Ok-變分法模型

1、變分法模型變分法模型在數(shù)學分析中，大家已經(jīng)學會了如何確定在數(shù)學分析中，大家已經(jīng)學會了如何確定某一函數(shù)的極值問題，看到了其應用的廣某一函數(shù)的極值問題，看到了其應用的廣泛性。在許多工程實際問題中，我們還常泛性。在許多工程實際問題中，我們還常常需要求另一類特殊的量即函數(shù)的函數(shù)的常需要求另一類特殊的量即函數(shù)的函數(shù)的極值問題。通常將函數(shù)的函數(shù)稱為泛函。極值問題。通常將函數(shù)的函數(shù)稱為泛函。 1 變分法簡介變分法簡介 變分法是研究泛函極值問題的數(shù)學方法。變分法是研究泛函極值問題的數(shù)學方法。本節(jié)就變分法的基礎(chǔ)知識作簡要介紹，需本節(jié)就變分法的基礎(chǔ)知識作簡要介紹，需要深入了解的讀者可閱讀有關(guān)專著。要深入了解的讀者

2、可閱讀有關(guān)專著。變分法的基本概念變分法的基本概念泛函極值的必要條件泛函極值的必要條件歐拉方程歐拉方程 條件極值條件極值 哈密爾頓（哈密爾頓（Hamilton）函數(shù)）函數(shù) 101)(*xxmiiidxFFvi經(jīng)討論（略）可知作輔助泛函 其中均為常數(shù)。( 15）寫出其歐拉方程組求出其解即可。2 最速降線問題最速降線問題分析與建模分析與建模 評注評注 歷史上，伯努利解決最速降線問題是從一個似歷史上，伯努利解決最速降線問題是從一個似乎不相干的光學問題開始的，借助于史奈爾折射定乎不相干的光學問題開始的，借助于史奈爾折射定律、能量守恒原理及幾何關(guān)系（即光學、力學和微律、能量守恒原理及幾何關(guān)系（即光學、力學

3、和微積分等知識）得到了前面的（積分等知識）得到了前面的（24）式。我們也稱）式。我們也稱（24）式為最速降線的數(shù)學模型：微分方程模型。）式為最速降線的數(shù)學模型：微分方程模型。 比較兩個模型的的建模過程，我們可以看到，比較兩個模型的的建模過程，我們可以看到，伯努利對最速降線問題的解法非常奇妙，表現(xiàn)出了伯努利對最速降線問題的解法非常奇妙，表現(xiàn)出了驚人的想象能力，可以說是一項水平極高的的藝術(shù)驚人的想象能力，可以說是一項水平極高的的藝術(shù)工作，而變分法則提供了一種處理這類問題的通用工作，而變分法則提供了一種處理這類問題的通用分析方法。分析方法。3 機器設(shè)備的保養(yǎng)和更新優(yōu)化模型機器設(shè)備的保養(yǎng)和更新優(yōu)化模型

4、 問題與背景問題與背景 在各類企業(yè)中，每天都有大量的機器設(shè)備不停地運轉(zhuǎn)。在各類企業(yè)中，每天都有大量的機器設(shè)備不停地運轉(zhuǎn)。為保證其正常工作，需要經(jīng)常進行保養(yǎng)和維修。在各類化工為保證其正常工作，需要經(jīng)常進行保養(yǎng)和維修。在各類化工企業(yè)中就更是如此，各種設(shè)備運行的連續(xù)監(jiān)測，小到閥門的企業(yè)中就更是如此，各種設(shè)備運行的連續(xù)監(jiān)測，小到閥門的更換，大到停產(chǎn)檢修，不僅直接關(guān)系到企業(yè)的經(jīng)濟效益，同更換，大到停產(chǎn)檢修，不僅直接關(guān)系到企業(yè)的經(jīng)濟效益，同時也關(guān)系到國家財產(chǎn)和人民生命的安全問題，這顯然是一個時也關(guān)系到國家財產(chǎn)和人民生命的安全問題，這顯然是一個既十分重大又非常復雜的系統(tǒng)工程問題。既十分重大又非常復雜的系統(tǒng)工

5、程問題。 這里僅考慮如下的簡單情形：當機器設(shè)備經(jīng)過長期使用，這里僅考慮如下的簡單情形：當機器設(shè)備經(jīng)過長期使用，失去保養(yǎng)價值時，及時更換新的機器設(shè)備，而換下來的舊設(shè)失去保養(yǎng)價值時，及時更換新的機器設(shè)備，而換下來的舊設(shè)備轉(zhuǎn)賣做他用。即如何確定機器設(shè)備的最優(yōu)保養(yǎng)費用和轉(zhuǎn)賣備轉(zhuǎn)賣做他用。即如何確定機器設(shè)備的最優(yōu)保養(yǎng)費用和轉(zhuǎn)賣時間（或稱壽命期，設(shè)在壽命期內(nèi)，機器設(shè)備一直投入運時間（或稱壽命期，設(shè)在壽命期內(nèi)，機器設(shè)備一直投入運轉(zhuǎn)），從而使機器設(shè)備的經(jīng)濟效益最高。轉(zhuǎn)），從而使機器設(shè)備的經(jīng)濟效益最高。假設(shè)與建模假設(shè)與建模 模型求解模型求解 數(shù)值例子數(shù)值例子 4 生產(chǎn)與貯存的控制生產(chǎn)與貯存的控制問題與背景問題與

6、背景 一個集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望一個集生產(chǎn)、銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預先設(shè)定生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預先設(shè)定的水平上。如果銷售量可以準確地預測，的水平上。如果銷售量可以準確地預測，公司需要制訂一個根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)公司需要制訂一個根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略。率的策略。假設(shè)與建模假設(shè)與建模 模型求解模型求解 為了研究最優(yōu)解)(tu和)(tx之間的關(guān)系，由(7)、(8)兩式可以得到 teeexetxxvtuTTT)1(2000)()( 令T（即穩(wěn)定狀態(tài)的情形） ，則對任意有限的 t，上式右端最后一項趨于零，于是有 )(00 xxvu ( 9 ) 圖 2-2 最優(yōu)解

7、)(tx和)(tu的圖形 由圖可見，只要0 xxm，就有mxtx)(0，即)(tx滿足條件(3)， 而給出的參數(shù)mx和0 x自然應該有0 xxm。另一方面，因為 TshTchTtxvutu1000)0()(max TshTchTtxvTutu1000)()(min 習 題 參考文獻參考文獻葉其孝葉其孝. 大學生數(shù)學建模競賽輔導教材（二）大學生數(shù)學建模競賽輔導教材（二）.長沙：長沙：湖南教育出版社，湖南教育出版社， 1997姜啟源姜啟源. 數(shù)學模型數(shù)學模型 . 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，1993任善強任善強. 數(shù)學模型數(shù)學模型 . 重慶：重慶大學出版社，重慶：重慶大學出版社，1998（美）（美）G.F.賽蒙斯賽蒙斯 . 微分方程微分方程 . 北京：人民教育出版北京：人民教育出版社，社，1981E.A.本德本德 . 數(shù)學模型引論數(shù)學模型引論 . 北京：科學普及出版社，北京：科學普及出版社，1982湛安琦湛安琦 . 科技工程中的數(shù)學模型科技工程中的數(shù)學模型 . 北京：中國鐵北京：中國鐵道出版社，道出版社，1988李心燦李心燦 . 高等數(shù)學應用高等數(shù)學應用205例例 . 北京：高等教育北京：高等教育出版社，出版社，1997陳義華陳義華 . 數(shù)學模型數(shù)學模型 . 重慶：重慶大學出版社，重慶：重慶