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的確定可以用“瞎子爬山” 、對(duì)分法等 來確定。選取某個(gè) P P 值，寫出所有軸段的傳遞矩陣，然后根據(jù)初始端的邊界 X 0(i i) X ki 0(i 1) ki M 0(k 1) M ki Q0(i 1) Qki 0其中，球頭聯(lián)軸器未知的相對(duì)轉(zhuǎn)角，在以后此 條件選取合適的初始參數(shù)矩陣。從轉(zhuǎn)子的起始端逐段推算其狀態(tài)參數(shù)，在每 個(gè)跨度的終端，按照條件進(jìn)行參數(shù)的消除和變換，最終遞推到末端時(shí)，可以 得到兩個(gè)含

12、有兩個(gè)未知數(shù)的齊次方程。假設(shè)齊次方程的系數(shù)行列式為 0 0，著 計(jì)算轉(zhuǎn)速就是臨界轉(zhuǎn)速；若行列式不為零，則重新選取臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算。將各 階臨界轉(zhuǎn)速帶入重新計(jì)算可得各段始、末端的參數(shù)，從而作出振型圖。計(jì)算 過程中，可以將第一跨度的初始截面的某個(gè)狀態(tài)參數(shù)設(shè)為 1 1，以后各截面的 參數(shù)值是相對(duì)于 1 1 的比例值。 臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算：?jiǎn)螆A盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng) 早期的旋轉(zhuǎn)機(jī)械比較簡(jiǎn)單，可以把轉(zhuǎn)子看做是圓盤裝在無重的彈性轉(zhuǎn)軸上 ，而轉(zhuǎn)車由 的兩端則由完全剛性即不變形的軸承及軸承座支撐， 這種模型成 為剛性支撐。 1.11.1 渦動(dòng)的定義 通常轉(zhuǎn)軸的兩支點(diǎn)在同一水平線上， 轉(zhuǎn)軸未變形時(shí)，轉(zhuǎn)子的軸線 處于

13、水平位置，（實(shí)際上由于盤的重力作用，即使在靜止時(shí)，轉(zhuǎn) 軸也會(huì)變形，而不是處于水平位置），由于轉(zhuǎn)子的靜變形交小， 對(duì)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)。 有時(shí)為了避開靜變形，可以 考慮讓轉(zhuǎn)軸的兩支點(diǎn)在同一垂直線上。 假設(shè)轉(zhuǎn)子以角速度Q做等速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)處于正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，軸線 是直的，如果在他的一側(cè)添加一橫向沖擊，則因轉(zhuǎn)軸有彈性而發(fā) 生彎曲振動(dòng)，渦動(dòng)就是研究這種性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。 假設(shè)圓盤的質(zhì)量為 m m 他所受到的力是轉(zhuǎn)軸的彈性恢復(fù)力 F= F= - -krkr，其中 k k 為轉(zhuǎn)軸的 剛度系數(shù)，R=ooR=oo，圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程： 由式可知，圓盤或轉(zhuǎn)軸的中心 o o在相互垂直的兩個(gè)方向作 頻率同為 WnWn的

14、簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在一般情況下，振幅 X X 和丫是不相同 的，式確定點(diǎn)軌跡為一橢圓，o o的這種運(yùn)動(dòng)成為“渦動(dòng)”，自然 頻率 WrWr 稱為進(jìn)動(dòng)角速度。 其中 B1B1 和 B2B2 都是復(fù)數(shù)，由起始的橫向沖擊決定。第一項(xiàng)是半徑 為 B1B1 的反時(shí)針運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，成為正進(jìn)動(dòng)。第 二項(xiàng)是半徑為 B2B2 的順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向和轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反， 成為反進(jìn)動(dòng)。圓盤中心 o o的渦動(dòng)就是這兩種進(jìn)動(dòng)的合成。由于起始 條件的不同，轉(zhuǎn)子中心的渦動(dòng)可能出現(xiàn)以下情況： . B1!=0B1!=0，B2=0B2=0 渦動(dòng)為正進(jìn)動(dòng)，軌跡為圓，半徑為 B1B1; . B B 仁 0 0 B2!=0B

15、2!=0 渦動(dòng)為正進(jìn)動(dòng)，軌跡為圓，半徑為 B2B2; . B B 仁 B2B2 軌跡為直線； . B1!= B2B1!= B2 軌跡為橢圓，B1B2B1B2 時(shí)為正渦動(dòng)；B1B2B1B2 時(shí)為反渦動(dòng)。 由以上討論可知，圓盤或轉(zhuǎn)軸的中心的進(jìn)動(dòng)或渦動(dòng)屬于自然振動(dòng)， 他的頻率就是圓盤沒有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)軸彎曲振動(dòng)的自然頻率。 圓盤的偏心質(zhì)量引起的振動(dòng)、臨界轉(zhuǎn)速 假設(shè)轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量為 m 偏心距為&，角速度為 W,設(shè)離心力的初始相位a為 0, 則在某一時(shí)刻 t ,離心力矢量和 x 軸的夾角為 wt,此時(shí)離心力在 X 和丫向的投影 為： Fx 和 Fy 分別是各自方向上的周期性變化的力，頻率和轉(zhuǎn)盤的頻率相

16、同，在這種 交變力的作用下，轉(zhuǎn)子在 X 和丫方向也將做周期性運(yùn)動(dòng)， 假設(shè)兩個(gè)方向上阻尼 和剛度相同，則轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)微分方程： 其解為： x(t) Z cos(wt ) y(t) Zsi n(wt ) F _ J 宀 1- 2 w/wn 2寇勝利 Wn 2 w/wn arcta n 2 1 w/wn ：人（143戎馬，可鍛得權(quán)緡 圓査或義軸中心對(duì)千不的響応為 UJS) 鐘一諤 結(jié)論: 1.1. 只考慮強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，軸心的響應(yīng)頻率和偏心質(zhì)量的激振頻率相同， 在轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)且不考慮阻尼時(shí)，相位也相同，軸心和質(zhì) 心在一條直線上；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)且不考慮阻尼時(shí)，相位 相差 180180。 2.2.

17、 當(dāng)考慮轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜； 3.3. 不平衡矢量所在的位置成為重點(diǎn)，振動(dòng)矢量所在的位置成為高點(diǎn)， 高點(diǎn)比重點(diǎn)滯后的角度成為滯后角，當(dāng)令阻尼比為 0 0 時(shí)，為 0 0, 說明滯后角是由阻尼引起的； 4.4. 轉(zhuǎn)子存在偏心，運(yùn)行的過程中又出現(xiàn)動(dòng)撓度，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn) 速時(shí)，撓度和 F F 即偏心方向相同，使終偏心增大；當(dāng)轉(zhuǎn)速等于臨 界轉(zhuǎn)速時(shí)，出現(xiàn)共振；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，撓度方向和偏心 方向相反，使終偏心減小，轉(zhuǎn)子振動(dòng)趨于平穩(wěn)，這種現(xiàn)象成為自 動(dòng)對(duì)心； 等截面轉(zhuǎn)子的振動(dòng) 并不是所有的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為具有剛性支撐的單輪盤轉(zhuǎn) 子系統(tǒng)模型，對(duì)于均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子，如果按照集中質(zhì)量處理，將

18、不 能反映真實(shí)振動(dòng)特性。 均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用一個(gè) 偏微分方程表示， 該偏微分方程含有時(shí)間和軸向位置兩個(gè)自變量， 因 此可以確定任意軸線位置在任意時(shí)刻的位置， 利用均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子 模型研究得出的結(jié)論對(duì)一般轉(zhuǎn)子也是適用的。 運(yùn)動(dòng)方程： 如圖上圖所示的兩端簡(jiǎn)支的等截面轉(zhuǎn)子， 設(shè)其密度為 P P,截面面積為 A,A,彎曲剛度為 EIEI，分布干擾力在 x xozoz 和 yozyoz 平面分 別為 Fx(z,t) Fy(z,t)Fx(z,t) Fy(z,t)，則轉(zhuǎn)子的振動(dòng)可以用以下一組微分方程組成: 曰亠 fx z,t z 曰 3 fy Z,t z 擾力為 0 0,即可 得到轉(zhuǎn)子的

19、自由振動(dòng)微分方程: 其解為: 有以下特點(diǎn): 振型函數(shù)sin口反映了轉(zhuǎn)子軸線上各點(diǎn)位移的相對(duì)比例關(guān) l 無論振幅 DnDn 如何變化，這種比例關(guān)系不會(huì)變化； 振型是由轉(zhuǎn)子- -支撐系統(tǒng)自身的特點(diǎn)決定的，所以又稱為固 有振型，不同類型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型函數(shù)不同，上述的是均質(zhì) 等截面轉(zhuǎn)子的振型函數(shù)。 有關(guān)振型的基本概念： a)a) 節(jié)點(diǎn)：軸線上某一點(diǎn)的振型函數(shù)值稱為該點(diǎn)的振型值，振 型值為 0 0 的點(diǎn)成為節(jié)點(diǎn)，階數(shù)越高節(jié)點(diǎn)越多，N N 階振型的 節(jié)點(diǎn)數(shù)為 N N- -1 1; b)b) 對(duì)稱性：對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的等截面轉(zhuǎn)子，奇數(shù)階振型是對(duì)稱 的，而偶數(shù)階振型是反對(duì)稱的。因此。在兩支座間，奇數(shù) 階振型相位

20、相同而偶數(shù)階振型相位相反； c)c) 正交性：轉(zhuǎn)子的不同階振型間具有正交性，即第 m m 階振型 和第 n n 階振型的乘積在軸長上的積分為 0 0 d)d) 理論上，轉(zhuǎn)子的 1 1、 2 2、3 3 階固有頻率的比值是 1 1：4 4：9 9， 實(shí)際 1 1、2 2A 2xz,t AS A t2 令分布干 由上式可知轉(zhuǎn)子的自由振動(dòng)是一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成, 這些簡(jiǎn)諧振動(dòng) . 固有頻率和振型函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的; . 系, . 階固有頻率間的比值為 1 1：3 3 左右； e)e) 理論上，轉(zhuǎn)子 - - 支撐系統(tǒng)經(jīng)過臨界點(diǎn)時(shí)，相位變化 180180， 實(shí)際上由于阻尼的存在， 在臨界轉(zhuǎn)速處相位一般變化

21、 9090， 即振動(dòng)矢量和不平衡矢量間的滯后角為 9090。 f)f) 如下圖所示，由于阻尼的存在，轉(zhuǎn)子中心對(duì)不平衡質(zhì)量的 響應(yīng)在 w=Ww=W 處不僅不是無限大值，而且不是最大值，最大 值發(fā)生在 w w略微大于 WrWr 時(shí)。對(duì)于實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，有時(shí)通 過在升速或降速的過程中測(cè)量響應(yīng)的辦法來確定轉(zhuǎn)子的臨 界轉(zhuǎn)速，常常把這個(gè)過程中的最大值即峰值的轉(zhuǎn)速作為臨 界轉(zhuǎn)速。有圖可知，通過測(cè)量所獲得的臨界轉(zhuǎn)速在升速上 略大于實(shí)際的臨界轉(zhuǎn)速，而在降速時(shí)這略小于實(shí)際的臨界 轉(zhuǎn)速。 1.3 陀螺力矩 基本概念： 1.1. 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量距：質(zhì)點(diǎn) Q Q 的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn) 0 0 的距定義為質(zhì) 點(diǎn)對(duì)于點(diǎn) 0 0的動(dòng)量

22、距，其值為點(diǎn) 0 0 到質(zhì)點(diǎn) Q Q 的矢量差乘 以動(dòng)量：Mo(mv)=RxmvMo(mv)=Rxmv方向按照右手定則判定。 2.2. 對(duì)軸的動(dòng)量距：質(zhì)點(diǎn) Q Q 的動(dòng)量在 xoyxoy 面內(nèi)的投影 mv(xy) mv(xy) 對(duì)與 0 0 點(diǎn)的距定義為質(zhì)點(diǎn) Q Q 對(duì) Z Z 軸的動(dòng)量距； 3.3. 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣 性的度量，它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸的 垂直距離平方的乘機(jī)的和 4.4. 賴柴定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量距矢量斷點(diǎn)的速度等 于外力系對(duì)同一點(diǎn)的主距。 當(dāng)圓盤不在兩支撐的中點(diǎn)而偏于一邊時(shí)， 轉(zhuǎn)軸變形后， 圓盤的軸 線和兩指點(diǎn)的連線 ABA

23、B 有一夾角。設(shè)圓盤的自轉(zhuǎn)角速度為w,極轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為 JpJp,貝卩圓盤對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量距為：H=JpwH=Jpw 根據(jù)右手定則，它 與 ABAB 連線的夾角也為。設(shè)轉(zhuǎn)軸渦動(dòng)的頻率為 WnWn 則圓盤中心 o o 與軸線 ABAB 所構(gòu)成的平面繞 ABAB 軸有進(jìn)動(dòng)角速度。由于進(jìn)動(dòng)，圓盤的動(dòng) 量距 H H 將不斷變化，因此動(dòng)量距矢量的終點(diǎn)將具有速度 U,U,根據(jù)賴柴 定理(質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量距矢量斷點(diǎn)的速度等于外力系對(duì)同一點(diǎn) 的主距)， 而圓盤重力距等于 0 0，顯然和動(dòng)量距矢量終點(diǎn)的速度相等 的外力距只可能是軸承的動(dòng)反力 F1F1、F2F2 產(chǎn)生的力矩； 力矩- -M M (根據(jù)作用和反作用)

24、稱為陀螺力矩，它是圓盤施加與轉(zhuǎn) 軸的力矩，相當(dāng)于彈性力矩。在正進(jìn)動(dòng)(OvOv n /2 /2 )時(shí)，它是轉(zhuǎn)軸 的變形減小，從而提高了轉(zhuǎn)軸的彈性剛度， 即提高了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速； 在反進(jìn)動(dòng)(n /2 /2 n)時(shí)，它是轉(zhuǎn)軸的變形增大，從而降低了轉(zhuǎn)軸 的彈性剛度，即降低了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。 當(dāng)機(jī)械中的高速轉(zhuǎn)動(dòng)部件的對(duì)稱軸被迫在空間中改變方位時(shí)， 即 對(duì)稱軸被迫進(jìn)動(dòng)時(shí)， 轉(zhuǎn)動(dòng)部件必須對(duì)約束作用一個(gè)附加力偶， 這種現(xiàn) 象稱為陀螺效應(yīng)。當(dāng)陀螺效應(yīng)嚴(yán)重時(shí)，可能使機(jī)械產(chǎn)生故障，尤其是 軸承。 彈性支撐對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響 Jeffcott 轉(zhuǎn)子：這種轉(zhuǎn)子模型是對(duì)真實(shí)轉(zhuǎn)子的簡(jiǎn)化，剛性支承的單盤轉(zhuǎn)子，單 盤位于支承

25、的中間，分析臨界轉(zhuǎn)速和陀螺力矩等，是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。 假設(shè)盤在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不考慮輪盤的偏轉(zhuǎn)，軸是無重軸。 臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算： 1.1.基本參數(shù)：截面慣性矩： J J二，彈性模量 E=2E11,E=2E11,右端質(zhì)量 m3=0.096g=0.1kg m3=0.096g=0.1kg ， 兩 個(gè) 盤 的 質(zhì) 量 m1=m2=0.8kgm1=m2=0.8kg， I p m1 r1 r2 2 / 2= =， Id=Ip/2= Id=Ip/2= 。 2. 2. 各軸段的傳遞矩陣： 第 一段 ： l=0.045m l=0.045m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=，

26、 a22= a22= ， 1 0.045 5.16x10 6 7.73x10 8 0 1 2.29x10 4 5.16x10 6 0 0 1 0.045 0 0 0 1 第二段 ： l=0.11m l=0.11m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22= a22= ， 1 0.11 5 3.08x10 5 1.128x10 6 0 1 5.6x10 4 5 3.08x10 5 0 0 1 0.11 0 0 0 1 第三段 ： l=0.15m l=0.15m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22=

27、a22= ， 1 0.15 5.73x10 5 2.865x10 6 0 1 7.64 x10 4 5 5.73x10 5 0 0 1 0.15 0 0 0 1 第 四段 ： l=0.11m l=0.11m ， J= J= ， a11= a11= ， a12=a21=a12=a21=， a22= a22= ， 1 0.11 3.08x10 5 1.128x10 6 0 1 5.6x10 4 5 3.08x10 5 0 0 1 0.11 0 0 0 1 第 五 段： l= l= ， J=J= ， a11= a11= ， a12=a21= a12=a21= ， 1 0.01 2.55x10 7 8.5x10 10 01 5.09 x10 5 2.54x10 7 a22=a22= 00 1 0.01 00 0 1 X 01 初始參數(shù)列陣為： 01 ，令 X01=