Chapter 11 能量原理與變分法

1、1- -1 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)1- -2 基本假定基本假定1- -3 彈性與塑性彈性與塑性應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS1Chapter 11 能量原理與變分法11.1 彈性體的形變勢(shì)能 1.問(wèn)題的提出： （1）從前面已討論的問(wèn)題可以看出：求解偏微分方程的某種 邊值問(wèn)題。 空間問(wèn)題：泛定方程含有15個(gè)未知量，15個(gè)偏微分方程 平面問(wèn)題：泛定方程含有8個(gè)未知量，8個(gè)偏微分方程 給定邊界條件，求解這兩組方程在一般情況下是極其困難的 有時(shí)是不可能的 （2）考慮到求解偏微分方程的困難，另一個(gè)途徑則是通過(guò)積 分的形

2、式來(lái)試圖解決問(wèn)題，這就是變分法的基本思想。體現(xiàn)在 彈塑性力學(xué)中，就稱之為能量法。即通過(guò)能量的概念將求解的 偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夥汉瘮?shù)的極值問(wèn)題。 （3）能量法是和彈性體的形變勢(shì)能密切相關(guān)的，因此在研究變分法之前先說(shuō)明彈性體的形變勢(shì)能與應(yīng)力，應(yīng)變，位移之間的關(guān)系，并導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式（4）要注意各能量原理的應(yīng)用范圍2.形變過(guò)程的熱力學(xué)本質(zhì)：（1）變形特點(diǎn)：物體變形過(guò)程，其本質(zhì)是一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程。 等溫過(guò)程： 絕熱過(guò)程：（2）熱力學(xué)第一定律：應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS2QAUK其中 K為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形的動(dòng)能變化 U 為t時(shí)間間隔內(nèi)

3、物體變形的內(nèi)能變化 A為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形時(shí)外力功的變化 Q為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形時(shí)熱能的變化應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS3 設(shè)物體的體積為V，表面積為S,受外力Fi,面力為Ti，變形時(shí)其位移為Ui,，應(yīng)變?yōu)閕j，應(yīng)力為,ij則物體的動(dòng)能 ViidVuuK21其中tuuii為速度viidVuuk iiiiiiiiiuuttuutuuuuu )21(2應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS4外力功的變化SiiViidsuTdVuFA由外力邊界條件jijilT并利用高斯積分公式則面積分dsl

4、udsuldsuTjiijsijijsii)(VjiijVjijijVjiijsiidvudvudvudsuT,)(應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS5注意到ijijijjiijijijuuuuu)(21)(21,其中ij為應(yīng)變張量 ij為剛性位移轉(zhuǎn)動(dòng)張量 從而有vijijvijijsiidvdvudsuT,vijijivjijidvdvuFA)(,QdvdvuuFQKAUVvijijiiijij)(, QdvUvijijVijijdVU對(duì)子絕熱過(guò)程，有在平衡狀態(tài)下，k=0 有VijijdVAU即：在平衡狀態(tài)下，外力所做的功等于物體中應(yīng)變能有

5、變化， 或者說(shuō)：外力新做有功,全部轉(zhuǎn)化為物體的應(yīng)變能記單位體積的應(yīng)變能增量ijijU0即VdVUU0 應(yīng)變彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS8ijijijdU00ijijijdU00ijijijdU0*0應(yīng)變余能顯然有ijijdUU*00 xx應(yīng)變彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS9記單位體積 的應(yīng)變能函數(shù)3.應(yīng)變能與應(yīng)變余能： 定義（單位體積）應(yīng)變能：應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS6 在線彈性狀態(tài)下，應(yīng)變比能（單位體積的應(yīng)變能）和應(yīng)變比余能）

6、分別為：ijiju210ijiju21*0 xx4.應(yīng)變能的表達(dá)式：(1)應(yīng)變比能 （即單位體積的應(yīng)變能，也叫變形比能或形變勢(shì) 能密度）ijijdu0在線彈性狀態(tài)下)(210zxzxyzyzxyxyzyyxxzzzzu應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS7利用廣義Hooke定律ijijijEvEv1或ijijije2期中zyxijzyxije代入得)(1 ( 2)(2)(212222220zxyzxyxzzyyxzyxzzzvvEu應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS8)(21)(21)1 (

7、222222220zxyzxyzyxevvvEu或*以應(yīng)變分量表示應(yīng)變比能2220111121zxyzxyzzyyxxCCCGvvEvvEvvEU)(1 ( 2)(1 (2122222220zxyzxyzyxCCCvvVEU13應(yīng)變彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS8)(1 ( 2)(1 ( 221)(1 ( 2)(2)(2122222222222220zxyzxyzyxzxyzxyxzz

8、yyxzyxvvEvvEu*以變分量表示應(yīng)變比能)()(221)()2()2()2(2122222222220zxyzxyzyxzxyzxyzzyyxxeeeeu應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS8)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxEvvvEu（2）變形能U0 a.U是位置坐標(biāo)的函數(shù)： 在一般的情況下，彈性體受力并不均勻，各應(yīng)力分量ij和應(yīng)變 分量 ij 一般都是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因而比能 一般也是位置坐標(biāo)的函數(shù)),(zyxijij),(zyxijij),(00zyxuu 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO

9、-PLASTICITY OF SOLIDS10dxdydzzuxwywzvxvyuzwyvxuzwyvxuvvvEu)(21)(21)(21)()()()(21)1 ( 2222222（3）彈性體的比能U0對(duì)任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量。彈性體的比能U0對(duì)任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量考察xzyxzyxxvEvEu)(1)(22 210應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS96.整個(gè)彈性體的變形能U：dxdydzevvvdxdydzvvEdxdydzdxdydzuuzxyzxyzyxzxyzvxyxzzyyxzyxzxz

10、xyzyzxyxyzzyyvxxv)(21)(21)1 ( 21)(1 ( 2)(2)(21)(2122222222222220應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS11xyxyxyxyxyGEvvEu1)1 (22)1 (2210 xxxxeevvvEu2)2221()1 (20 xyxyxyxyxyGvEu)1 (20其中)21)(1 (vvve)1 (2vEG應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS12一般地，由虛應(yīng)變比能：ijiju0考慮)(00ijuu的全微分：ijijuu00故有ijiju

11、0又由虛應(yīng)變比余能：ijiju*0考慮)(*0*0ijuu的變分ijijuu*0*0故有ijiju*0在彈性范圍內(nèi)*00uu 應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS1311.2位移變分方程：虛們移原理 1.位移變分虛位移設(shè)有任一彈性體，在一定的外力作用 下處于平衡狀態(tài)u,v,w為彈性體中實(shí)際產(chǎn)生的位移分量kwj vi uu位移u,v,w 滿足（1）有關(guān)的基本方程：用位移表示的平衡方程 （2）有關(guān)的邊界條件：位移邊界條件 用位移表示的外力邊界條件 假想u,v,w發(fā)生了位移邊界條件新容許的微小變化，即所謂的位移變分或位移u, v, w應(yīng)用彈塑性力學(xué)

12、APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS14uuu記為kwjvvi uu或uukwjviuuuuuvvvwww*微分與變分：坐標(biāo)x,函數(shù)u微分：x+dx u+du 函數(shù)U(x)變分：x u+u 泛函：I(u)應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS15由虛位移（或位移變分）引起的能量改變： 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在沒(méi)有溫度改變，即無(wú)熱能，動(dòng)能改變時(shí)，依據(jù)能量守恒定律，形變能的改變也就等于外力所做的功。 因此，由虛位移（或位移變分）引起的能量改變也應(yīng)符合這一規(guī)律。外力在虛位移上所做的虛功：體力的虛功=dvuFdxdydzw

13、ZvYuXivi)(由虛位移引起的能量改變虛應(yīng)變能：面力的虛功=siisdsuTdswZvYuX)(應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS16dvdxdydzuvijijvzxzxyzyzxyxyzzyyxx)(虛功：siiviidsuTdvuFA*注意到：彈性變形產(chǎn)生時(shí)，形變能增加，外力勢(shì)能減小 形變能減少，外力勢(shì)能增加應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS172.虛歲位移原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給予物體微小虛位移時(shí)外力的總虛應(yīng)變能，即有：wu或tsiiviivijijdsuTd

14、vuFdv虛位移原理的位移變分方程證明（1）必要性：由平衡方程0,ijijF給一虛位移ui,滿足邊界條件:在Su上，iiuu 0iu應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS18在 ST 上，jijilT其中 S=Su+ST, S為整個(gè)邊界 Su為給定位移的邊界 ST為給定外力的邊界考察svjiijjiijvvjiijjiijvvijijiidvludsludvudvudvudvuF,)(應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS19由于在Su上0iu在ST上ijijTl 故ssiijiijTdsuTdsl

15、u考慮到i,j的變化，應(yīng)有ijjijiijuu,又jiij故有ijijijjiijijjijiijjiijuuuuu)(21)(21,應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS21*（或注意到ijijijjiijijijwuuuuu)(21)(21,則平衡時(shí)無(wú)剛性位移0ijw或應(yīng)力在剛性位移上不做功從而有ijijjiiju,）于是得到vvsiiiiijijTdsuTdvuFdv(2)充分性：由wu即vviiijijdvuFdv應(yīng)用彈塑性力學(xué) APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS21 簡(jiǎn)支梁支均布載荷作用設(shè)撓度曲線xexcwnnenmmmmnnneedxcmxmexmncxnexnEIdxwwEIdxwEIu0121201111121111112虛變性能：虛功emmmeedxcxeqxwdxqqwdxw000虛位移原理給出：dxxlqxdxcxmexmxnexnnm