添輔助線的規(guī)律

1、添輔助線的規(guī)律 （一）添輔助線的目的：    解證幾何問題的基本思路就是要利用已知幾何條件求得所求幾何關(guān)系。這往往需要將已知條件與所求條件集中到一個(gè)或兩個(gè)幾何關(guān)系十分明確的簡單的幾何圖形之中。如一個(gè)三角形（特別是直角三角形、等腰三角形），一個(gè)平行四邊形（特別是矩形、菱形、正方形），一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形，兩個(gè)相似三角形之中。這種思路可稱為條件集中法。    為了達(dá)到條件集中的目標(biāo)，我們需要將遠(yuǎn)離的、分散的已知條件和所求條件，通過連線、作線、平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)等方法來補(bǔ)全或構(gòu)造一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓、或兩個(gè)全等三角

2、形、兩個(gè)相似三角形。以便于運(yùn)用這些圖形的幾何關(guān)系（性質(zhì)定理）解題，這就需要添加輔助線。    添加什么樣的輔助線，總由以下三方面決定：    由所求決定：問什么，先要作什么。    由已知決定：已知什么，作出什么，并為充分運(yùn)用已知條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線。    由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十分明確的一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形而添加輔助線。（二）添輔助線的規(guī)律：    （1）三角形中：&

3、#160;   等腰：常連底邊上的中線或高或頂角的平分線（構(gòu)造兩個(gè)全等的直角，或便于運(yùn)用等腰三線合一的性質(zhì)。如圖1）    直角斜邊上有中點(diǎn)：連中線（構(gòu)造兩個(gè)等腰，或便于運(yùn)用直角斜邊上的中線的特殊性質(zhì)。如圖2）    斜有中點(diǎn)或中線：連中線(構(gòu)造兩個(gè)等底同高的等積。如圖3）；    或自左右兩頂點(diǎn)分別作中線的垂線（構(gòu)造兩個(gè)全等直角三角形。如圖4）；    或連中位線、或過一中點(diǎn)作另一邊的平行線（構(gòu)造兩個(gè)相似比為1：2的相似，或便于運(yùn)用中位線定理。

4、如圖5、6）；或延長中位線或中線的一倍（構(gòu)造兩個(gè)全等或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖7、8）?；蜓娱L中線的1/3（構(gòu)造兩個(gè)全等或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖9）。 有角平分線：過其上某一交點(diǎn)作角兩邊的垂線（構(gòu)造兩全等的直角。如圖10）或一邊或兩邊的平行線（構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)等腰或一菱形。如圖11）。    有角平分線：在此角的一邊上自頂點(diǎn)取一段等于另一邊并作相關(guān)連線（構(gòu)造兩個(gè)全等。如圖12、13）    有角平分線遇垂線：常延長垂線（構(gòu)造等腰。如圖14）。 （二）梯形：    延長兩腰交于一點(diǎn)（構(gòu)造兩相似。如圖15

5、），    由小底的一端作一腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的和一平行四邊形。如圖16）。    由小底的兩端作大底的垂線（構(gòu)造兩直角和一矩形。如圖17）。    有對(duì)角線時(shí)：由小底的一端作另一對(duì)角線的平行線（構(gòu)造一集中有兩對(duì)角線及上下兩底和的和一平行四邊形。如圖18）。    連小底一端與另一腰中點(diǎn)并與大腰的延長線相交（構(gòu)造兩全等及一與梯形等高等積的。如圖19）。    過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線（構(gòu)造兩全等及與梯形等積的平行四邊形。

6、如圖20）。    過小底的中點(diǎn)分別作兩腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的和兩個(gè)平行四邊形。如圖21）。 （三）圓：    有弦：連過弦端點(diǎn)的半徑，連垂直于弦的直徑或弦心距（構(gòu)造直角，便于運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)解題）；或作過弦一端點(diǎn)的切線及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理。如圖22）。    有直徑及垂直直徑的弦或半弦，連結(jié)弦與直徑的端點(diǎn)（構(gòu)造三個(gè)相似的直角，便于運(yùn)用直角的性質(zhì)及射影定理。如圖23）。    有圓內(nèi)接四邊形：連對(duì)角線（構(gòu)造較多相等

7、的圓周角。如圖24）；或延長四邊形的某一邊（構(gòu)造與內(nèi)對(duì)角相等的外角。如圖25）。    圓外有切線：連過切點(diǎn)的半徑或直徑（構(gòu)造垂直關(guān)系）；或作過切點(diǎn)的弦及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理。如圖26）。    圓外有兩條相交切線：連過切點(diǎn)的半徑，并作切線交點(diǎn)與圓心的連線（構(gòu)造兩全等的直角三角形）；或作過交點(diǎn)和加以的割線（便于運(yùn)用切線割線定理）；或連結(jié)兩切點(diǎn)（構(gòu)造一等腰、三對(duì)全等的直角、被切線交點(diǎn)與圓心的連線垂直平分的弦，便于運(yùn)用等腰、直角、全等以及射影定理。如圖27）。    有相交弦或相交于圓外的

8、割線切線：連結(jié)不同弦的端點(diǎn)或不同割線在圓上的交點(diǎn)（構(gòu)造相似，便于運(yùn)用比例線段及外角定理。如圖28、29、30）。    兩圓相交：作連心線、公共弦，甚至兩圓心到公共弦兩端點(diǎn)的連線（構(gòu)造兩等腰、補(bǔ)全一箏形，便于運(yùn)用連心線垂直平分公共弦的定理。如圖31）。    兩圓外切：作連心線及內(nèi)、外公切線、連切點(diǎn)、連半徑（構(gòu)造一集中有兩條弦及外公切線長的直角、一集中有兩圓半徑、半徑之和及外公切線長的直角梯形。如圖32）。    兩圓內(nèi)切：作連心線及外公切線（便于運(yùn)用連心線與公切線的垂直關(guān)系。如圖33）。 &#

9、160;  兩圓外離：作連心線及個(gè)公切線或內(nèi)公切線，并過小圓圓心作公切線的平行線（構(gòu)造一集中連心線長、公切線長、兩圓半徑差或和的直角。如圖34、35）。1圖中已知有中線，倍長中線把線連。 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等形，等線段角可代換。 多條中線連中點(diǎn)，便可得到中位線。 倘若知角平分線，既可兩邊作垂線。 也可沿線去翻折，全等圖形立呈現(xiàn)。 角分線若加垂線，等腰三角形可見。 角分線加平行線，等線段角位置變。 已知線段中垂線，連接兩端等線段。2人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。 輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。 題中有角平分線，可向兩邊作垂線。 線段垂直平分線，可向兩端把線

10、連。 三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。 三角形中有中線，延長中線同樣長。 成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。 圓外若有一切線，切點(diǎn)圓心把線連。 如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點(diǎn)作切線。 兩圓相交于兩點(diǎn)，一般作它公共弦。 是直徑，成半圓，想做直角把線連。 作等角，添個(gè)圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。 平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。 梯形里面作高線，平移一腰試試看。 平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。 證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。 半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。 圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。 切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。 要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。 弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。 弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。 要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。 還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓 如果遇到相交圓，不要忘作