引領(lǐng)學(xué)生探尋概率游戲背后的必然規(guī)律聽(tīng)色子中的數(shù)

1、引領(lǐng)學(xué)生探尋概率游戲背后的必然規(guī)律聽(tīng)“色子中的數(shù)學(xué)”有感作者:來(lái)自中國(guó)教師報(bào) 作者：如皋師范學(xué)校附屬小學(xué) 湯衛(wèi)紅最近，聽(tīng)一位青年教師執(zhí)教活動(dòng)課色子中的數(shù)學(xué)，其引領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷探究過(guò)程，揭示游戲背后的規(guī)律，給聽(tīng)者留下深刻的印象。    片段一：擲色子比賽    出示規(guī)則    1用兩顆色子同時(shí)擲20次。    2把點(diǎn)數(shù)之和分成兩組，第一組：5、6、7、8、9，第二組：2、3、4、10、11、12。    3雙方各選一組，每次擲出的點(diǎn)數(shù)和在哪一組，該

2、方贏；最終，贏的次數(shù)多的一方獲勝。    師：你準(zhǔn)備選哪一組？    生：我選第一組，第二組有6個(gè)和，出現(xiàn)的機(jī)率會(huì)大一些。（絕大多數(shù)同學(xué)同意）    生：我選第一組，我覺(jué)得擲出的點(diǎn)數(shù)之和是第二組中6個(gè)數(shù)的可能性不會(huì)太大。（只有5個(gè)同學(xué)同意）    師：好！選第二組的同學(xué)敢于堅(jiān)持自己的想法，老師和你們并肩作戰(zhàn)，給你們?cè)黾狱c(diǎn)人氣！公說(shuō)公有理，婆說(shuō)婆有理，到底誰(shuí)有理，我們還是擲色子比一比！    雙方各選兩人到前面進(jìn)行比賽，每人擲5次，下面的同學(xué)報(bào)出點(diǎn)

3、數(shù)之和，指名兩人用畫(huà)正字的方法統(tǒng)計(jì)雙方贏的次數(shù)，結(jié)果第一組贏14次，第二組贏6次。選第二組的同學(xué)不服輸，說(shuō)一輪比賽不能說(shuō)明什么問(wèn)題，應(yīng)該再多比幾次！    片段二：游戲驗(yàn)證    活動(dòng)要求    1兩人一組，一人同時(shí)擲兩顆色子，一人記錄。和是幾就在幾的上面涂一格。（圖如下文中的表格）    25分鐘后，觀察統(tǒng)計(jì)圖，看看哪些和出現(xiàn)的次數(shù)多，哪些和出現(xiàn)的次數(shù)比較少。    學(xué)生活動(dòng)后，教師請(qǐng)三組展示統(tǒng)計(jì)圖并交流自己的發(fā)現(xiàn)。  &#

4、160; 生：6、7、8出現(xiàn)的次數(shù)比較多。    生：越往中間的和出現(xiàn)的次數(shù)越多，越往兩邊的和出現(xiàn)的次數(shù)越少。    生：第一組和數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)比第二組多很多！    師：有沒(méi)有哪一組不是這樣的情況？    生：我們小組出現(xiàn)第二組和的次數(shù)比出現(xiàn)第一組和的次數(shù)多1。    師：31組中有30組都是第一組和出現(xiàn)的次數(shù)多，這是偶然的嗎？（生：不是?。┠鞘遣皇钦f(shuō)選第二組和的同學(xué)就不可能贏？    生：不一定！但這種可能性很??！

5、    師：為什么選第一組和贏的可能性就大呢？    生：和越小，相加的數(shù)越少（指和的組成）；和越大，相加的數(shù)就越多。    生：不對(duì)！12只有66。    生：中間的幾個(gè)和數(shù)，組成的情況可能多一些！    師：看來(lái)，同學(xué)們都意識(shí)到這和出現(xiàn)次數(shù)的多少與數(shù)的組成有關(guān)。    片段三：探索奧秘    師：4人小組合作研究點(diǎn)數(shù)之和的不同組成情況，填寫(xiě)表格時(shí)注意有序和合理。  

6、;  師：從表格中，你發(fā)現(xiàn)了什么？    生：和的組成依次從1種增加到6種，再依次減少到1種。像樓梯一樣，先是上樓梯，再下樓梯。    生：我覺(jué)得像一個(gè)塔形。不算就知道點(diǎn)數(shù)之和第一組的組成情況比第二組多！    生：第一組和數(shù)組成有24種，而第二組和數(shù)組成只有12種。所以選第一組數(shù)贏的可能性比第二組大！      師：同時(shí)擲兩顆色子一次，選第一組數(shù)贏的可能性有多大？    生：一共有36種情況，而第一組有24種情況，所以第一組

7、贏的可能性為2/3。    師：第一組贏的可能性為2/3是不是意味著進(jìn)行若干次比賽，第一組贏的次數(shù)一定占總次數(shù)的2/3？    生：不一定！我們組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果就是第一組和數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)占總次數(shù)的31/50。    師：匯總一下剛才各組擲色子的情況，看看第一組贏了多少次？第二組呢？    生：第一組贏了962次，第二組贏491次。    生：第一組贏的次數(shù)大約占總次數(shù)的2/3，并不正好占總次數(shù)的2/3。     

8、   【思考】    一、巧妙設(shè)計(jì)概率游戲，引發(fā)思維沖突    數(shù)學(xué)家阿蒂亞曾說(shuō)：“代數(shù)是有序的邏輯，而概率是無(wú)序的邏輯?！苯處熣亲プ×穗S機(jī)思維與確定性思維的不同，精心設(shè)計(jì)了并“導(dǎo)演”了“和的個(gè)數(shù)多，但贏的次數(shù)少”這樣一出與邏輯思維矛盾但卻符合概率規(guī)律的“悖論”式游戲，將學(xué)生卷入思維的漩渦，使學(xué)生欲罷不能。但學(xué)生已有的初步隨機(jī)思維讓他們也產(chǎn)生了一些有益于問(wèn)題展開(kāi)的想法，如“擲出的點(diǎn)數(shù)之和是第二組中6個(gè)數(shù)的可能性不會(huì)太大”、“不能以一輪比賽決勝負(fù)”，而這些想法也正是教師精心預(yù)設(shè)的。概率說(shuō)理如果僅用口頭說(shuō)教的方式是難

9、以改變學(xué)生直覺(jué)的，如果學(xué)生缺乏對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的體驗(yàn)，往往很難建立相應(yīng)的觀念。因此，教師順?biāo)浦?，讓學(xué)生饒有興趣地繼續(xù)投入到充滿游戲色彩的概率實(shí)驗(yàn)中去，積累對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的經(jīng)驗(yàn)。    二、統(tǒng)計(jì)分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，指引規(guī)律猜測(cè)    統(tǒng)計(jì)與概率是密不可分的。就概率教學(xué)而言，通過(guò)頻率研究概率需要多次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，需要收集、整理、分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，所以概率離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)。上述教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了擲色子比賽的情境，鼓勵(lì)學(xué)生用真實(shí)的數(shù)據(jù)和直觀的模擬實(shí)驗(yàn)去檢查、修正自己對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)與概率思想。教師沒(méi)有采用統(tǒng)計(jì)表而是采用了更具直觀性的統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增

10、加不斷豐富對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的體驗(yàn)。而統(tǒng)計(jì)圖又與稍后研究和的組成使用的表格暗合，巧妙地將實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與邏輯思維分析的結(jié)果不著痕跡地聯(lián)系起來(lái)，更有利于體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)結(jié)果的背后受必然規(guī)律的支配。大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的一致性直接促使學(xué)生“不得不”去思考背后是否隱藏著必然規(guī)律。教師的設(shè)計(jì)思路與學(xué)生的思維進(jìn)程可謂“天衣無(wú)縫”，達(dá)到了“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”般的“無(wú)痕”境界。    三、揭示隨機(jī)中的必然，發(fā)展隨機(jī)思維    學(xué)生對(duì)支配隨機(jī)事件發(fā)生概率的規(guī)律探索真所謂“水到渠成”。值得一提的是，此前教師曾敏銳地抓住僅有的一個(gè)特例幫助學(xué)生理解可能性很小并不意味著不可能，增強(qiáng)了對(duì)隨機(jī)思想的認(rèn)識(shí)。在對(duì)“和的組成”的邏輯分析中，教師的引導(dǎo)又彰顯了確定性思維的有序。這事實(shí)上也就在對(duì)比中突出了隨機(jī)事件無(wú)序背后隱藏的必然規(guī)律。討論概率的大小自然離不開(kāi)邏輯上的理性分析，但量化并不意味用講究因果關(guān)系的邏輯思維代替隨機(jī)思維。教師通過(guò)匯總實(shí)驗(yàn)結(jié)果，著重讓學(xué)生體會(huì)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，某事件發(fā)生的頻率總是穩(wěn)定于某一個(gè)數(shù)