數(shù)學(xué)是研究和描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象客觀規(guī)律的重要工

1、第一章 函 數(shù)irichlet，1805年1859年）給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在數(shù)學(xué)的龐大家族中，主要以函數(shù)為研究對象的數(shù)學(xué)分支有“微積分學(xué)”、“實變函數(shù)論”、“復(fù)變函數(shù)論”等；而函數(shù)思想方法作為一種基本的數(shù)學(xué)觀念已滲透到數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、經(jīng)濟科學(xué)和管理科學(xué)等各個領(lǐng)域。函數(shù)是近代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是微積分學(xué)研究的對象。高等數(shù)學(xué)就是以函數(shù)為主要研究對象的一門數(shù)學(xué)課程；其中極限是貫穿高等數(shù)學(xué)始終的一個重要概念，它是這門課程的基本推理工具；連續(xù)則是函數(shù)的一個重要性態(tài)，連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象。基本內(nèi)容：基本概念：映射與函數(shù)概念；函數(shù)的圖象與幾何特性（有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性）；基本初等函

2、數(shù)、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)以及反函數(shù)概念?；具\算：函數(shù)的定義域；函數(shù)的四則運算及其復(fù)合運算；函數(shù)的圖形變換等?；纠碚摚簩?yīng)法則。具體應(yīng)用：函數(shù)在具體問題中的應(yīng)用。本章重點：函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)及定義域、圖象、簡單性質(zhì)等課標導(dǎo)航1掌握數(shù)集的定義及表示法，并能用鄰域表示實數(shù)。2掌握實數(shù)絕對值的定義與簡單性質(zhì)，并能用不等式和絕對值表示實數(shù)的范圍。3掌握函數(shù)的概念，重點是定義域、對應(yīng)法則、值域環(huán)節(jié)。4理解并能熟記基本初等函數(shù)的定義、定義域、解析式、值域、圖象和性質(zhì)。5搞清楚復(fù)合函數(shù)的概念、復(fù)合與分解。側(cè)重于分解。6了解分段函數(shù)的概念、反函數(shù)概念。7領(lǐng)會初等函數(shù)的概念，把握函數(shù)的特性。一、

3、知識梳理與鏈接（一）基本概念1實數(shù)、絕對值、集合 實數(shù)人們的實踐活動總是要與數(shù)打交道，它是數(shù)學(xué)中最重要基本的對象。數(shù)可歸納為【注】在高等數(shù)學(xué)中，所遇到的數(shù)基本上是實數(shù)。 絕對值絕對值是表示數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離，函數(shù)的定義域或區(qū)間范圍及其鄰域等往往用絕對值表示。數(shù)的絕對值定義為 鄰域【定義】以點為中心的任何開區(qū)間稱為點的鄰域，記為設(shè)是任一正數(shù)，則開區(qū)間就是點的一個鄰域，這個鄰域稱為點的鄰域，記作 ，即 其中：點稱為這個鄰域的中心，稱為這個鄰域的半徑。由于相當于，因此因為表示點與點間的距離，所以表示：與點距離小于的一切點的全體。點的鄰域去掉中心后，稱為點的去心鄰域，記作 ，即 這里是表示

4、集合集合是數(shù)學(xué)上一個最基本的概念，數(shù)學(xué)的每一個分支都離不開它。按照某一法則規(guī)定的研究對象的全體稱為集合，集合里的各個對象稱為這個集合的元素。元素是構(gòu)成集合的事物或?qū)ο?，集合是一個基本的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用越來越廣泛。集合的種類很多，常用到的有以元素多少的分類 全集：研究的所有事物全體構(gòu)成的集合，記為或 【注意】全集是相對的，在一定條件下是，在另一條件下則不是空集：不包括任何元素的集合。記為或子集：若的元素都是集的元素（，則），稱為的子集，記為2映射【定義】設(shè)、是兩個非空集合，如果存在一個對應(yīng)法則，使得對中每個元素，按法則，在中有唯一的元素與之對應(yīng)，則稱為從到的映射，記作3函數(shù)的定義【定義】設(shè)數(shù)集，則

5、稱映射：為定義在的函數(shù)，通常簡記為 ，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，記作，即【定義】設(shè)有兩個變量和，若按照某種對應(yīng)規(guī)則或規(guī)律，變量在數(shù)集中每取一個值，變量就有一個確定的值與之對應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)，通常簡記為 ，其中稱為自變量，稱為因變量，稱為定義域，記作，即.4.顯函數(shù)、隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)給定的函數(shù)基本上是用公式表示的，因為這種表示法便于理論上的分析研究，而用公式表示的函數(shù)尤以顯函數(shù)、隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、分段函數(shù)為多見。顯函數(shù)：形如 ， 的給定的函數(shù)，則稱為的顯函數(shù)。隱函數(shù)：若自變量為的函數(shù)是由方程 確定的，則稱為的隱函

6、數(shù)。參數(shù)方程所確定的函數(shù)：設(shè)為參變量，若自變量為的函數(shù)是由方程組 確定的，則稱為由參數(shù)方程所確定的的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域，值域，而且，那么經(jīng)過中間變量而成為的函數(shù)，這種函數(shù)稱為由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。記作 分段函數(shù)：在不同的定義區(qū)間內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。反函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域，值域，如果對于任意，存在唯一，使，則有反函數(shù)，且與相反的對應(yīng)法則稱為的反函數(shù)，記作 習(xí)慣上記作5幾個常用的函數(shù)常函數(shù)：形如的函數(shù)，其中為常數(shù)，稱為常函數(shù)。絕對值函數(shù)：形如的函數(shù)，稱為絕對值函數(shù)。符號函數(shù)：函數(shù)，稱為符號函數(shù)取整函數(shù)：函數(shù)（設(shè)為任一實數(shù)，不超過的最大整數(shù)稱為的整數(shù)

7、部分，記作）稱為取整函數(shù)6基本初等函數(shù)【定義】冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這五大類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。7初等函數(shù)【定義】由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次復(fù)合而成的函數(shù)，且能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。（二）性質(zhì)、法則、公式1.實數(shù)的基本性質(zhì)有序性：任意兩個實數(shù)，之間有且僅有三種關(guān)系之一成立.；.；.稠密性：任意兩個實數(shù)，不論相差多么小，在它們之間一定存在著另外無限多個有理數(shù)（或無理數(shù)）。連續(xù)性：全體實數(shù)與數(shù)軸上的全體點之間有著一一對應(yīng)關(guān)系。因此實數(shù)充滿整個數(shù)軸而沒有空隙，實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。正因為這個原因，常把點和實數(shù)混同使用，不加以區(qū)別。2.

8、集合的運算有：并、交、差和補；并和交都滿足交換律、結(jié)合律；并對交或交對并具有分配律。3.函數(shù)的四則運算設(shè)函數(shù)，的定義域分別為，且， 則和（差）：積：商：4函數(shù)的特性函數(shù)的有界性給定函數(shù)，且，如果存在一個正數(shù)集，對于所有，有 成立，則稱函數(shù)在上有界。否則，稱函數(shù)在上無界【注意】在上有界的函數(shù)的圖形，在上的那一條曲線必介于兩條平行于軸的直線之間。函數(shù)的單調(diào)性給定函數(shù)，且，如果對于任意，有，則稱函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加（或單調(diào)減?。?一般地，函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加（或單調(diào)減?。r，它的圖形沿著軸的正向是一條不降（或不升）的曲線?！拘再|(zhì)】兩個單調(diào)增加（減少）函數(shù)之和是單調(diào)增加（減少）函數(shù)；兩個正單調(diào)增加（減少）

9、函數(shù)的乘積是單調(diào)增加（減少）函數(shù)；函數(shù)是單調(diào)增加的充分必要條件是是單調(diào)減少函數(shù)；函數(shù)（）是單調(diào)增加的充分必要條件是是單調(diào)減少函數(shù)；單調(diào)增加（減少）函數(shù)的反函數(shù)存在，且也是單調(diào)增加（減少）函數(shù)；若及都是單調(diào)增加，則也是單調(diào)增加；若及都是單調(diào)減少，則也是單調(diào)增加.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如果對于任意一個有恒成立，稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對于任意一個有恒成立，稱函數(shù)為奇函數(shù).函數(shù)的周期性給定函數(shù)，定義域，如果存在一個正數(shù)，對于所有，有 其中：，則稱為函數(shù)為在上的周期函數(shù)。滿足上述關(guān)系的稱為函數(shù)的周期，通常我們所說周期函數(shù)是指最小的正周期。單值性與多值性對于定義域內(nèi)每一個值，只確定一個值的

10、函數(shù)就是單值性，否則就是多值性。二、友情提醒與內(nèi)容強化解讀我們所采用的函數(shù)定義是前兩世紀由俄羅斯偉大數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基（，17931856）及德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，18051859）引入的，且很快獲得數(shù)學(xué)界的普遍承認。1絕對值不等式實質(zhì)上是以點為中心，長度為的開區(qū)間，即點的鄰域；對一個量進行估量時，也常是以絕對值不等式的形式出現(xiàn)的。2集合通常是研究某些具有共同特性的事物組成的集體，是個原始的概念，不加以定義的。它是表示具有某種屬性的事物的全體，或是一些確定對象的全體。即明確范圍，確定了對象的全體。3理解映射時，必須把握構(gòu)成映射具備的三要素：集合，即定義域；集合，即值域；對應(yīng)法

11、則，使對每個，有唯一確定的與之對應(yīng)。 對每個，元素的像是唯一；而每個，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一個子集，即，不一定4掌握函數(shù)時必須深刻領(lǐng)會在函數(shù)定義中，對每個，對應(yīng)法則，總有唯一的確定值與之對應(yīng)，這個值稱為函數(shù)在處的函數(shù)值，記為，即，因變量與自變量之間的這種依賴關(guān)系，通常稱為函數(shù)關(guān)系。記號和的含義是有區(qū)別的：前者表示自變量和因變量之間的對應(yīng)法則，而后者表示與自變量對應(yīng)的函數(shù)值，但為了敘述方便，習(xí)慣上常用記號“，”或“，”來表示定義在上的函數(shù)，這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射，其值域總在內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域及對應(yīng)法則.如果兩個函數(shù)的定義域相同，

12、對應(yīng)法則也相同，那么這兩個函數(shù)就是相同的，否則就是不同。表示函數(shù)的方式?jīng)]有任何限制，因此，不要認為函數(shù)就是式子。式子只是表示函數(shù)的一種主要形式，表示函數(shù)還可以用圖形、列表、語句等其它形式。理解函數(shù)時必須細心搞清楚函數(shù)的定義域。要注意和不同，前者是函數(shù)的記號，表示一個變量，后者是函數(shù)值，表示一個數(shù)。建立一個函數(shù)時最重要的問題是尋找變量之間的對應(yīng)法則，但解決這個問題沒有一個統(tǒng)一的方法，必須對具體問題具體分析，分析問題中的數(shù)量關(guān)系。5學(xué)習(xí)函數(shù)定義之后，絕不能認為：“有兩個變量，一個變，另一個也變，兩個變量就成函數(shù)關(guān)系”。這種說法很不確切。我們知道，函數(shù)關(guān)系是反映物質(zhì)運動過程中兩個變量的相互聯(lián)系及其依

13、從關(guān)系。定義中告訴我們：自變量在什么范圍內(nèi)（定義域上）取值；因變量按怎樣的法則（對應(yīng)規(guī)律）被確定；值域.這是確定兩個變量是否成函數(shù)關(guān)系的三要素。很明顯，定義域和對應(yīng)規(guī)律確定了，函數(shù)的值域也就確定了。因此，定義域與對應(yīng)規(guī)律是確定函數(shù)的必不可少的要素。只有當這兩點完全確定，我們才稱兩個變量成函數(shù)關(guān)系，更清楚地說變量是自變量的函數(shù)。否則我們就會得出許多荒唐可笑的結(jié)論：如拖拉機的耗油量與你的飯量成函數(shù)關(guān)系。因耗油量、飯量是兩個變量，一個會變，另一個也會變。這顯然是不對的，因為兩變量之間沒有確定的對應(yīng)規(guī)律。比如在下列函數(shù)中，中是的函數(shù)，不是.；.這時因?qū)χ忻恳恢?，都有一個值與之對應(yīng)，所以是的函數(shù)；因中，

14、雖表面上不含，但不論取什么實數(shù)，總有確定的值5與之對應(yīng)；因為對于，有無窮多個值與之對應(yīng)，所以不是；是的函數(shù)。這類函數(shù)是分段函數(shù)。它是由幾個解析式子表示的一個函數(shù)；不是的函數(shù)，因?qū)θ魏沃担趯崝?shù)范圍內(nèi)無值與之對應(yīng)。6要明確判斷兩個函數(shù)是否相同的根據(jù)，是函數(shù)定義的兩個要素：定義域與對應(yīng)規(guī)律。如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)律都相同（函數(shù)的值域也必相同）。那么這兩個函數(shù)就是相同的。兩者有一不同，就是不同的函數(shù)。比如下列各對函數(shù)中，是同一函數(shù)；也是同一函數(shù)；不是同一函數(shù)；不是同一函數(shù)。因定義域、值域及對應(yīng)規(guī)律都相同；與是表示同一函數(shù)，因?qū)?yīng)規(guī)律同為,函數(shù)的定義域（或存在域）也相同。例如與是表示同一個函數(shù)。

15、由此可知一個函數(shù)由定義域與對應(yīng)規(guī)律完全確定，而與用什么字母表示無關(guān)，這點應(yīng)特別注意。因?qū)?yīng)規(guī)律不同，事實上；因定義域不同，.7函數(shù)法除解析法、圖示法及表格法外，還有其它表示法，如用語句來表達一個函數(shù)。例如：“是不超過的最大整數(shù)”。則也表示是的函數(shù)，通常記為.如：；等。又例如：“設(shè)是有理數(shù)時，的值是1；是無理數(shù)時，的值是0”。這句話也確定了是的函數(shù)。記為，這個函數(shù)叫做狄利克雷函數(shù)。以上這兩個函數(shù)以后將經(jīng)常用到。8設(shè)由函數(shù)所確定的反函數(shù)為，若再將中與位置對調(diào)得函數(shù)，那么是的反函數(shù)。與是表示同一個函數(shù)，是的反函數(shù)，所以也是的反函數(shù)，與在坐標系下是同一個圖形，而與是橫坐標與縱坐標位置互換，即點換成，因

16、此兩者圖形對稱于直線，故與的圖形對稱于直線.9設(shè)在其定義域內(nèi)有界。即對一切有成立，所以對，也有成立,即在的一部分（子集）上也有界。又若在其定義域內(nèi)無界，但在的子集上不一定無界，因為有界與否，是與所在區(qū)間緊密聯(lián)系在一起的。例如：函數(shù).在整個定義域（(+,0)及(0,+)）上無界，但在子集上卻有界。事實上，對一切有界成立。但是在另一子集上函數(shù)卻又無界。10函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)通常記為，即，它與復(fù)合映射一樣，與能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是：函數(shù)在上的值域必須含在函數(shù)的定義域內(nèi)，即.否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。不是任意兩個函數(shù)都可以復(fù)合而成復(fù)合函數(shù)的。例如，這兩個函數(shù)，只有當（即角的終邊在第一、二象限內(nèi)），函數(shù)的

17、值域,作為函數(shù)的定義域，才能有意義。一般地，函數(shù)的值域，包含在函數(shù)的定義域之中，即，復(fù)合才有意義，這也是復(fù)合的必要條件，否則，復(fù)合就無意義，如在本例中，當時，就無意義。如此，兩個函數(shù)復(fù)合的條件應(yīng)該重視了。11分段函數(shù)是用幾個式子來表示一個（不是幾個）函數(shù)，不僅與函數(shù)定義并不矛盾，而且有現(xiàn)實意義，自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到分段函數(shù)的情形，它不是初等函數(shù)。12領(lǐng)會函數(shù)的奇偶性的要點是定義域關(guān)于原點對稱是討論函數(shù)的奇偶性的必要（先決）條件，若定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。因為為偶函數(shù)，則，所以點在圖形上，那么關(guān)于軸對稱的點也在圖形上；奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱

18、。因為為奇函數(shù)，則，所以點在圖形上，那么關(guān)于原點對稱的點也在圖形上；兩個奇（偶）函數(shù)的代數(shù)和是奇（偶）函數(shù)；兩個奇（偶）函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)；若及都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)；若是偶函數(shù)，是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；若是偶函數(shù)，且，則是偶函數(shù)。學(xué)了函數(shù)特性之后，不能認為函數(shù)就分為兩類：奇函數(shù)與偶函數(shù)，仔細鉆研教材，領(lǐng)會到函數(shù)中有這樣特性的兩類函數(shù)，但并非只有奇函數(shù)或偶函數(shù)。還有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的，例如：線性函數(shù),(為非零常數(shù))，不僅如此，還有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的，且這樣的函數(shù)只有一個.13掌握周期函數(shù)時必須注意以為周期的周期函數(shù)的圖形特點是在軸上每隔長度，

19、重復(fù)出現(xiàn)這一周期內(nèi)的圖形。并非每個周期函數(shù)都有最小正周期，如：狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)，這一周期函數(shù)，任何正有理數(shù)都是它的周期，因為不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒有最小正周期。具有相同周期的兩個周期函數(shù)之和及積仍是周期為的周期函數(shù)，但當是兩個已知周期函數(shù)的最小周期時，在作和及積之后，可以不再是新周期函數(shù)的最小周期了。例如：都是以為周期的周期函數(shù)，但沒有最小周期；都是以為周期的周期函數(shù)，但以為周期的周期函數(shù)三、典型例題分析瀏覽及解題方法技能技巧解讀要把函數(shù)概念掌握好，并用它來解決一些問題，關(guān)鍵在于抓住自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系和函數(shù)定義域這兩個要素，對分段函數(shù)比較生疏，也必須予以注意。例

20、1 求函數(shù)的定義域。解： 當時，無意義，的定義域為.又 時,無意義，定義域為.綜上 的定義域為，即(1,+ ).例2 求函數(shù)的定義域和值域。解： 由于在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)是沒有平方根的，所以，有,即，值域為0,1.【小結(jié)】在微積分中，我們都在實數(shù)范圍內(nèi)進行討論，求函數(shù)的定義域，就是在實數(shù)范圍內(nèi)求出能使函數(shù)有對應(yīng)值的自變量的全體；無理函數(shù)中遇到偶次方根時，定義域是被開方式為非負數(shù)的實數(shù)集合；在分式函數(shù)中，要除去使分母為0的那些值；在對數(shù)函數(shù)中，要除去使真數(shù)部分小于等于0的那些值；如果所給定的函數(shù)為基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算后而得到的，則定義域為整個基本初等函數(shù)的定義域的交集。如在例1中例3 求函數(shù)的

21、定義域。解 要使 ，必須，即當時，即使不屬于實數(shù)范圍，因時，因而也可認為是有定義的。由上所述，函數(shù)的定義域為以及例4 設(shè)函數(shù)，計算、.解 0<2,1<2, 計算時要分兩種情形：當時，；當時，【注意】函數(shù)的定義域說明自變量在哪個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)關(guān)系的解析表達式才能成立。通常若該表達式后面不加注明，就把定義域理解為能使表達式有意義的那些自變量的全體，在這種意義下，定義域也叫做函數(shù)的存在域。例5 自變量跑過區(qū)間，問函數(shù)跑過怎么樣的集合。解 時，；又當時，；故知y跑過集合 .例6 若自變量的諸值組成一等差級數(shù)，求證：1°對于線性函數(shù)，函數(shù)值也組成一等差級數(shù)；2°對于指數(shù)函數(shù)，函數(shù)值組成一等比級數(shù)。 圖11【證明】 因組成等差級數(shù)，則證1°：，此即也組成等差級數(shù)。再證2°： 而 此即組成等比級數(shù)。例7證明函數(shù)分別在區(qū)間與上有界。【分析】欲證函數(shù)在某一區(qū)間上有界，只須找到一個，使得對于一切，有成立：或者找到兩個數(shù)（其中），使得對于一切，有成立。分別稱為在上的下界與上界。證明：上單增。,注意到,于是有 圖12.這就證明了在，1上有界，2lg與0分別是它的下界與上界。對于，顯然0是的下界，因。為了