晶體的熱傳導(dǎo)

1、§3-8 晶體的熱傳導(dǎo)晶格振動(dòng)理論是一種簡(jiǎn)諧近似理論，即在晶體的勢(shì)能中只考慮與原子位移有關(guān)的簡(jiǎn)諧項(xiàng)。按這一理論，各種格波是相互獨(dú)立的，某一格波處于某一能級(jí)不會(huì)衰減，這樣晶格振動(dòng)的熱平衡就無(wú)法實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際晶體中，勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)間雖然很小，但總是存在，由于非諧項(xiàng)的作用，簡(jiǎn)諧振子不再是相互獨(dú)立的，相互間要發(fā)生作用，即聲子間要發(fā)生能量交換。這樣，如果開(kāi)始時(shí)只存在某種頻率的聲子，由于聲子間的相互作用，這種頻率的聲子將會(huì)轉(zhuǎn)換成另一頻率的聲子，即一種頻率的聲子要湮滅，而另一種聲子將產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)一定的弛豫時(shí)間后，各種聲子的分布能達(dá)到熱平衡。3. 8. 1 N過(guò)程和U過(guò)程原子間的非諧作用使格波交換能量，

2、是聲子達(dá)到熱平衡的基礎(chǔ)。這一節(jié)要研究聲子間的相互作用，并用聲子氣模型來(lái)解釋熱阻問(wèn)題。最簡(jiǎn)單的聲子間相互作用是三聲子過(guò)程，即2個(gè)聲子（；）相互作用產(chǎn)生第3個(gè)聲子（）的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，滿足能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒： （3-8-1）（3-8-2）其中G為倒格矢。如果G=0，則都在第一布里淵區(qū)內(nèi)，如圖3-8-1(a)所示。聲子碰撞前后系統(tǒng)的準(zhǔn)動(dòng)量嚴(yán)格守恒，能量不變，這樣的過(guò)程不產(chǎn)生熱阻，不影響整個(gè)聲子系統(tǒng)的流動(dòng)，稱為正常過(guò)程或正規(guī)過(guò)程，也叫N過(guò)程。q1q2q3q2q1q3q4G(a) (b) 圖3-8-1 兩個(gè)聲子的相互作用如果G0，則相當(dāng)于在第一布里淵區(qū)，而不在第一布里淵區(qū)（超出第一布里淵區(qū)的范圍）

3、，如圖3-8-1(b)所示。按照我們前面的討論，不在第一布里淵區(qū)的波矢不代表新的物理意義，或者說(shuō)有物理意義的波矢都在第一布里淵區(qū)內(nèi)。我們可以將約化到第一布里淵區(qū)，用代表，即。但由于聲子碰撞產(chǎn)生的有意義的波矢的方向與原來(lái)波矢和的方向幾乎相反，而且這一過(guò)程中初態(tài)與終態(tài)的準(zhǔn)動(dòng)量差G，因此這種過(guò)程對(duì)于改變聲子動(dòng)量起重要作用，是高溫下影響平均自由程的決定性因素，這個(gè)過(guò)程是產(chǎn)生晶格熱阻的主要物理機(jī)制。常稱這個(gè)過(guò)程為倒逆過(guò)程，也叫U過(guò)程。3. 8.2 晶體的熱導(dǎo)率設(shè)某種材料制成的樣品兩端溫度不同，分別為，T2（設(shè)T2>T1）。熱流就會(huì)從高溫端流向低溫端，如圖3-18所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，能流密度Q正比于

4、溫度梯度（3-8-3）為熱導(dǎo)率。它度量樣品傳輸能量的能力，一般取為正值，式中負(fù)號(hào)表示能流密度與溫度梯度方向相反。xT1T2圖3-18 聲子的熱導(dǎo)如果不考慮電子對(duì)熱傳導(dǎo)的貢獻(xiàn)，則晶體中的熱傳導(dǎo)主要依靠聲子來(lái)完成。在沒(méi)有溫度梯度時(shí)，各種q的聲子在各方向上作無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)。存在溫度梯度時(shí)，由聲子把能量從T2端傳遞到T1端，能流密度Q0。聲子不是暢通無(wú)阻地由T2端行進(jìn)到T1端，在通過(guò)樣品的擴(kuò)散過(guò)程中遭到頻繁地碰撞。通常把聲子的前后兩次碰撞間走過(guò)的平均距離l稱為聲子的平均自由程。利用上述模型，我們可以把經(jīng)典氣體分子運(yùn)動(dòng)論中關(guān)于熱導(dǎo)率的理論移植到聲子熱傳導(dǎo)的問(wèn)題中來(lái)。得到聲子的熱導(dǎo)率為：（3-8-4）其中是晶格

5、（聲子）比熱，是聲子平均速度的大小，說(shuō)得更清楚一點(diǎn)，是布里淵區(qū)中全部占據(jù)態(tài)（聲子）平均速度的大小。在（3-8-4）中，CV是與溫度相關(guān)的，平均自由程l由散射過(guò)程決定，顯然也與溫度密切相關(guān)，只有基本上與溫度無(wú)關(guān)，所以熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)。比熱與溫度的關(guān)系在前面已經(jīng)論述過(guò)，這里主要介紹平均自由程l與溫度T的關(guān)系。平均自由程l與溫度T的關(guān)系決定于在晶體中發(fā)生的碰撞（散射）過(guò)程，這個(gè)問(wèn)題非常復(fù)雜，下面只簡(jiǎn)單歸納為幾個(gè)重要的散射機(jī)制：（1）聲子之間的散射（2）聲子受晶體中的點(diǎn)缺陷（雜質(zhì)、空位等）的散射（3）聲子受樣品邊界的散射與每一種散射機(jī)制相聯(lián)系有一個(gè)平均自由程，因而產(chǎn)生相應(yīng)的熱阻總熱阻為：W=Wa+W

6、b+Wc+總平均自由程為：由于l與T的關(guān)系十分復(fù)雜，這里只討論簡(jiǎn)單情況，即某一溫度范圍內(nèi)，假設(shè)只有一種散射機(jī)制起主導(dǎo)作用聲子之間的散射。前面介紹了聲子之間散射的N過(guò)程和U過(guò)程。對(duì)于機(jī)械波在傳遞能量時(shí)，并不需要媒質(zhì)中一定要存在溫度梯度，即熱導(dǎo)率可無(wú)限大，熱阻為零。按聲子氣模型，若聲子間無(wú)相互作用，可只存在N過(guò)程仍不能解釋熱阻產(chǎn)生的原因。因?yàn)槿糸_(kāi)始時(shí)聲子氣的準(zhǔn)動(dòng)量沿x方向，在傳播過(guò)程中系統(tǒng)的準(zhǔn)動(dòng)量保持不變，則聲子將攜帶能量沿x方向傳播，也不需要溫度梯度。只有當(dāng)聲子間存在U過(guò)程相互作用時(shí)，才能解釋晶格熱阻產(chǎn)生的原因。3. 8. 3 U過(guò)程對(duì)熱導(dǎo)的影響如果兩個(gè)聲子散射后產(chǎn)生第三個(gè)聲子，只有，波矢大小具有的量級(jí)，才可能發(fā)生的U過(guò)程，引起熱阻。根據(jù)德拜理論，這兩個(gè)參與碰撞的聲子的能量為量級(jí)。在高溫下（T>>），因?yàn)椋?-8-5）所以總聲子數(shù)與T成正比，能夠參與U過(guò)程的聲子數(shù)也與T成正比。由于聲子數(shù)的多少與碰撞幾率成正比，所以有：T（3-8-6）即l（3-8-7）由于高溫下，聲子的比熱容CV遵守杜隆珀替定律，與溫度無(wú)關(guān)，所以此時(shí)熱導(dǎo)率本身隨溫度升高而降低，即1/T（3-8-8）實(shí)際上，更精確的理論分析可以導(dǎo)出1/()，這里x介于1到2之間，這一點(diǎn)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。低溫（T<